数学物理方程-第一章数学模型和基本原理介绍

第一章 数学建模及基本原理介绍

用数学理论和方法研究实际问题时，一般说来先要建立合理的数学模型. 在很多情况下，所建立起的模型为偏微分方程的某种定解问题. 本章将对几个典型的实际问题进行分析，建立起相应的数学模型. 并结合这些模型，介绍本门课程的一些主要数学概念及研究此类问题的一些基本思想和方法. §1.1 数学模型的建立

微分方程本质上是函数的某种局部平衡关系，其中含有该函数导数. 在初等数学中我们知道，含有未知数的等式叫方程. 而建立方程的过程主要有三步：先设所求解的量为未知数x，然后找出所研究问题满足的等量关系式，最后利用一些基本的关系式将等量关系式两边用已知量和未知数x表示即成. 本节我们用类似过程，导出几个来自物理学领域的实际问题所满足的微分方程和定解条件.除用到几个基本的物理公式外，主要是利用高等数学中同学们已学过的“微元法”思想.

1.1.1 弦振动方程和定解条件 物理模型

一长为l的柔软、均匀细弦，拉紧之后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移.

在这里弦线是‘充分柔软’的假设，是指当它发生变形时只抗伸长而不抗弯曲，即只考虑弦线上不同部分之间张力的相互作用，而对弦线反抗弯曲所产生的力矩忽略不计.而‘均匀’的含义是弦线的线密度为常数. 所谓‘横振动’，是指弦的运动发生在同一平面内，且弦线上各点位移与平衡位置垂直.

导出方程

以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线位置且通过弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系（图1.1）.

以u(x,t)表示在时刻t弦线横坐标为x的点离开平衡位置的位移.

设?为弦的线密度（千克∕米），f0为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度（牛顿∕米）. 任取一小段弦线，不包括两个端点，（图1.1）

u f0 ?1 ?T1

x x??x 图 1.1

?2 x ?T2??其中T1和T2分别是弦线在两端所受到的张力，即其余部分弦线对该小段弦线的

1

??作用力,?1为T1与水平方向的夹角，?2为T2与水平方向的夹角. 将所取小段弦线近似视为质点,由牛顿第二定律得

F?ma （1.1）

式（1.1）是弦线运动所服从的物理定律，数学上即是等量关系式. F为该段弦线所受垂直于平衡位置，即u轴方向的合外力.

对（1.1）中各项分别计算并作简化处理如下：

首先易见F包含三部分：

?? F?T1在u轴方向的分量 ? T2在u轴方向的分量 ? 强迫外力 （1.2） ? F1 ? F2 ?F3 . ?设iu为u轴正向的单位向量，利用向量的点乘运算可得

??????? F1? T1?iu? T1cos(T1,iu) ? T1cos(??1)

2??1 ， （1.3） ??T1sin ???????F2? T2?iu? T2cos(T2,iu) ? T2cos(??2)

2??2. （1.4） ??T2sin

??u?由于弦线的弧微分为1???dx ，故有

??x?2F? 3?xx??xf0(x,t)1?(?u2) dx. （1.5） ?x弦线作微小横振动，所以?1，?2充分小，因此有sin?1～tg?1，sin?2～tg?2，

?u1?u?u1?()2?1?()2?o()?1. 由于假设弦线是均匀、柔软，可认为弦线

?x2?x?x?每点处张力T(x)的方向为弦线的切线方向，弦线各点处张力的大小相等. 故有

???u?uT1＝T2＝T0（常数）. 利用(x,t)?tg?1，(x??x,t)?tg(???2)??tg?2和

?x?x等价无穷小代换得

?u?uF?T0(x??x,t)?T0(x,t)?f0(x,t)?x.

(1.6)?x?x2其次，将弦线近似为质点可得

?2ua?2(x,t), m???tx??x?x??u?1???dx???x, (1.7) ??x?2 2

?其中x??x,x??x?. 将(1.6)和(1.7)代入到(1.1)中便得

?2u?u?u??x2(x,t)?T0(x??x,t)?T0(x,t)?f0(x,t)?x . (1.8)

?t?x?x假设u(x,t)具有二阶连续偏导数，对（1.8）式右端前二项利用微分中值定理得

?2u?2u??x2(x,t)?T02(x2,t)?x?f0(x,t)?x , (1.9)

?t?x其中x2??x,x??x?. (1.9)式两边同除?x，再令?x?0便得到u(x,t)所满足的方程

2?2u2?u?f(x,t) , (1.10) 2?a?t?x2其中a2?T0?，f(x,t)?f0(x,t)? .

方程（1.10）刻划了柔软均匀细弦微小横振动时所服从的一般规律，即局部

等量关系，人们称它为弦振动方程（vibrating string equation）. 一根弦线的特定振动情况除满足弦振动方程外，还依赖于初始时刻弦线的状态和在弦线两端所受到外界的约束. 因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外，还必须给出它适合的初始条件(initial value condition)和边界条件(boundary value condition).

初始条件：即给出弦线在时刻t?0时的位移和速度，分别称为初始位移和初始速度,

u(x,0)??(x)， ut(x,0)??(x) ， 0?x?l （1.11） 这里?(x)和?(x)是已知函数. 边界条件：一般说来有三种.

1.已知端点的位移变化，即

u(0,t)?g1(t)， u(l,t)?g2(t)， t?0 （1.12） 当g1(t)?g2(t)?0时，称弦线具有固定端.

2.已知端点所受的垂直于弦线的外力,即

T0ux(l,t)?g2(t)， t?0 （1.13） ?T0ux(0,t)?g1(t) ，

?这里要注意在推导弦振动方程时，由于在小弦线左端，张力T1在u轴方向的分量

?为?T0ux(x,t)，而在右端，张力T2在u轴方向分量为T0ux(x??x,t).因此，在x?0端，已知的外力g1(t)相当于该端点的张力，即?T0ux(0,t)?g1(t)；同理，在x?l端，边界条件为T0ux(l,t)?g2(t).当g1(t)?g2(t)?0时，称弦线具有自由端.

3

3.在端点与弹性物体连接. 设弦线两端分别连接在弹性系数为k1、k2(k1﹥

0,k2﹥0)的两个弹簧上，弹簧的长度分别为l1和l2.这两个弹簧的另一端还分

别连接在由函数Q1(t)和Q2(t)所表示的位置上（如图1.2），这时相当于两个弹簧的下端也随时间在运动.若Q1(t)?a,Q2(t)?b ,此时相当于两个弹簧的下端固定.

u

Q1(t) x

Q2(t) 图1.2

在任意时刻t,x?0端弹簧的实际伸缩量为u(0,t)?Q1(t)?l1.由Hooke（虎克）定律可知该端的弹性恢复力（相当于张力）为?k1(u(0,t)?Q1(t)?l1).取区间

?0,?x?上相应的弦线，利用和建立弦振动方程完全相同的方法可得

?2uT0ux(?x,t)?k1(u(0,t)?Q1(t)?l1)?f0?x???x2(x,t),

?t令?x?0?得

T0ux(0,t)?k1(u(0,t)?Q1(t)?l1)?0， t?0,

即

ux(0,t)??1u(0,t)?g1(t)， t?0,

这里?1?k1﹥0，g1(t)???1(Q1(t)?l1). T0类似可得在x?l端边界条件为

ux(l,t)??2u(l,t)?g2(t)，?2?k2﹥0，g2(t)??2(Q2(t)?l2). T0因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件如下

x?0端 ux(0,t)??1u(0,t)?g1(t),t?0 （1.14） x?l端 ux(l,t)??2u(l,t)?g2(t),t?0 （1.15）

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初始条件和边界条件通常称为定解条件. 一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题. 当考虑的弦线比较长时，一般认为弦长是无穷大.这时定解条件中就没有边界条件而只有初始条件，这也是一个定解问题.以下两个问题

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?l, t?0 (1.16)??u(0,t)?g1(t), u(l,t)?g2(t), t?0 (1.17) ?u(x,0)??(x), u(x,0)??(x), 0?x?l (1.18)t??utt?a2uxx?f(x,t), ???x??, t?0 （1.19）? ?

1.20） ??u(0,t)??(x), ut(x,0)??(x), ???x??. （都是弦振动方程的定解问题. 在定解问题（1.16）—（1.18）中，即含有初始条

件又含有边界条件，通常称为弦振动方程的混合问题. 而在定解问题（1.19）—（1.20）中只含有初始条件，称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy问题）. 注1 如果考虑膜的振动或者是声波在空气中的传播，利用和弦振动方程类似的过程可以导出膜振动方程为

2?2u?2u2?u?a(2?2)?f(x,y,t). ?t2?x?y而声波在空气中传播所满足的方程为

2?2u?2u?2u2?u 2?a(2?2? )?fx(y,z,. t,)2?t?x?y?z这些方程统称为波动方程(wave equation).

1.1.2 热传导方程和定解条件 物理模型

在三维空间中考虑一个均匀、各向同性的导热体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，求物体内部温度的分布.

这里‘均匀’是指导热体的密度为常数，而‘各向同性’是指导热体内任一点处在各个方向上的传热特性相同.如导热体是由同一种金属构成的，就认为是具有各向同性性.

导出方程

设导热体在空间占据的区域为?(如图1.3)，边界记为??.导热体的密度为?（千克/米3），比热为c（焦耳/度?千克），热源强度为f0(x,y,z,t)（焦耳/千克?秒）. 以u(x,y,z,t)（度）表示导热体在时刻t点(x,y,z)??处的温度.

G的边界为?G.任取一点(x,y,z)??，并取该点的一个充分小邻域G??，

在充分小的时段?t1,t2?上，区域G的热量变化满足下面的等量关系式(1.21):

热量Q2 t?t2 _ 热量Q1 t?t1 = 热源生成热量W t1?t?t2 + 通过边界?G流入量? t1?t?t2 此式即为热力学第二定律的积分形式.完全类似于弦振动方程的推导过程，下面分别计算并简化(1.21)中各项.

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从大学物理中我们知道，Q?mcu.由于区域G充分小，时段?t1,t2?也充分小，故可视u为常数，因而有

z ??

? y x O 图 1.3

Q2???vcu(x1,y1,z1,t2) （1.22） Q1???vcu(x1,y1,z1,t1) （1.23） W?f0(x1,y1,z1,t1)??v?t （1.24） 其中(x1,y1,z1)?G，t1??t1,t2?，?v为区域G的体积，?t?t2?t1.

为计算边界流入热量?，要利用Fourier热定律：在一定条件下，导热体内

??热流量q（焦耳/米2?秒）与温度的梯度成正比，即q??k(x,y,z)?u，其中

k(x,y,z)为导热体内的导热系数，与介质的性态有关;负号表示热量从温度高处

向温度低处流动. 由于我们考虑的是均匀、各向同性的导热体，故?(x,y,z)??

k(x,y,z)?k均为正常数.

利用高等数学中的通量计算公式可得

?? ????q?(?n)ds?t, （1.25）

?G??这里n为?G的单位外法向量，(?n)表示计算通过边界?G的流入热量.

假设u对空间变量具有二阶连续偏导数，对时间变量具有一阶连续偏导数，利用高斯公式可得

???????q?(?n)ds?t???k?u? nds?t

?G?G ???k?G?uds?t?k????udv?t ?nG ?k?u(x2,y2,z2,t1)?v?t , （1.26）

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这里?u?uxx?uyy?uzz,(x2,y2,z2)?G.

将（1.22）—（1.26）代入到（1.21）中并对等式左端利用微分中值定理可得

?cut(x1,y1,z1,t2)?v?t?k?u(x2,y2,z2,t1)??v?t?f0(x1,y1,z1,t1)??v?t.

上式两边同除以?v?t,并令?v?0,?t?0得

?cut(x,y,z,t1)?k?u(x,y,z,t1)??f0(x,y,z,t1) ,

ut(x,y,z,t1)?a2?u(x,y,z,t1)?f(x,y,z,t1) ,

由于t1的任意性可得

（1.27） ut(x,y,z,t)?a2?u(x,y,z,t)?f(x,y,z,t) ,

或简写为

（1.28） ut?a2?u?f ,

其中a2?1k﹥0，f(x,y,z,t)?f0(x,y,z,t).

c?c方程（1.28）刻划了导热体内温度分布和变化所服从的一般规律，人们称其

为三维热传导方程(heat equation).

注2 如果同学们对高等数学中的微积分运算掌握比较熟练，（1.21）中各项也可以写成如下积分式

Q2?????cut?t2dv ， Q1?????cut?t1dv ，

GG W??dt????f0dv ， ???t1Gt2t2t1??q?(?n)ds . ???G将上面各项代入到（1.21）中，并用前面类似方法可导出（1.28）.

注3 方程（1.28）虽然通常称为热传导方程，但绝不只是仅用来表示热传导现象.自然界中还有很多现象可用方程（1.28）来刻划，如分子在介质（如空气，水，…）中的扩散即为此例，因此也称（1.28）为扩散方程.

注4 如果考虑侧面绝热的均匀细杆或均匀薄板的温度分布，就分别得到一维热传导方程和二维热传导方程

2?u2?u?a?f(x,t) ， 2?t?x2?u?2u2?u ?a(2?2)?f(x,y,t) . ?t?x?y

7

为了具体确定某特定物体内部的温度分布，还需要知道该物体内部的初始温度分布以及在物体的边界所受到的约束或受到周围介质的影响.

初始条件：导热体内在初始时刻t?0的温度分布,即

u(x,y,z,0)??(x,y,z) , (x,y,z)?? （1.29） 边界条件：一般说来有三. 记??????0,??， 1.已知边界??上的温度分布，即

u??g(x,y,z,t) （1.30） 2.已知通过边界??的热流量，即

?u k（1.31） ??g(x,y,z,t)

?ng?0表示流入，g?0表示流出，g?0表示在边界绝热.

3.已知通过边界??与周围介质有热交换. 设u1(x,y,z,t)为??处介质的温度，k1为两种介质之间的热交换系数（k1﹥0）.根据Newton定律（热传导的另一实验定律），从物体内部流到外部的热流量与两介质间的温差成正比，即有???q1?k1(u?u1) n,其中n为??的单位外法向量.为了推导边界条件，完全类似于热传导方程的推导，任取一充分小区域G（如图1.4），边界为?G??1??2，

??1??G，?2??，n2为?2上的单位法向量.

?1?n1 ?2?n2图 1.4

在G上等量关系式（1.21）成立，其中Q2﹑Q1和W如附注2中的各式，而

?分为两部分，一部分是通过G的边界?2由导热体流入的热量，另一部分是经

?1由周围介质流入的热量，故有

8

t2t2???????dt??(q1)?(?n1)ds+?dt??(q)?(?n2)ds

t1?1t1?2t2 ??dt??(?k1)?(u?u1)ds+?dt??kt1t2?1t1?2?uds. ?n2将Q1，Q2，W和?代入到（1.21）中得

????c(ut?t?ut?t) dv ??dt????f0dv??dt??k1(u1?u)ds??dt??kG21t2t2t2t1Gt1?1t1?2?uds , ?n2利用ut?t?ut?t??21t2t1?udt上式成为 ?t?t2t1?t2t2?u?u?dt????c dv ??dt????f0dv??dt???k1(u1?u)ds???kds?,

tt11?t?n2??GG?2??1?由于t1，t2任意性可得

????cG?u?u dv ?????f0dv???k1(u1?u)ds???kds （1.32）

?t?n2G?1?2??令?2趋于?1，此时n2趋于?n1=?n，且区域G的体积趋于零，（1.32）中三重积分

?趋于零，故有

??[k?1?u?k1(u1?u)]ds ?0 , ?n由?1???的任意性可得

k?u?k1(u1?u)?0 , ?n?u??u?g, (x,y,z,t)??. （1.33） ?nk1﹥0，g?? u1.（1.33）式称为热传导方程的第三类边界条件，有时k?u也记为( ??u)??g ，其物理意义为导热体在边界上与周围介质按Newton

?n定律进行自然的热交换.

注5 我们比较详细地给出了(1.14)和(1.33)的推导过程，主要目的是告诉同学们边界条件的导出和方程的导出过程是基本相同的. 惟一的区别在于在导

其中??出方程时，在(a , b)或?内取小区间或小区域；而在推导边界条件时，要取包含区间端点的小区间或包含?的边界的小区域.

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注6 (1.33)式也可以利用热流量公式直接给出. 在导热体边界内部和外部

???的热流量分别为q??k?u和q1?k1(u?u1)n1，在边界上二者应相等，即有

????q1?n?q?n,

此即

?u k1(u?u1)??k , （1.34）

?n(1.34)即为(1.33)式. 请同学们给出(1.14) 类似的导出过程.

注7 如果导热体体积充分大，可认为导热体体积为无穷大，这时定解条件就只有初始条件而无边界条件，此类问题通常称为Cauchy 问题.

1.1.3波以松方程和定解条件

在上面研究导热体的温度分布问题中，如果f 和边界条件中的g 与t 无关，则经过相当长时间后，区域G 内各点温度趋于定值，因而有ut?0. 由(1.28) 得

??u?1f. （1.35） a2(1.35)称为波以松(Poisson)方程, 当f?0时称为Laplace方程. 由于u , f 与t 无关，所以Poisson方程的定解条件只有边界条件而无初始条件. 下面给出Poisson方程的三个定解问题.

???u?f, (x,y,z)?? ? （1.36）

u??, (x,y,z)???.?其中 f(x,y,z), ?(x,y,z)为已知函数. （1.36）通常称为狄利克莱(Dirichlet)问题.

u?f, (x,y,z?)????? ??u （1.37）

??, x(y,z,?)?? .???n(1.37）称为诺依曼（Neumann）问题.

???u?f, (x,y,z)??? ??u （1.38）

(?? u)??, (x,y,z)??? .???n（1.38）称为Poisson方程的第三边值问题.

在上面的三个定解问题中，如果f(x,y,z)?0，则称u为区域?内的调和函数. 调和函数在偏微分方程的理论和应用研究中起着重要的作用，在后面的章节

中要多次遇到这类函数.

注8 考虑带有稳定电流的导体，如果内部无电流源，可以证明导体内的电位势满足Laplace 方程. 类似地对带有稳定电荷的介质，稳定电荷产生的静电势

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口v?口u?口w?f?口w?f1(x,t)

v(0,t)?v(l,t)?0 v(x,0)?u(x,0)?w(x,0)??(x)?w(x,0)??1(x) vt(x,0)?ut(x,0)?wt(x,0)??(x)?wt(x,0)??1(x) .

这里f1(x,t) ,?1(x)和?(x)都是已知函数. 仍将v(x,t) ,f1(x,t) ,?1(x)和?1(x)记为u(x,t) , f(x,t), ?(x) 和?(x)，则（3.9）成为如下定解问题

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?l, t?0 ? ?u(0,t)? u(l,t)?0,t?0 （3.10）

?u(x,0)??(x), u(x,0)??(x), 0?x?l. t?将上面定解问题（3.10）分解为如下三个定解问题

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?l, t?0 ? （3.11） ?u(0,t)? u(l,t)?0, t?0 ?u(x,0)?0, u(x,0)?0, 0?x?l ?t??utt?a2uxx?0, 0?x?l, t?0 ? ?u(0,t)? u(l,t)?0, t?0 （3.12）

?u(x,0)??(x), u(x,0)?0, 0?x?l ?t??utt?a2uxx?0, 0?x?l, t?0 ? ?u(0,t)? u(l,t)?0, t?0 （3.13）

?u(x,0)?0, u(x,0)??(x), 0?x?l ?t?叠加原理2 设u1(x,t) ,u2(x,t)和u3(x,t)分别是定解问题（3.11），（3.12）与（3.13）的解，则u?u1?u2?u3是定解问题（3.10）的解.

叠加原理 3 对定解问题（3.10），设f(x,t)??fn(x,t), ?(x)???n(x),

n?1n?1?? ?(x)???n(x)， 如果对每个n?1，un(x,t)是如下问题的解

n?1??utt?a2uxx?fn(x,t), 0?x?l, t?0 ? ?u(0,t)? u(l,t)?0, t?0 ?u(x,0)=?(x), u(x,0)??(x), 0?x?l ?ntn?则u(x,t)??un(x,t)是定解问题（3.10）的一个解.

n?1? 16

注3 和附注2中的说明类似，叠加原理 3的证明也要用到无穷级数一致收敛和逐项求导的相关知识，在这里我们不做专门讨论，而是假定所要求的运算都成立.

例3.1 求方程

?u?uxx?uyy?x2?3xy?7y2 （3.14） 的任意一个解.

解 由叠加原理1可知，只需分别求出如下三个方程的一个解

?u?x2 , ?u?y2 , ?u?xy . 易见u1(x,y)?14141x，u2(x,y)?y和u3(x,y)?x3y分别是上述三个方程的一12126个解，故u?u1?3u3?7u2是原方程的一个解.

例3.2 将如下定解问题中的方程齐次化

22222???u?uxx?uyy?x?3xy?y, x?y?R ? （3.15）

222??u?xy, x?y?R.1解 由例1知w(x,y)?u1?u2?3u3?(x4?y4?6x3y)是方程的一个解，令

12v?u?w，则（3.15）转化为

??v?0 ,x2?y2?R2 ? ? 1443222?v?xy?(x?y?6xy), x?y?R.12?1.3.2 叠加原理的应用

偏微分方程定解问题的解绝大多数以无穷级数或函数卷积形式给出，解的这种形式在本质上是叠加原理在求解过程的反映.

设A为m?n矩阵，x?(x1,?,xn)T?Rn，秩(A)?r. 在线性代数中我们知道：齐次线性方程组Ax?0的解构成Rn的一个(n?r)维线性子空间X0. 进而,

?????若已知?k(1?k?n?r)为Ax?0的解，且?1，…，?n?r线性无关，则?1，?，?n?r构成X0一个基，并称之为齐次方程Ax?0的基解组. 因此Ax?b的任一解x可表示为

? x??ck?k?x ，

k?1n?r 17

其中x为非齐次方程Ax?b的一个特解. 因此，求解非齐次方程Ax?b就归结为

??找出齐次方程的一个基解组{?1,?,?n?r}和非齐次方程的一个特解，并利用基解组中向量的线性组合和特解给出非齐次方程的任一解.

对于偏微分方程的线性定解问题，求解过程基本类似. 即先找出相应定解问题的基解组，在偏微分方程理论中称基解组中的解为特征函数(eigenfunction)，基本解(fundamental solution)或Green函数(Greens function)，然后用特征函数，基本解或Green函数表示一般解. 不同于线性代数方程组解表示的有限和形式，偏微分方程定解问题的解主要是以无穷级数（无穷和）或积分形式给出.根据定积分的定义，则积分形式可理解为离散无穷和的极限形式，即是无穷和的连续形式. 下面以一维热传导方程Cauchy问题为例，说明其求解的基本思想和解的具体表示形式，这里重在说明方法而不苛求于运算的合理性.

首先简单介绍广义函数?－函数，它在偏微分方程理论中具有重要的作用.

m(?x)设在x轴上有质量分布，线密度为?(x),则?(x)是当?x?0?时极限，

?xm(?x)表示该区间上质量. 因此，?(x)可理解为单位长度区间上的质量. 如在

利用密度的计算公式可得：x??i点置放一个单位质量而其余处无质量分布，x轴上的质量密度函数为

???, x??i ?(x??i)??

其它?0, 该函数不能用以前学过的函数概念来理解，它是一个广义函数，称为?－函数.

由于质量线密度的积分值为总质量，即

? ? ???(x??i)dx?1.

因此，广义函数?(x??i)可以理解为直线上单点单位质量分布的质量密度函数.例如，在x??1处置放三个单位质量而其余处无质量分布，则x轴上的质量密度函数便为3?(x?1).

设x轴上有初始温度分布u(x,0)??(x)，将质量与热量相比照，线密度?(x)与?(x)相比照，可认为?(x)表示单位长度区间上的热量，而u(x,0)??(x??i)可理解为在x??i点置放了一个单位热量的点热源而产生的初始温度分布.

考虑如下定解问题

?ut?a2uxx?f(x,t), ???x? ?, t?0 ? （3.16）

?u(x,0)??(x), ???x? ?.将此问题分为二个定解问题

18

?ut?a2uxx?0, ???x? ?, t?0 ? （3.17）

?u(x,0)??(x), ???x? ?.?ut?a2uxx?f(x,t), ???x? ?, t?0 ? （3.18）

?u(x,0)?0, ???x? ?.现在考虑（3.17）和（3.18）的特殊情形

?ut?a2uxx?0, ???x? ?, t?0 ? （3.19）

?u(x,0)??(x??), ???x? ?.?ut?a2uxx??(x??)?(t??), ???x? ?, t?? ? （3.20）

?u(x,0)?0, ???x? ? .其中??R，??0.

（3.19）的物理意义是在初始时刻t?0时，在直线上x??点置放一单位点热源所产生的温度分布. 而（3.20）的物理意义则是在(x,t)平面上点(?,?)处置放一个单位点热源产生的温度分布. 记（3.19）和（3.20）的解分别为?(x,t,?)和?(x,t,?,?)，?(x,t;?)即为问题（3.16）的基本解. 利用基本解可给出（3.17）和（3.18）解的具体表达式.

对问题（3.17），可将其近似分解为许多个类似于问题（3.19）的子问题.方法是将x轴进行划分（如图3.1），

O ?i ?i?1

图 3.1

分点为?i(i?Z)，在小区间??i,?i?1?上将?(x)视为常数，由于?(x)表示单位长度区间上的热量，故该子区间的热量近似为?(?i)(?i?1??i)??(?i)??i，?i???i,?i?1?.将此热量集中到x??i点视为点热源，由于单位点热源产生的温度为?(x,t;?i),由叠加原理可知此点热源产生的温度应为?(x,t,?i)?(?i)??i. 在每个小区间上如法处理，并再次利用叠加原理可得（3.17）解近似为 u(x,t)?

i?????(x,t,?)?(?)??，

iii??19

令每个子区间长度趋于零并结合定积分的定义（形式上）可得 u(x,t)??类似可得（3.18）解为

u(x,t)???0????（3.21） ?(x,t,?)?(?)d?

???? ?(x,t,?,?)f(?,?)d?d? （3.22）

注4 （3.17）和（3.19）的区别是在初始时刻t?0，一个是单点分布而另

一个是连续分布. 数学上对连续分布经常这样处理：先将连续分布离散化（划分）；然后在每个区间（小区域）上用常量代替变量，用直线代替曲线等等或将小区间（小区域）视为质点计算所需近似值（近似化）；最后将每个小区间（小区域）上近似值相加并取极限得精确值（精确化）. 这一过程本质上就是定积分的定义，其中近似化方法就是微元法.在上面（3.21）的导出过程中，就是将连续热量分布?(x)在直线上近似为许多质点，即将连续函数?(x)近似离散为

?(x)?i?????(?)???(x??)，

iii??然后利用基本解和叠加原理而得出（3.17）解的近似表达式，最后只需形式上取极限便可得出解的积分表达式. 希望同学们对这一方法引起足够重视.

为帮助同学们进一步理解叠加原理，我们再给出一例. 考虑如下定解问题

???u??(uxx?uyy)?f(x,y), (x,y)?? ? （3.23）

?u?0, (x,y)???.

???u??(uxx?uyy)??(x??)?(y??), (x,y)?? ? （3.24）

?u?0, (x,y)???.其中??R2为有界区域. 如果将（3.24）的解记为G(x,y,?,?)，只要将区域?进行划分，并将f(x,y)在该区域内近似离散为

f(x,y)??i?1??f(?,?ij?1?j)??i??j?(x??i)?(y??j)，

完全类似于（3.16）解的导出过程，就可得（3.23）的解为

u(x,y)???G(x,y;?,?)f(?,?)d?d? （3.25）

?在这里称G(x,y,?,?)为定解问题（3.23）的Green函数，相当于带有齐次边界条件的基本解. Green函数G(x,y,?,?)的物理解释为，在区域?中任取一点(?,?)，并在此点置放一单位点热源，则该单位点热源在区域?产生的且满足在区域?的边界上为零的温度分布为G(x,y,?,?). 因此，如果?上有连续热源分布，其

20

?ut?a2uxx, 0?x??, t>0 ? ?ux(0,t)?0,t?0 ?u(x,0)??(x), 0?x??.? 若对于任意的??0，当?(x)??(x??)时该问题的解为G(x,t,?)，试给出原问题解的表达式.

18 设?(x) 和 ?(x)在实轴上有定义,算子M?(x,y)如下定义 M?(x,y)???(?)d? , 2?2????x????yy??求M?(x?y,x?y) , M?(x?y,x2?y2) .

19 考虑如下定解问题

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?l , t?0? ?ux(0,t)?ux(l,t)?0 , t?0 （19.1）

?u(x,0)?0, u(x,0)??(x), 0?x?l.t??（1）M?(x,t)定义如下

M?(x,t)??0t???nsinn?1?n?an?tcosx , ll1l2ln???(?)cosd? , n?1. 验证M?(x,t)中级数其中?0???(?)d? , ?n?l0n?a?0l每一项都满足（19.1）中的齐次方程和边界条件.

（2）写出M?(x,t) , Mf?(x,t??).

,)?0时的解，?(x)?0（3）若M?(xt（19.1）当f(xt问当f(x,t)?0，,)是

时（19.1）的解怎么表示？又

??M?(x,t)是哪一个定解问题的解? ?t20 考虑如下定解问题

22??utt?a(uxx?uyy)?f(x,y,t), (x,y)?R, t?0 ? 2??u(x,y,0)??(x,y), ut(x,y,0)??(x,y), (x,y)?R. 若当?(x,y)?0，f(x,y,t)?0时，该定解问题的解为

1?(?,?) u2(x,y,t)?d?d?， ??2222? aBat(x,y)at?r其中r2?(??x)2?(??y)2，Bat(x,y)??(?,?) r?at?. 试写出当?(x,y)?0,

?(x,y)?0但f(x,y,t)不为零时原定解问题的解.

41

21 考虑如下定解问题

22??ut?a(uxx?uyy)?f(x,y,t), (x,y)?R, t?0 ?

2??u(x,y,0)??(x,y), (x,y)?R. 若当f(x,y)?0时该定解问题的解为 u1(x,y,t)?14a2? t????(?,?)eR2?r24a2td?d?,

其中r2?(??x)2?(??y)2，试写出当?(x,y)?0而f(x,y)不为零时原定解问题的解.

22 [不同介质热传导问题] 设有一长为2l的金属细杆，侧面绝热，左端

(x?0)有恒定热流q（焦耳/秒）流进杆内，右端温度为常温u0. 如果金属细杆

?的一半(0?x?l)是均匀铁杆，而另一半是均匀铜杆. 设铁杆和铜杆的密度分别为?1和?2，导热系数分别为k1和k2.假设金属细杆内部无热源且初始温度?(x)，试推导金属细杆温度u(x,t)满足的定解问题.

23 [活动边界问题] 设有一半无限长(x?0)的金属细杆，侧面绝热内部无热源，初始温度为?(x).如果左端(x?0)在高温下开始燃烧，且燃烧点处温度为

g(t)，燃烧的速度，即单位时间燃烧的金属细杆长度，为a(cm/s)，写出未被燃

?烧的金属细杆内的温度u(x,t)满足的定解问题.

24 [一相斯狄藩（Stefan）问题 ] 设有一长为l的金属细杆，侧面和右端(x?l)绝热，内部无热源且初始温度为?(x). 如果在左端(x?0)有恒定热流q（焦耳/秒）流进杆内且q很大,从而导致金属细杆左端慢慢燃烧，即在该金属熔点时由固态金属转化为同温度的液态金属. 设该金属的潜热（单位质量的该金属完全熔化所需要的热量）为L（焦耳/克），试推导金属细杆左端满足的边界条件，并写出未被燃烧的金属细杆内温度u(x,t)满足的定解问题.

25 [冻结问题—两相Stefan问题] [2] 设有一半无界(x?0)侧面绝热的细空心管，开始时里面装有温度为c(c?0)的温水，内部无热源. 如果在管子左端(x?0)，将温度控制在零度以下的常温c0，则管子中的水就会慢慢结成冰.设

?? 42

冰的潜热为L（焦耳/克），t时刻冰水界面在x??(t)?0处，这里?(t)是未知的，需要求解该冻结问题后得知.试利用和上题类似的方法推导冰水界面x??(t)处的边界条件，并写出冰温u(x,t)和水温v(x,t)满足的定解问题.

26 [边界辐射问题] 傅立叶热学定律和牛顿热学定律反映了热能在同一介质或两种不同介质中传导的规律，即能量交换的定量表示形式. 正是基于这些热力学基本定律，根据能量守恒得到了本章中的热传导方程定解问题.在热力学理论中还有一个基本定律叫斯狄藩—玻耳茨曼（Stefan—Boltzman）定律[2]，

???44是说在物体表面，热量向外辐射的热流为 q??[u?v] n（焦耳/米2?秒），其?中?为辐射系数，n为物体边界的单位外法向量,u为物体表面的温度而v为物体周围介质的温度.现有一长为l的金属细杆，侧面和右端(x?l)绝热，内部无热源且初始温度为?(x).设在左端(x?0)外的温度为10度，在该端只考虑热辐射作用而不考虑热量的传导（如导热系数很小很小时可忽略传导作用），试推导金属细杆左端满足的边界条件并写出金属细杆内温度u(x,t)满足的定解问题.

27. 考虑平面上的Laplace方程 ?u?0，证明以下结果

（1）利用极坐标变换 x?rcos?, y?rsin?，Laplace方程转化为如下形式

11urr?ur?2u???0.

rr（2） 证明：对任意的正整数n，函数 rncosn?，rnsinn?都是平面上的调和函数.

（3）设?为圆心在坐标原点的单位圆，考虑下面问题

???u?0, (x,y)?? ?u?cos??2sin3?, (x,y)??? .?利用叠加原理和上面（2）中的结果求出该问题的解.

28 [能量积分] 考虑如下有界弦振动方程定解问题

?utt?a2uxx, 0?x?l, t>0 ? ?u(0,t)?0, u(l,t)?0, t?0

?u(x,0)?0, u(x,0)??(x), 0?x?l.t??（1）对任意的时刻t?0, 求出弦线在该时刻的动能表达式.

43

Tl2（2）证明对任意的时刻t?0, 弦线在该时刻的弹性势能为 ?ux(x,t)dx,

20其中T为弦线的张力，弦线在平衡位置(u?0)为零势能.

（3）写出弦线在任意时刻t的总能量表示式.

29 考虑如下弹性支撑边界的有界弦振动方程定解问题

?utt?a2uxx, 0?x?l, t>0 ? ?ux(0,t)?u, ux(l,t)??2u, t?0

?u(x,0)?0, u(x,0)??(x), 0?x?l.t??（1）对任意的时刻t?0, 求出弦线在该时刻的动能表达式. （2）对任意的时刻t?0, 求出弦线在该时刻的势能表达式.

30 [极值原理] 证明以下结果

（1） 设?(x)?C[0,l]且大于零，y(x)?C2[0,l]. 如果y(x)满足不等式

?y''??(x)y?0, x?[0,l], y(0)?0,y(l)?0

?则有 y(x)?0,x?[0,l]. 给出这个结果的几何解释.

（2）对任意T?0,记矩形闭域?(T)?[0,l]?[0,T]，区域的下底和侧边称为该区域的抛物边界并记为?p?(T)，即

?p?(T)?{(x,0) 0?x?l }?{(x,t)0?t?T, x?0,l}.

设u(x,t)在闭区域?(T)上有二阶连续偏导数，如果u(x,t)满足不等式 ut?a2uxx?0, (x,t)??(T), u?0, (x,t)??p?(T) 则有 u(x,t)?0, (x,t)??(T). 给出这个结果的物理解释.

44

密度为f(x,y)，则u(x,y)便是该热源在区域?产生的温度分布，并且满足在区域?的边界上温度为零.

请同学们在形式上给出（3.25）的导出过程. 叠加原理的另一重要应用是特征函数法（ eigenfunction method）. 其本质是用定解问题的特征函数系表示相应定解问题中的已知数据和要求的解，然后利用待定系数法确定出所求解的系数. 在第二章中，我们要比较系统地介绍相关的理论和方法，这里就不做介绍了.

§1.4* 齐次化原理

对于线性系统，叠加原理说明多外因同时作用时所产生的效果,等于每个外因单独作用产生的效果之和.而齐次化原理(homogenization principle)则说明不同性质的外因作用可相互转化或称为相互等效性. 掌握好这一原理，在定解问题求解时常可收到事半功倍之效.

1.4.1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换 为使同学们掌握好齐次化原理，先将高等数学中的函数概念和积分变换概念复习一下.

设f(x)?x2?2，去掉自变量x便有

f( )?( )2?2 . （4.1） 这便是f的结构或由f确定的对应法则. 求f在某点的值，只要在（4.1）两边括号中放入相应的自变量值即可. 例如

f( 1 )?( 1 )2?2?3,

f( 2 )?( 2 )2?2?4 ,

111f( )?( )2?2?2?2 , ttt等等. 对二元函数也同样理解，如f(x,y)?x2?x，去掉自变量x，y并用( )1，y( )2分别代替x，y所在的位置，则有 f(( )1,( )2)?( )1?由此便有

f(1,2)?( 1 )12?2( )1 （4.2） ( )2( 1 )113?1?? , ( 2 )222 21

( u )1u?u2? , ( v )2v( x?y )1x?y22 f(x?y,x2?y2)?( x?y )1?2 . ?(x?y)?222( x?y )2x?y如果函数以其它形式给出也可同样理解. 如在Fourier变换中我们知道：任 f(u,v)?( u )1?2给f(x),其Fourier变换定义为

F(f)(?)??首先固定f(x)，则有

F(f)( )????????（4.3） f(x)e?ix?dx

f(x)e?ix( )dx （4.4）

要求F(f)在某一点之值，只需在（4.2）两端括号内放入自变量的值便可. 例如

F(f)( 1 )??F(f)( i )??????f(x)ef(x)e????ix( 1 )dx?????f(x)e?ixdx ,

?ix( i )??dx?????f(x)exdx ,

F(f)( ??2 )??f(x)e?ix(??2 )dx .

在（4.3）中，x称为积分变量，?称为参变量，故通常称（4.3）中积分为含参变量的广义积分. F(f)(?)即是由含参变量广义积分形式给出的函数.

其次考虑f在变，这时只须将(4.3)两边f去掉换成括号即可

F( )(?)??( )(x)e?ix?dx. （4.5）

???求某函数的Fourier变换，只要在（4.5）两边括号内放入该函数便可，例如

F(sinx)(?)??sinxe?ix?dx ,

???F(e?x)(?)??e?xe?ix?dx .

???因此,这里的F(f)纯粹是一个函数符号，如g，h等. Fourier变换便是将原来自变量为x的函数f(x),变成自变量为?的函数F(f)(?).它是一种由函数构成的集合之间的一种映射，数学上通常称为算子或变换. 同学们已学过的不定积分及

变上限积分等概念，还有（3.21）和（3.22）的右端表达式均属此问题.

再举一个函数变换的例子. 设?(x)为定义在区间(?? , ?)上的一元函数，

22

定义变换M：将一元函数?(x)变换为二元函数M?(x,t),具体定义如下

M?(x,t)?1x?at?(?)d? （4.6） ?x?at2a去掉（4.6）中的自变量x，t和函数符号?便有

1( )1?a( )2M( )(( )1,( )2)?( )(?)d? （4.7）

2a?( )1?a( )2如要计算函数sinx变换后所得的函数Msin在(x,t)点的值，只需将函数sinx和

(x,t)代入到（4.6）中便得

1x?at1Msin(x,t)?sin?d???cos(x?at)?cos(x?at)?

2a?x?at2a类似可得，函数Msin在(x?1,t?2)和(x,t??)点的值分别为

Msin(x?1,t?2)?1(x?1)?a(t?2)sin?d?. ?(x?1)?a(t?2)2a1x?a(t??)Msin(x,t??)?sin?d?2a?x?a(t??)

1 =?cos(x?a(t??))?cos(x?a(t??))? .2a对函数f(x,t)，用f?表示当t??代入后由f(x,?)确定的变量为x的函数，即f?(x)?f(x,?). 另外，此处x也可为多维变量.

例4.1 设变换M定义如（4.6）所示，?(x)为定义在区间(?? , ?)上的一元函数，f(x,t)在上半平面{(x,t) ???x??, t?0}有定义，参数??(0,t). 求（1）M?(x,t). （2）M?(x?1,t?2). （3）Mf?(x,t).（4）Mf?(x,t??).

1x?at?(?)d?. 解 （1） M?(x,t)?2a?x?at1(x?1)?a(t?2)1x?at?1?2a?(?)d???(?)d?. （2） M?(x?1,t?2)???(x?1)?a(t?2)x?at?1?2a2a2a1x?atf(?,?)d?. （3） Mf?(x,t)??x?at2a1x?a(t??)f(?,?)d?. （4） Mf?(x,t??)?2a?x?a(t??)例4.2 设K(x,y,t)为一在上半空间{(x,y,t) ???x,y??, t?0}有定义的

23

函数，参数??(0,t)，Br(x,y)?(?,?)(??x)2?(??y)2?r2. 对任一在(x,y)平面上有定义的二元函数?(x,y)，变换M?定义为

??M?(x,y,t)?1? tBat(x,y)???(?,?)K(??x,??y,t)d?d?.

求（1）M?(x,y,t?1)； （2）Mf?(x,y,t??),

其中?(x,y)在(x,y)平面上有定义而f(x,y,t)在上半空间有定义.

解 注意到此时f?(x,y)?f(x,y,?) ，则有 （1） M?(x,y,t?1)?1?(?,?)K(??x,??y,t?1)d?d?. ??? (t?1)Ba(t?1)(x,y)1（2） 由于Mf?(x,y,t)?故有

Mf?(x,y,t??)?? t1Bat(x,y)??f(?,?,?)K(??x,??y,t)d?d?,

??f(?,?,?)K(??x,??y,t??)d?d?.

? (t??)Ba(t??)(x,y)例4.3 设函数?(x)和?(x)在区间[0,l]有定义，f(x,t)在带状区域

{(x,t)0?x?l, t?0}有定义，参数??(0,t). 变换M如下定义

?2ln? M?(x,t)????(?)sin?d? e0ln?1l?n2?2a2l2tsinn?x . l求 （1）M?(x,t)；（2）Mf?(x,t)；（3）Mf?(x,t??).

解 （1）M?(x,t)???2n??(?)sin?d? e?0ln?1l?l??n2?2a2l2tsinn?x . l2ln?（2）Mf?(x,t)???f(?,?)sin?d? e0ln?1l（3）Mf?(x,t??)???ln2?2a2l2tsinn?x . lsinn?x . l2n?f(?,?)sin?d? e?0lln?1?n2?2a2l2(t??)

1.4.2 常微分方程中的齐次化原理

为简单起见，本小节以一阶和二阶常系数常微分方程定解问题的求解为例，

24

介绍齐次化原理.

考虑如下一阶常系数常微分方程Cauchy问题

?x'(t)??x?f(t) , t?0 , ? （4.8）

?x(0)?x0 .利用分离变量法可得齐次方程通解为

x(t)?ce??t， （4.9）

其中c为待定常数. 为求非齐次方程的通解，利用常数变易法，即设

x(t)?c(t)e??t， （4.10）

并将其代入到（4.8）中的非齐次方程可得

c'(t)e??t??c(t)e??t??c(t)e??t?f(t) 故有

t c(t)??e??f(?)d??c， （4.11）

0将（4.11）代入到（4.10）中得

t x(t)?ce??t ??e?(t??)f(?)d?， （4.12）

0由（4.8）中初始条件可确定出（4.12）中的常数c为x0. 因此，问题（4.8）的解为

t（4.13） x(t)?x0e??t??e?(t??)f(?)d?.

0 对（4.13），我们要进一步给出解释. 若记x1(t)?Mx0(t)?x0e??t，另一项记

t为x(t)，即x(t)??e??(t??)f(?)d?. 则x1(t)和x(t)分别是如下两问题的解

0?x'(t)??x?0 , t?0 , ? （4.14）

?x(0)?x0 .?x'(t)??x?f(t) , t?0 , ? （4.15）

?x(0)?0 .不仅如此，x(t)还可由x1(t)的表达式给出，其具体过程如下： 先在x1(t)的表达式中用f(?)替换x0得

Mf?(t)?f(?)e??t，

25

定解问题的齐次化原理.

齐次化原理1[1],[2] 设u3(x,t)?M?(x,t)是（3.13）的解，则

t?M?(x,t)是（3.12）的解，而u1(x,t)??Mf?(x,t??)d?是（3.11）的

0?t解，故（3.10）的解为

t? u(x,t)?M?(x,t)?M?(x,t)??Mf?(x,t??)d?. （4.31）

0?tu2(x,t)?齐次化原理2 [1],[2] 定解问题

?ut?a2uxx?f(x,t) , 0?x? l , t?0 ? ?u(0,t)?u(l,t)?0 , t?0

?u(x,0)??(x) , 0?x?l?若当f?0时，齐次化方程定解问题的解为u(x,t)?M?(x,t).则当??0时,非齐次方程定解问题的解为

u2(x,t)??Mf?(x,t??)d?.

0t故原定解问题的解为

u(x,t)?M?(x,t)??Mf?(x,t??)d?. （4.32）

0t注4 齐次化原理对波动方程和热传导方程的Cauchy问题也成立，请同学们

写出相应的结果. 另外，以上两个齐次化原理是针对一维弦振动方程和一维热传导方程的定解问题给出的结果，对于平面或空间上高维波动方程和热传导方程的定解问题，类似结论也成立,有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2].

§1.5* 二阶线性方程分类和化简

1．5.1二阶偏微分方程的分类

为简单起见，先考虑常系数的二阶线性微分方程. 两个自变量的二阶线性方程的一般形式为

?2u?2u?2u?u?u a112?2a12 ?a222?b1?b2?cu?f， （5.1）

?x1?x1?x2?x2?x1?x2这里aij(1?i,j?2),bi(1?i?2),c均为常数，a12?a21,f是自变量x1,x2的函数.

引入下面二阶常系数线性偏微分算子

?2?2?2??（5.2） L?a112?2a12?a222?b1?b2?c

?x1?x1?x2?x2?x1?x2

则(5.1)可简单地表示为 Lu?f.

31

方程的化简主要是简化二阶导数項的形式. 设A为（5.2）中二阶导数項系数所构成的二阶常数矩阵，即

?aA??11?a21a12??. a22?引入记号：梯度算子 ?x?(???,)，直接计算可得（5.2）的简洁形式为 ?x1?x2（5.3） ??xA?xu?(b1 b2)?xu?cu?f.

作自变量线性变换 (y1,y2)??B(x1,x2)?，其中

?b11b12?B???.

bb?2122?利用多元复合函数的链导法可得

?u?u?u?u?u?u， ?b11?b21, ?b12?b22?x1?y1?y2?x2?y1?y2此即

?xu?B??yu.

因此，在线性变换下一阶导数的关系为

?x?B??y. （5.4）

将（5.4）代入到（5.3）中得

?? ??yBAB?yu?(b1 b2)B?yu?cu?f. （5.5）

由于A为实对称矩阵，故存在正交矩阵B使得BAB?为对角阵，从而使（5.5）中二阶导数項成为如下标准形式

?1uyy??2uyy， （5.6）

1122其中?1,?2为矩阵A的特征值.

若矩阵A正定或负定，即?1,?2同号，称（5.2）为椭圆型方程. 若矩阵A非奇异且?1,?2异号，称（5.2）为双曲型方程. 而当矩阵A奇异且?1,?2其中之一为零时，称（5.3）为抛物型方程.

注1 对于n个自变量常系数的二阶线性偏微分方程，类似于上面（5.5），（5.6）的结果也成立. 此时，相当于线性代数中二次型的化简问题.

对于变系数情形，即下面方程（5.7）中系数aij(1?i,j?2),bi(1?i?2),c均为

32

自变量x?(x1 x2)?的函数，x属于平面上的某个区域?.

?2u?2u?2u?u?u a112?2a12 ?a222?b1?b2?cu?f， （5.7）

?x1?x1?x2?x2?x1?x2此时，（5.7）中二阶导数項系数所构成的二阶矩阵为

?a11(x1,x2)a12(x1,x2)?A(x)???.

a(x,x)a(x,x)?21122212?2记判别式?(x)??A(x)?a12(x)?a11(x)a22(x)，其中A(x)为矩阵A(x)的行列

式.和常系数方程类似，引入下面定义

定义5.1[2] 设?为平面(x1,x2)上的某个区域，x0?(x10 x20)???. (1) 若?(x0)?0，称（4.7）在点x0是椭圆型的(elliptic form ). (2) 若?(x0)?0，称（4.7）在点x0是抛物型的(parabolic form). (3) 若?(x0)?0，称（4.7）在点x0是双曲型的(hyperbolic form). 如果在区域?的某一子集E中每一点，（5.7）都是椭圆型的，就称（5.7）在E是椭圆型的. 类似可定义在某一子集E的抛物型或双曲型方程.

注2 对于n个自变量的二阶线性微分方程，其一般形式为

n?2u?u（5.8） a(x)?b(x)?c(x)?f(x) . ???ijj?x?x?xi?1j?1j?1ijjnn其中自变量x?(x1 x2 ??? xn)???，?为Rn的某个区域. 记（5.8）中二阶导数項系数所构成的n阶矩阵为 A(x)?( aij(x) )，类似地有下面定义：

定义5.2 [2] 设x0?(x10 x20???xn0)???.

（1） 若矩阵A(x0)为正定或负定的，称（5.8）在点x0是椭圆型的. （2） 若A(x0)为非奇异矩阵：如果n个特征值中（n?1）个同号，剩下那

一个异号，称（5.8）在点x0是双曲型的；否则，就称（5.8）在点x0是狭义双曲型的.

（3） 若A(x0)为奇异矩阵：如果n个特征值中只有一个为零，其余的（n?1）

个同号，称（5.8）在点x0是抛物型的；否则，就称（5.8）在点x0是狭义抛物型的.

33

如果在区域?的某一子集E中每一点，（5.8）都是椭圆型的，就称（5.8）在E是椭圆型的. 类似可定义在某一子集E的抛物型或双曲型方程.

例5.1 设??R2.讨论下面Tricomi方程的类型

yuxx?uyy?0.

解 判别式?(x,y)??y，由此可得：在上半平面Tricomi方程为椭圆型，下半平面Tricomi方程为双曲型, 而在x轴上Tricomi方程为抛物型.

例5.2 设??R4.讨论下面方程的类型

ux1x1?4ux2x2?6ux3x4?sinx1?1.

解 由于方程二阶导数項系数为常数，故在整个区域上类型相同. 该方程的二阶导数項系数矩阵为

?1?0A???0??0040000030??0?， ?3?0?易见特征值分别为1,4,3,?3，故该方程在区域?为双曲型.

1.5．2 两个自变量二阶偏微分方程的化简 对于n个自变量常系数的二阶线性微分方程，由上面附注1和附注2易得方程的类型，并可用线性代数中二次型化简方法将方程简化为标准型. 其具体过程是，先求方程二阶导数項系数矩阵A的特征向量；然后利用斯密特（Schmidt）正交化方法将所得到的n个特征向量单位正交化，并以这n个单位正交向量作为

n个列向量生成正交矩阵B；最后，通过一个正交变换y?Bx，在整个Rn上就将方程化为标准型了.将此结果以下面的定理给出.

定理5.1 任一n个自变量常系数的二阶线性偏微分方程，可通过正交变换化为标准型.

对于n个自变量变系数二阶线性微分方程，简化方程一般就不能通过线性变换来完成，而是要用到自变量之间的非线性变换. 不仅如此，通常也不存在一个区域?上的整体变换将方程简化为标准型，而是在每点的某个邻域，利用局部坐标变换将方程化为标准型. 一般地讲，线性问题的整体结果，在一定条件下，非线性问题有相应的局部结果.

下面我们限于两个自变量，举例说明变系数方程的简化方法. 为此，先引入下面的定义.

定义5.3 考虑如下方程

?2u?2u?2u?u?u （5.9） a112?2a12?a222?b1?b2?cu?f，

?x?x?y?y?x?y

34

其中（5.9）中系数aij(1?i,j?2),bi(1?i?2),c均为自变量x,y的函数，(x,y)属于平面上的某个区域?.

下面常微分方程称为（5.9）的特征方程（characteristic equation）

dydya11()2?2a12?a22?0. （5.10）

dxdx如果a11?0，由（5.10）可解出

dya12??(x,y) （5.11） ?dxa11（5.11）的积分曲线称为（5.9）的特征曲线(characteristic curve).

若（5.11）有两族特征曲线?(x,y)?c1, ?(x,y)?c2时，一般说来就可用变量代换:???(x,y), ???(x,y)将方程简化. 若方程在(x0 y0)点为双曲型时，则

?(x0,y0)?0. 若进一步假设方程二阶导数系数为连续函数，则在该点的某个邻域?(x,y)?0. 此时，在该邻域内（5.11）就有两族实特征曲线. 当方程在(x0 y0)点为椭圆型时，出现复特征曲线.而当方程在(x0 y0)点为抛物型时，?(x0,y0)?0，可能会出现多种情况.

利用多元复合函数链导法，直接计算可得如下结果

定理5.2 [2] 若?(x,y)?c1, ?(x,y)?c2为（5.9）在(x0 y0)某个邻域的两族特征曲线，则在该邻域内?(x,y)和 ?(x,y)分别满足以下方程

2222a11?x?2a12?x?y?a22?y?0, a11?x?2a12?x?y?a22?y?0.

现在考虑变量代换

????(x,y)， ????(x,y)?如果?(x,y)和 ?(x,y)在(x0 y0)某个邻域二阶连续可微，且该变换在该邻域是非奇异的，即变换的雅可比（Jacobi）行列式

?x?y?0.

?x?y直接计算可得，方程（4.9）可化为如下形式

?2u?2u?2u （5.12） a112?2a12?a222?????f，

???????? 35

其中（5.12）中系数aij(1?i,j?2),bi(1?i?2),c均为自变量?,?的函数，并且有

22 a11?a11?x?2a12?x?y?a22?y , 22 a22?a11?x?2a12?x?y?a22?y ,

a12?a11?x?x?a12(?x?y??x?y)?a22?y?y .由定理5.2知，此时（5.12）中u??,u??的系数化为零，方程（5.9）的形式得以简化.

例5.3 设x?y. 判别下列方程的类型并化简

yuxx?(x?y)uxy?xuyy?0. （5.13）

解 计算判别式可得

(x?y)2(x?y)2?(x,y)??xy??0,

44故方程（5.13）在区域??{(x y)?R2x?y}是双曲型.(5.13)的特征方程为

y(dy2dy)?(x?y)?x?0. dxdx如y?0，则其解分别为

dyxdy?, ?1， dxydx解之可得两族特征线

y?x?c1,y2?x2?c2.

令??y?x, ??y2?x2，计算可得其雅可比行列式为

?11?2(x?y)?0.

?2x2y在此变换下，通过计算可得（4.13）的标准型为

1u???u??0，

?或改写为

（5.14） ?u???u??0.

'方程（5.14）可写为(?u?)??0，积分得

36

?u??f1(?)，

其中f1(?)为任意一个可微函数. 再积分一次便得

u(?,?)? ?f(?)d???111

?f(?)?g(?)其中f和g为任意二阶可微函数. 将自变量还原为x,y便得（5.13）的通解为

u(?,?)?1f(y2?x2)?g(y?x). y?x例5.4 将Tricomi方程的类型 yuxx?uyy?0分别在下半平面和上半平面内化为标准型.

解 该方程的特征方程为 y(dy2)?1?0. 在下半平面 ，解特征方程可得 dx32dy1，即dx??ydy?0，其通解为 x?(?y)2?c，故Tricomi方程的??3dx?y33222两族实特征曲线族分别为x?(?y)?c1,x?(?y)2?c2. 对方程yuxx?uyy?0333322作变量代换 ??x?(?y)2, ??x?(?y)2，直接计算可得

33 uxx?u???2u???u??，

uyy?(?y)(u???2u???u??)?1(u??u?)， 2?y将上面两式代入到方程yuxx?uyy?0并化简得 u???1(u??u?)?0.

6(???)在上半平面，解特征方程可得

dyi??，即dx?iydy?0，其通解为 dxy23232x?iy?c，此方程等价于 x?c1, y2?c2，此即Tricomi方程的两族实特征

33 37

23曲线族. 对方程yuxx?uyy?0作变量代换 ??x, ??y2，直接计算可得

3 uxx?u??, uyy?yu???12yu?，

将上面两式代入到方程yuxx?uyy?0并化简得 u???u???1u??0. 3?习 题 一

1. 设有一根长为l的均匀柔软细弦，当它作微小横振动时,除受内部张力外，还受到周围介质所产生的阻尼力的作用，阻尼力与速度的平方成正比(比例系数为b)，试写出带有阻尼力的弦振动方程.

2. 长为l的均匀细杆侧面绝热，内部无热源，一端温度恒为零度而另一端有恒定热流q（焦耳/秒?米2）流进杆内. 若杆的初始温度为?(x) (0?x?l) ，试写出相应的定解问题.

3. 一个温度为200℃的铁球置放在空气中让它自然冷却，若空气温度为27度，试写出此球内的温度场u(x,y,z,t)所满足的定解问题.

4. 长为l的圆形管，直径充分小，一端封闭而另一端开放. 管外空气中含有某种气体?，其浓度为u0并向管内扩散，写出该扩散问题相应的定解问题，既管内气体?浓度所满足的定解问题.

5有一半径为R的管道,里面充满某种气体，其密度为?(x,t)(kg/m)，气体在管道中流动的速度为v(x,t)(m/s)，建立该气体在管道中流动时满足的微分方程.

6. 设有一均匀金属细杆，侧面绝热，初始温度为零；一端(x?0)温度为u0，另一端(x?l)有热流q(t) （焦耳/秒?米2）流入杆内.

（1） 若q(t)?sin?t，内部无热源，写出该定解问题.

（2）q(t)同上，内部有热源且热源强度为x （焦耳/秒?千克），写出该定解问题.

7 设有一长为l的均匀柔软细弦，两端x?0和x?l固定.开始时在弦线的

?? 38

中点用一个向上的力F拉弦，达到稳定后放手让其振动，如果无外力作用，写出弦线位移u满足的定解问题.

8. 设有一长为l的均匀柔软细弦, 左端x?0固定，右端x?l系在一长为L弹性系数为k的小弹簧上，如果弹簧的下端固定在弦线的平衡位置，推导弦线右端x?l满足的边界条件. 如果在右端x?l再施加一个外力f(t)，写出弦线右端

x?l满足的边界条件.

9 设有一长为l的均匀柔软细弦，两端x?0和x?l固定，在弦线中间某点处施加一个外力f（常数），其余点无外力作用，推导弦线满足的定解问题.

10. 验证u?x2?y2是方程

y?u?u?x?0 ?x?y?的一个解.问u??(x2?y2)是否仍是该方程的解？其中?为连续可微的函数.

11. 设?(x),?(x)具有二阶连续导数，验证u?x??(y)是方程

?u?2u?u?2u ??0

?x?x?y?y?x2的一个解. 问u??(x??(y))是否仍是该方程的解？该方程是几阶方程？是线性方程还是非线性方程？齐次还是非齐次的？

12. 求方程

?u?x2?2y ?y的通解. 若要求u(x,y)满足u(x,x2)?1，则解u如何确定？

13．设f(x)和g(x)在(??,?)二阶连续可微，a?0为常数. 求解或证明下面结果.

（1）u1(x,t)?f(x?at) 和 u2(x,t)?g(x?at)都是方程 utt?a2uxx的解. （2）利用上面结果求解Cauchy问题

2??utt?auxx, ???x??, t?0 ?u(0,t)?sinx, u(x,0)?0, ???x??. ?t?14. 选已知函数w(x,t)，并作函数代换v?u?w将以下边界条件齐次化 （1） u(0,t)?t, u(2,t)?sint.

39

（2） u(0,t)?1，ux(l,t)?1?t2. （3） ux(0,t)??(t), ux(3,t)??(t). （4）ux(0,t)?t2, ux(2,t)?u(2,t)?t.

15. 找已知函数w(x,t)，并作函数代换v?u?w将以下非齐次方程齐次化 （1） ut?a2uxx?xt. （2）uxx?uyy?sinx?xy.

16. 考虑如下有界弦振动方程定解问题

?utt?a2uxx, 0?x?l, t>0 ? ?u(0,t)?0, u(l,t)?0, t?0 （16.1)

?u(x,0)?0, u(x,0)??(x), 0?x?l.t?（1）将?(x)在[0,l]按正交函数系{sinn?x}n?1展成如下Fourier级数 l?(x)???nsinn?1?n?x ， l并求出该级数的Fourier系数?n.

（2）对于任意的整数n?1，验证un(x,t)?问题的解

??utt?a2uxx, 0?x?l, t>0? ?u(0,t)?0, u(l,t)?0, t?0 ?n??u(x,0)?0, ut(x,0)??nsinx, 0?x?l.l?ln?a?nsinn?an?tsinx是如下ll（3）利用以上结果试写出定解问题（16.1）的解.

（4）试给出如下定解问题的解

?utt?a2uxx, 0?x?l, t>0? （16.2） ?u(0,t)?0, u(l,t)?0, t?0?u(x,0)??(x), u(x,0)?0, 0?x?l.t?17 考虑如下半无界热方程定解问题

? 40

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