2020-2021学年数学人教A版必修4学案：3.1.2第2课时两角和与差的正切公式

第2课时两角和与差的正切公式

[目标] 1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程． 2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．

[重点] 记住并会应用两角和与差的正切公式．

] 灵活运用公式进行求值、化简、证明．

[难点

[填一填]

两角和与差的正切公式

[答一答]

1．你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗？

提示：(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．

(2)

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

2．tan π

12

＝2－ 3.

解析：tan

π

12

＝tan

?

?

?

?

?

π

4

－π

6

＝

tan

π

4

－

tanπ

6

1＋tan

π

4tan

π

6

＝

1－

3

3

1＋

3

3

＝2－ 3.

类型一公式的简单应用

[例1]求下列各式的值：

(1)tan

11π

12；

(2)

tan75°－tan15°

1＋tan75°tan15°

.

[解](1)原式＝－tan

π

12

＝－tan

?

?

?

?

?

π

4

－π

6

＝－

tan

π

4

－tanπ

6

1＋tan

π

4tan

π

6

＝－

1－

3

3

1＋

3

3

＝－2＋ 3.

(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.

[变式训练1]已知tan

?

?

?

?

?

π

4＋α＝2，tan(α－β)＝

1

2，α∈?

?

?

?

?

0，

π

4，β∈

? ??

??－π4，0. (1)求tan α的值；

(2)求12sin αcos α＋cos 2α

的值； (3)求2α－β的值．

解：(1)tan ? ????π4＋α＝1＋tan α1－tan α

＝2，得tan α＝13. (2)12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1

＝23. (3)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

＝tan α＋tan (α－β)

1－tan αtan (α－β)

＝1， 因为β∈? ????－π4，0，又α∈?

????0，π4，得2α－β∈? ????0，3π4， 所以2α－β＝π4.

类型二 公式的变形应用

[例2] (1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β.

[分析] (1)的求解可利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°)展开变形求解，(2)的求解需将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan(α＋β)．

[解] (1)∵tan(23°＋37°)＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，

∴3＝tan23°＋tan37°1－

tan23°tan37°

.

∴3－3tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.

∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝ 3.

(2)∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)

＝1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，

∴tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)．

∴tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝ 3.

又∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.

T(α±β)可变形为如下形式：

①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanαtanβ＝tanα±tanβ

tan(α±β)

.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形②.

[变式训练2](1)若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝(B)

A.3m B．3(1－m)

C.3(m－1) D．3(m＋1)

(2)△ABC不是直角三角形，求证：

tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

答案：见解析

解析：(1)∵28°＋32°＝60°.

∴tan(28°＋32°)＝tan28°＋tan32°1－tan28°·tan32°

＝tan60°＝ 3. ∴tan28°＋tan32°＝3(1－m )．选B.

(2)证明：由题意得A ＋B ＋C ＝π，

所以tan A ＝tan(π－B －C )

＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C

， 所以－tan A (1－tan B tan C )＝tan B ＋tan C ，

所以－tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C ，

所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .

类型三 公式的综合应用

[例3] 已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．求C 的大小．

[解] 由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－

p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2或p ≥23.

易知tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p .

于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0.

从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3p p ＝－ 3. 所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.

和差公式是高考的重点内容，有时高考会将公式与函数、方程、不等式等知识综合考查. [变式训练3]

已知tan α和tan ? ??

??π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( A )

A ．c ＝b ＋a

B ．2b ＝a ＋c

C ．b ＝a ＋c

D ．c ＝ab 解析：????? tan α＋tan ? ????π4－α＝－b a ，tan αtan ? ????π4－α＝c a ，

所以tan π4＝tan ??????? ????π4－α＋α＝－b a 1－c a

＝1， 所以－b a ＝1－c a ，所以－b ＝a －c .

所以c ＝a ＋b .故选A.

1.3－tan18°1＋3tan18°

等于( A ) A ．tan42°

B ．tan3°

C ．1

D ．tan24°

解析：3－tan18°1＋3tan18°＝tan60°－tan18°1＋tan60°tan18°

＝tan(60°－18°)＝tan42°. 2．已知cos α＝－45，且α∈(π2，π)，则tan(π4－α)等于( D )

A ．－17

B ．－7 C.17 D ．7

解析：由于α∈(π2，π)，则sin α＝1－cos 2α＝35，

所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α

＝7. 3．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β的值为( A )

A ．7

B ．－7

C ．－75

D ．75 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝

tan (α＋β)－tan α

1＋tan (α＋β)tan α ＝13－(－2)1＋13×(－2)

＝7.

4．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β＝－2π3.

解析：由题意得??? tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4>0，所以tan α<0，tan β<0，

因为－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β<0.

又tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 所以α＋β＝－2π3.

5．已知tan

α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，求tan 2α＋tan 2β的值． 解：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan α·tan β

， ∴4＝21－tan αtan β

，解得tan αtan β＝12， ∴tan 2α＋tan 2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β＝4－2×12＝3.

——本课须掌握的三大问题

1．公式T (α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴

上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．

2．公式T (α±β)的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．

如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．

要特别注意tan ? ????π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ? ??

??π4－α＝ 1－tan α1＋tan α

. 3．公式T (α±β)的变形应用

只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p4ce.html