第二节 二重积分的计算法

第二节 二重积分的计算方法

教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点：将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4

仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。 一、利用直角坐标系计算二重积分

我们首先来考虑直角坐标系下面积元素d?的表达形式。在二重积分的定义中对区域D的分割是任意的，极限lim?f(?i,?i)??i都存在，那么对

??0i?1n于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此，在直角坐标系下，我们用平行于x轴和y轴的两族直线把区域D分割成许多小区域（图10—4）。除靠区域D边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。当这些小区域的直径的最大者??0时，这些靠区域D边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。因此，第i个小矩形区域??i的面积

??i??xj??yk。 因此，直角坐标系下面积元素

d??dxdy。 于是二重积分的直角坐标形式为

??f(x,y)d????f(x,y)dxdy。

DD

由二重积分的几何意义知道，如果f(x,y)?0，??f(x,y)d?的值等于一

D个以D为底、以曲面z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。下面我们用定积分的微元法来推导二重积分的计算公式。

若积分区域D可用不等式组表示为

a?x?b? ??(x)?y??(x)2?1如图10—5，选x为积分变量，x?[a，b]，任取小区间[x，x?dx]? [a，

b]。在x轴上分别过点x、x?dx作垂直于x轴的平面，设A(x)表示过点x垂直x轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以A(x)为底、dx为高的柱体的体积，即体积元素 dV?A(x)dx

该截面是一个以区间[?1(x),?2(x)]为底边、以曲线z?f(x,y)（x固定）为曲边的曲边梯形，因此

A(x)???2(x)f(x,y)dy

1?(x)所以

??f(x,y)d???aA(x)dx=?a[??2(x)f(x,y)dy]dx，

1Dbb?(x)即

??f(x,y)d???a[??2(x)f(x,y)dy]dx。 （1）

1Db?(x)由此看到，二重积分的计算可化为两个二次积分来计算。第一次积分时，把x看作常数，对变量y积分；第二次是对变量x积分。这种先对一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分（或二次积分）。公式（1）也称为先积y后积x的累次积分公式，通常写成 ??f(x,y)d???adx??2(x)f(x,y)dy。

1Db?(x)同理，若积分区域D可用不等式组表示为

c?y?d? ??(y)?x??(y)2?1则二重积分??f(x,y)d?可化为先x后y的累次积分

D ??f(x,y)d???cdy??2(y)f(x,y)dx。

1Dd?(y) 以后我们称图10—6所示的积分区域（有两条边垂直于x轴）为X型区域，图10—7所示的积分区域（有两条边垂直于y轴）为Y型区域。把二重积分化为累次积分的关键，是根据所给出的积分区域D，定出两次积分的上下限。计算二重积分的一般步骤是

第一步 在平面直角坐标下，画出积分区域D的图形；

第二步 根据区域D的图形，判断它是哪种类型的区域，然后将区域D用不等式组表示出来；

第三步 根据上述的不等式组，将二重积分化为累次积分； 第四步 计算累次积分。

例1 计算??(1?x?2y)d?，其中D是由x?1，x?3，y??1，y?1所

D围成的区域。

c?d）一般地，如果积分区域D是由x?a，x?b，y?c，y?d（a?b，所围成的矩形区域，则

??f(x,y)d?=?adx?cf(x,y)dy=?cdy?af(x,y)dx。

Dbddb例2 计算??xyd?，其中D是由直线y?1、x?2及y?x所围成的闭

D区域。

上面两个例子说明，积分次序的变更对于二重积分计算关系不大。但有时由于积分区域D的形状关系，一种次序远较另一种简便。

例3 试将??f(x,y)d?化为两种不同次序的累次积分。其中，D是由

Dy?x，y?2?x和x轴所围成的闭区域。

例3中，如果先积y后积x，需要计算两个累次积分；如果先积x后积y，只需要计算一个累次积分。因此，在化二重积分为累次积分时，为了计

算简便，根据积分区域D的形状，选择恰当的累次积分的次序。

例4 计算??(x?y)d?，其中D是由抛物

D线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域。 解 首先画出积分区域D的图形10—11，边界曲线的交点（1，-1）、（4，2）。由图可见，将区域D用Y型区域的不等式组表示较简单，即

??1?y?2。 ?2y?x?y?2?于是

2y?2??(x?y)d?=??1[?y2(x?y)dx]dy

D212 =??1(x2?xy)|y?dy 2y2123 =??1(y2?4y?2?y4?y3)dy

22111 =(y3?2y2?2y?y5?y4)|2?1

21049。 20如果先积y后积x，应如何计算这个二重积分呢？请读者思考，并写

=9出累次积分。

例5 计算??Dsinxd?，其中D是由y?x及y?x2所围成的闭区域。 x解 首先画出积分区域D。它既是X型区域，又是Y型区域。 sinxdx不是初等函数，所以求不出结果。因x此只能先积y后积x，将积分区域表示成Y型区域的不等式组

如果先积x后积y，因为??0?x?1。 ?2x?y?x?于是

1xsinxdy]dx ??xd?=?0[?x2xDsinx =?0(1?x)sinxdx =-?0(1?x)dcosx

=?(1?x)cosx|10??0cosxdx

=1?sin1。

综上所述，积分次序的选择，不仅要考虑积分区域的形状，而且要考虑被积函数的特点。在能够计算二重积分的前提下，要使计算尽量简单。 二、利用极坐标计算二重积分

1111、变换公式

按照二重积分的定义有

lim?f(?i,?i)??i??f(x,y)d????0Di?1n

现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点0为中心的一族同心圆 射线

r?常数以及从极点出发的一族

??常数,将D剖分成个小闭区域。

除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域??i的面积可如下计算

1121??i?(ri??ri)2??i?ri??i?(2ri??ri)?ri??i222

ri?(ri??ri)??ri??i?ri?ri??i2

其中,ri表示相邻两圆弧半径的平均值。

(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

在小区域??i上取点(ri,?i),设该点直角坐标为(?i,?i),据直

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