2007-2011年高考理科数学试题及解析-重庆卷

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2007

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线y?x?1与圆x2?y2?1的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 2．已知复数z的实部为?1，虚部为2，则A．2?i B．2?i C．?2?i 3．(x?A．16

2 D．相离

5i=（ ） zD．?2?i

28)的展开式中x4的系数是（ ） x

B．70

C．560

D．1120

4．已知a?1,b?6,a?(b?a)?2，则向量a与向量b的夹角是（ ） A．

? 6B．

? 4C．

? 3D．

? 25．不等式x?3?x?1?a2?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．(??,?1]?[4,??) B．(??,?2]?[5,??) C．[1,2]

D．(??,1]?[2,??)

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A．

8254860 B． C． D． 919191917．设?ABC的三个内角A,B,C，向量m?(3siAn,Bsi，nn)?(cosB,3cosA)，若

m?n?1?coAs?(B，则C=（ ）

A．

? 6B．

? 3C．

2? 3D．

5? 62x2?ax?b)?2，其中a,b?R，则a?b的值为（ ） 8．已知lim(x??x?1A．?6

B．?2

C．2

0D．6

9．已知二面角??l??的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面?和平面?所成的角都是25的直线的条数为（ ）

0A．2 B．3 C．4 D．5

??m1?x2,x?(?1,1]10．已知以T?4为周期的函数f(x)??，其中m?0。若方程3f(x)?x恰有5个

??1?x?2,x?(1,3]实数解，则m的取值范围为（ ）

A．(158,) 33B．(15,7) 3C．(,)

4833

D．(,7)

43二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

x11．若A?x?Rx?3，B?x?R2?1，则A?B? ．

????12．若f(x)?1?a是奇函数，则a? ． x2?113．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

14．设a1?2，an?1?a?22*，bn?n，n?N，则数列?bn?的通项公式bn= ．

an?1an?1x2y215．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F若双曲线上存在一点P1(?c,0),F2(c,0)，

ab使

sinPF1F2a?，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

sinPF2F1c三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数f(x)?sin(?x??x?)?2cos2?1． 468（Ⅰ）求f(x)的最小正周期．

（Ⅱ）若函数y?g(x)与y?f(x)的图像关于直线x?1对称，求当x?[0,]时y?g(x)的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数?的分布列与期望．

4321和，且各32

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x?2y?1?0．

（Ⅰ）求a,b的值；

ex（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性．

f(x) 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥S?ABCD中，AD?BC且AD?CD；平

面

CSD?平面ABCD，CS?DS,CS?2AD?2；E为BS的中点，

CE?2,AS?3．求：

（Ⅰ）点A到平面BCS的距离； （Ⅱ）二面角E?CD?A的大小． 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y?433，离心率e?，M是椭圆上的动点． 32值； 点，

（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,?3),(0,3)，求MC?MD的最大（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(1,0)，B是圆x?y?1上的

22

?????????????????????N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ?OM?ON，QA?BA?0．求线段QB的中点P的轨迹方

程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若m?2009，且a1,a2,?,a105是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,?,a1006是公比为q?d的

等比数列；数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：S3?15,S2009?S2007?12a1，求通项an(n?m)；

（Ⅱ）若每个数an(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

22a1???a6?a7???am?ma1a2am；

（1）若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于（ ）

A．3 B.4 C. 5 D. 6

【答案】：A

【分析】：由S3?3a1?3d?3?3d?9可得d?2.?a2?a1?d?3.

2（2）命题“若x?1，则?1?x?1”的逆否命题是（ ）

22A．若x?1，则x?1或x??1 B.若?1?x?1，则x?1 22C.若x?1或x??1，则x?1 D.若x?1或x??1，则x?1

【答案】：D

2【分析】：其逆否命题是：若x?1或x??1，则x?1。

（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，

则这三个平面把空间分成（ ）

A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 【答案】：C

abc【分析】：可用三线a,b,c表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。 （4）若(x?1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） xA.10 B.20 C.30 D.120

【答案】：B

r6?rr6?2r【分析】：2n?64?n?6.?Tr?1?C6x?x?r?C6x.

3 ?6?2r?0?r?3?T4?C6?20.

（5）在?ABC中，AB?3,A?450,C?750,则BC =（ ）

A.3?3 B.2 C.2 D.3?3 【答案】：A

【分析】：?AB?3,A?450,C?750,由正弦定理得：

acBCAB?,?????sinAsinCsin45sin753,

6?24 ?BC?3?3.

（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，

则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）

179323 B． C． D． 4120424【答案】：C

A．

111C5C3C23【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，?P?1??. 3C104（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则

2ab的最大值为（ ）

|a|?2|b|A.

25252 B. C. D. 15452【答案】：B

【分析】：a是1+2b与1-2b的等比中项，则a?1?4b?a?4b?1?4|ab|.

22221?|ab|?.?a2?4b2?(|a|?2|b|)2?4|ab|?1.

42ab2ab2|ab|4(ab)2???? |a|?2|b|1?4|ab|1?4|ab|1?4|ab|?441?()2|ab|ab?(41?2)2?4|ab| ?|ab|?11??4, 4|ab|?2ab42max?.

|a|?2|b|324

（8）设正数a,b满足

lim(xx?22?ax?b)?4, 则limn??an?1?abn?1?（ ）

an?1?2bnA．0 B．

【答案】：B 【分析】：?11 C． D．1 42a12(x?ax?b)?4?4?2a?b?4?2a?b??. limb2x?2 ?a?ablimn?1?2bnn??an?1n?1aa11a()n?a()n?b?22?1. ?limblim11n??1an()?2n??()n?24aba2（9）已知定义域为R的函数f(x)在(8,??)上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，

则（ ）

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 【答案】：D

【分析】：y=f(x+8)为偶函数，?f(x?8)?f(?x?8).即y?f(x)关于直线x?8对称。 又f(x)在(8,??)上为减函数，故在(??,8)上为增函数， 检验知选D。 （10）如图，在四边形ABCD中，|AB|?|BD|?|DC|?4,AB?BD?BD?DC?0,

???????|AB|?|BD|?|BD|?|DC|?4，则(AB?DC)?AC的值为（ ）

A.2 B. 22 C.4 D.42 【答案】：C

???????????????????????????2【分析】：(AB?DC)?AC?(AB?DC)?(AB?BD?DC)?(|AB|?|DC|).

??????????????????|AB|?|BD|?|DC|?4,?|AB|?|DC|?2. ???????|BD|(|AB|?|DC|)?4,???DC ?(AB?DC)?AC?4.

AB

二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数

2i的虚部为________. 2?i3

4 52i2i2i(2?i)?2?4i24??????i. 【分析】：32?i2?i5555【答案】：

?x?y?1?（12）已知x,y满足?2x?y?4，

?x?1?则函数z = x+3y的最大值是________. 【答案】：7 【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时，

zmax?1?6?7.

（13）若函数f(x) =

2x?2ax?a?1的定义域为R，

2则a的取值范围为_______. 【答案】：??10，? 【分析】：2x2?2ax?a?1?20恒成立，?x2?2ax?a?0恒成立，

2 ???(2a)?4a?0?a(a?1)?0??1?a?0.

（14）设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根，

则a2006?a2007?__________. 【答案】：18

【分析】：?a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根，故有：

221?3?a?a???20042??20042 ?或?（舍）。?q?3.

31?a??a?20052005??2??2 a2006?a2007?a2005(q?q)?23?(3?32)?18. 2（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，

则不同的选课方案有___________种。（以数字作答） 【答案】：25

224【分析】：所有的选法数为C7，两门都选的方法为C2C5。 422 故共有选法数为C7?C2C5?35?10?25.

（16）过双曲线x?y?4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，

220

则|FP|?|FQ|的值为__________. 【答案】：83 3【分析】：?F(22,0),k?tan1050??(2?3).?l:y??(2?3)(x?22). 代入x2?y2?4得：(6?43)x2?42(7?43)x?60?323?0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2).?x1?x2?42(7?43)60?323,x1?x2?.

6?436?4322 又|FP|?1?k|x1?22|,|FQ|?1?k|x2?22|,

?|FP|?|FQ|?(1?k2)|x1x2?22(x1?x2)?8|

?(8?43)?|?60?32316(7?43)??8|

6?436?43(8?43)(?4)83?.36?43

三、解答题：本大题共６小题，共76分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分13分)设f (x) = 6cosx?3sin2x （1）求f(x)的最大值及最小正周期； (9分)

（2）若锐角?满足f(?)?3?23，求tan?的值。(4分) 解：（Ⅰ）f(x)?62451?cos2x?3sin2x 2?3cos2x?3sin2x?3

?3?1????23?cos2x?sin2x?3?23cos2x?????3． ?2?26????故f(x)的最大值为23?3；最小正周期T?（Ⅱ）由f(?)?3?23得23cos?2??又由0???2???． 2???????，故?3?3?23cos2???????1．

6?6???????5?． 得?2?????，故2????，解得??2666612

从而tan??tan45??3． 3（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司

缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率

分别为,111,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： 91011（1）获赔的概率；(4分)

（2）获赔金额?的分别列与期望。(9分)

2，3．由题意知A1，A2，A3独立， 解：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k?1，且P(A1)?111，P(A2)?，P(A3)?． 91011（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

891031?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1????．

9101111（Ⅱ）?的所有可能值为0，9000，18000，27000．

89108P(??0)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)????，

9101111P(??9000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

1910811089124211???????????， 91011910119101199045P(??18000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

1110191811????????? 910119101191011273??， 990110P(??27000)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

1111????． 91011990综上知，?的分布列为

? P 0 9000 18000 27000 8 1111 453 1101 990

求?的期望有两种解法： 解法一：由?的分布列得

E??0??81131?9000??18000??27000? 114511099029900≈2718.18（元）． 112，3， 解法二：设?k表示第k辆车一年内的获赔金额，k?1，则?1有分布列

?1 P 故E?1?9000?0 9000 8 91 91?1000． 911?900，E?3?9000??818.18． 同理得E?2?9000?1011综上有E??E?1?E?2?E?3?1000?900?818.18?2718.18（元）．

（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1?2, AB = 1,

?ABC?900；点D、E分别在BB1、A1D上，且B1E?A1D，

四棱锥C?ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5。 （1）求异面直线DE与B1C1的距离；(8分)

（2）若BC =2，求二面角A1?DC1?B1的平面角的正切值。(5分)

A1 E B1 C1 D A B C

解法一：（Ⅰ）因BC11?A1B1，且B1C1?BB1，故B1C1?面A1ABB1， 从而B1C1?B1E，又B1E?DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线． 设BD的长度为x，则四棱椎C?ABDA1的体积V1为

111V1?SABDA·BC?(DB?AA·)AB·BC?(x?2)·BC． 113661·AA1?AB·BC·AA1?BC． 而直三棱柱ABC?A1B1C1的体积V2为V2?S△ABC2138由已知条件V1:V2?3:5，故(x?2)?，解之得x?．

65582从而B1D?B1B?DB?2??．

5529?2?22在直角三角形A1B1D中，A1D?A1B1?B1D?1????，

55??又因S△A1B1D?故B1E?211A1D·B1E?A1B·1B1D， 22A1B·2291B1D． ?A1D29A1 （Ⅱ）如答（19）图1，过B1作B1F?C1D，垂足为F，连接A1F，

B1 F

E D

C1

因

A1B1?B1C1，A1B1?B1D，故A1B1?面B1DC1．

由三垂线定理知C1D?A1F，故?A1FB1为所求二面角的平面角．

A B

C

答（19）图1

36?2?在直角△C1B1D中，C1D?B1C?B1D?2????，

5?5?2122又因S△C1B1D?故B1F?解法二：

11C1D·B1F?B1C1·B1D， 22B1C·AB33231B1D，所以tanA1FB1?11?． ?C1D9B1F2000，)，，B1(0，1，0)，（Ⅰ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O?xyz，则B(0，2)，A(0，????????A1(01，，2)，则AA1?(0，?10)，． 0，2)，AB?(0，?????设C1(a，0，2)，则BC，0，0)， 11?(a????又设E(0，y0，z0)，则B1E?(0，y0，z0?2)，

??????????????????从而BCB1E?0，即B1E?BC11?11．

?????????DE的公垂线．又B1E?DA A1E是异面直线B1C1与1，所以B1下面求点D的坐标．

z B1 F E D C1 ????设D(0，0，z)，则BD(0，0，z)．

因四棱锥C?ABDA1的体积V1为

y A x

C ????1????????????????而直三棱柱ABC?A1B1C1的体积V2为V2?S△ABC?AA1?AB?BC?AA1?BC．

2由已知条件V1:V2?3:5，故

????1????????????????1V1?SABDA1?BC?(BD?AA1)?AB?BC

36????1?(z?2)?1?BC． 6B(O) 答（19）图2

1388??(z?2)?，解得z?，即D?0，0，?． 6555??????????8?2?????2??????从而DB1?0，0，?，DA1??0，1，?，DE??0，y0，z0??．

5?5?5????接下来再求点E的坐标．

?????????2由B1E?DA1，有B1E?DA1?0，即y0?(z0?2)?0 （1）

58z?0?????????y05． （2） 又由DA?1∥DE得215?????444810??448?联立（1），（2），解得y0?，z0?，即E??0，，?，得B1E??0，，??．

2929?2929??2929?22????229?4??10???故B1E??． ???29?29??29??????20，)，过B1作B1F?C1D， （Ⅱ）由已知BC?2，则C1(2，0，2)，从而DC1?(2，5垂足为F，连接A1F，

???????????????设F(x1，0，z1)，则B1F?(x1，0，z1?2)，因为B1F?DC1?0，故

2x1?24z1??0??????????????① 55

??????x8?????????因DF??x1，0，z1??且DF∥DC1得1?5?2?z1?2585，即

28x1?2z1?2?0??????????????② 55联立①②解得x1?24444??22，z1?，即F?2，0，?． 272727??27??????2??210?????10?则A1F??2，?1，??，B1F??2，0，??．

27?27??27?27??????22??10?223． |B1F|?????27????9???27???????????21022?2?(?1)?0???0，故A1F?DC1， 又A1F?DC1?27275???????????????因此?A，?10)，，从而A1B1?B1F?0， 1FB1为所求二面角的平面角．又A1B1?(0?????|A1B1|33??故A1B1?B1F，△A1B1F为直角三角形，所以tanA1FB1?????．

2|B1F|

（20）(本小题满分13分)已知函数f(x)?axlnx?bx?c(x>0)在x = 1处 取得极值–3–c，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；(6分)

（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)

（3）若对任意x>0，不等式f(x)??2c恒成立，求c的取值范围。(3分) 解：（I）由题意知f(1)??3?c，因此b?c??3?c，从而b??3． 又对f(x)求导得f?(x)?4axlnx?ax??4bx?x3(4alnx?a?4b)． 由题意f?(1)?0，因此a?4b?0，解得a?12．

3（II）由（I）知f?(x)?48xlnx（x?0），令f?(x)?0，解得x?1．

3424421x3当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为减函数； 当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为增函数．

因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，∞?)．

（III）由（II）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，此极小值也是最小值，

要使f(x)≥?2c2（x?0）恒成立，只需?3?c≥?2c． 即2c?c?3≥0，从而(2c?3)(c?1)≥0，解得c≥所以c的取值范围为(??，?1]??，???．

(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1?1，且

223或c≤?1． 2?3?2??6Sn?(an?1)(an?2),n?N*

（1）求{an}的通项公式；(5分) （2）设数列{bn}满足an(2bn?1)?1，并记Tn为{bn}的前n项和，

求证：3Tn?1?log2(an?3),n?N*. (7分) （I）解：由a1?S1?1(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2，由假设a1?S1?1，因此a1?2， 611又由an?1?Sn?1?Sn?(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)，

66得(an?1?an)(an?1?an?3)?0，

即an?1?an?3?0或an?1??an，因an?0，故an?1??an不成立，舍去． 因此an?1?an?3，从而?an?是公差为3，首项为2的等差数列， 故?an?的通项为an?3n?1．

（II）证法一：由an(2n?1)?1可解得bn?log2?1?b??1?3n； ?log?2a2?3n?1从而Tn?b1?b2???bn?log2??????36?253n??． 3n?1?33n?2?36因此3Tn?1?log2(an?3)?log2???． ????3n?1?3n?2?25

3n?2f(n?1)3n?2?3n?3?(3n?3)2?36令f(n)????，则． ?????????2253n?13n?2f(n)3n?53n?2(3n?5)(3n?2)????因(3n?3)3?(3n?5)(3n?2)2?9n?7?0，故f(n?1)?f(n)． 特别地f(n)≥f(1)?3327?1，从而3Tn?1?log2(an?3)?log2f(n)?0． 20即3Tn?1?log2(an?3)． 证法二：同证法一求得bn及Tn，

由二项式定理知，当c?0时，不等式(1?c)3?1?3c成立．

?1?由此不等式有3Tn?1?log22?1???2?31??1??1??1?????

53n?1????33583n?23??3??3???log2···?·?log2(3n?2)?log2(an?3)． ?log22?1???1????1?2?253n?1253n?1??????证法三：同证法一求得bn及Tn．

363n473n?1583n?2，Bn?··?··，Cn?··?．

253n?1363n473n?13n3n?13n?23n+22??因．因此An?AnBnCn?． 3n?13n3n?12·令An?··?3n??363从而3Tn?1?log22???????log22An

3n?1??25?log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)．

证法四：同证法一求得bn及Tn．

下面用数学归纳法证明：3Tn?1?log2(an?3)． 当n?1时，3T1?1?log2327，log2(a1?3)?log25， 4因此3T1?1?log2(a1?3)，结论成立．

假设结论当n?k时成立，即3Tk?1?log2(ak?3)． 则当n?k?1时，

3Tk?1?1?log2(ak?1?3)?3Tk?1?3bk?1?log2(ak?1?3) ?log2(ak?3)?log2(ak?1?3)?3bk?1

(3k?3)3 ?log22(3k?5)(3k?2)(3k?3)3因(3k?3)?(3k?5)(3k?2)?9k?7?0．故log2?0．

(3k?5)(3k?2)232从而3Tk?1?1?log2(ak?1?3)．这就是说，当n?k?1时结论也成立． 综上3Tn?1?log2(an?3)对任何n?N+成立．

(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），

右准线l的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；(4分)

（2）在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1，

证明:

111为定值，并求此定值。(8分) ??|FP||FP||FP|123 Y P2 P1 l O F P3 X

x2y2解：（I）设椭圆方程为2?2?1．

ab0)，故半焦距c?3． 因焦点为F(3，y l P2 O P1 Q1 FP3 A x

答（22）图

的方程为x?a2又右准线lc，从而由已知

a2?12，a2c?36， 因此a?6，b?a2?c2?27?33．

故所求椭圆方程为

x2y236?27?1． （II）记椭圆的右顶点为A，并设?AFPi??i（

i?1，2，3），不失一般性， 假设0≤?2?1?3，且??2?4?2?1?3，?3??1?3． 又设点Pc1i在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率e?a?2，从而有

FPPQii?e???a2?c?c?FP?i?icos?i??e

?12(9?FPicos?i) (i?1，，23．) 解得12?1?FP??1?2cos?i?? (i?1，2，3)． i9?因此

1FP?1?1?2??3?1??cos??2???4????1?cos??1???cos??1????，1FP9??3? 2FP3?2?3???而cos?1?cos???2??3???cos????4???1?1?3?? ?cos?13131?2cos?1?2sin?1?2cos?1?2sin?1?0，

故1FP?1?121FPFP?为定值． 233

2008年高考（重庆卷）数学（理科）解析满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(K)=kmPk(1-P)n-k

以R为半径的球的体积V=

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要

求的. （1）复数1+(A)1+2i 【标准答案】A 【试题解析】1+

4πR3. 32= 3i

(B)1-2i

(C)-1

(D)3

222i1??1??1?2i =1+333iiii【高考考点】复数的概念与运算。

【易错提醒】计算失误。

【学科网备考提示】复数的概念与计算属于简单题，只要考生细心一般不会算错。

(2) 设m,n是整数，则“m,n均为偶数” 是“m?n是偶数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【标准答案】A

【试题解析】m,n均为偶数?m?n是偶数 则充分； m?n是偶数则m,n均为偶数或者m,n均为奇数即m?n是偶数??m,n均为偶数 则不必要，故选A

【高考考点】利用数论知识然后根据充要条件的概念逐一判定 【易错提醒】m?n是偶数则m,n均为偶数或者m,n均为奇数

【学科网备考提示】m,n均为偶数?m?n是偶数，易得;否定充要时只要举例：m?1,n?3，即可。 (3)圆O1:x?y?2x?0和圆O2: x?y?4y?0的位置关系是

2222

(A)相离 【标准答案】B

(B)相交 (C)外切 (D)内切

【试题解析】O1(1,0),O2(0,2)，|O1O2|?(1?0)2?(0?2)2?5?R?r则

【高考考点】圆的一般方程与标准方程以及两圆位置关系 【易错提醒】|O1O2|?R?r相交

【学科网备考提示】圆的一般方程与标准方程互化，此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。 (4)已知函数y=1?x?x?3的最大值为M,最小值为m,则

m的值为 M(D)

(A)

1 4 (B)

1 2 (C)

2 2

3 2【标准答案】C

【试题解析】定义域??1?x?01?x?x?3?22，当且仅当??3?x?1 1?x?x?3?22?x?3?0m2 ?M21?x?x?3即x??1上式取等号，故最大值为M?22 最小值为m?2 ?【高考考点】均值定理

a?b2a2?b2)?【易错提醒】正确选用( 22【学科网备考提示】教学中均值定理变形应高度重视和加强训练 (5)已知随机变量?服从正态分布N(3,a2),则p(??3)＝ (A)

1 5 (B)

1 4 (C)

1 3 (D)

1 21 2【标准答案】D

【试题解析】?服从正态分布N(3,a2) 则曲线关于x?3对称，p(??3)?【高考考点】正态分布的意义和主要性质。 【易错提醒】正态分布N(?,?2)性质：曲线关于x??对称

2【学科网备考提示】根据正态分布N(?,?)性质是个较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不

注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。

(6) 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2?R有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1则下列说法一定正确的是

（A）f(x) 为奇函数 （B）f(x)为偶函数（C）f(x)?1为奇函数（D）f(x)?1为偶函数

(8)

x2y2已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y?kx(k?0),离心率e?5k,则双曲线方程为

abx2y2（A）2－2=1

a4ax2y2 (C)2?2?1

4bb【标准答案】C

x2y2(B)2?2?1 a5ax2y2(D)2?2?1 5bb

?b?a?k?c?c?5k， 所以a2?4b2 【试题解析】e??5k，?a?2a2?a?b?c2??【高考考点】双曲线的几何性质 【易错提醒】消去参数k

【学科网备考提示】圆锥曲线的几何性质是高考必考内容

(9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

（A）V1=

V 2

(B) V2=

V 2（C）V1> V2 【标准答案】D

（D）V1< V2

4?34?R3V1RV?R?4?()??2?V2所以 R ，小球半径为 根据题意【试题解析】设33242V4?34?R32?3VV2?1?R?4?()?R? 于是V?V1?V即2V?V?V所以V?V?V?V?0

22122123323222【高考考点】球的体积公式及整体思想 【易错提醒】V2?V1V?及不等式的性质 22【学科网备考提示】数形结合方法是高考解题的锐利武器，应当很好掌物。 (10)函数f(x)=sinx?1(0?x?2?) 的值域是

3?2cosx?2sinx?2??2,0?,0? （B）??1,0? （C）?（A）?? （D）??3,0? ?????2?【标准答案】B

【试题解析】特殊值法， sinx?0,cosx?1则f(x)=0?1??1淘汰A，

3?2?1?2?036?(sinx?1)2sinx?1??2得cosx?令当时sinx??1时cosx?所以矛盾f(x)??2243?2cosx?2sinx淘汰C， D

【高考考点】三角函数与函数值域

【易错提醒】不易利用函数值为?2进行解题

【学科网备考提示】加强特殊法---淘汰法解选择题的训练，节省宝贵的时间，提高准确率 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}， 则(A?B)?(eUC)? 【标准答案】{2,5}

【试题解析】A?B?{2,3,4,5)，e1,2,5} (A?B)?(eUC?{UC)?{2,5} 【高考考点】集合运算 【易错提醒】补集的概念

【学科网备考提示】应当把集合表示出来，一般就不会算错。

?2x?3(当x?0时）（12）已知函数f(x)=??a(当x?0时）【标准答案】

an2?1? . (当x?0时) ，点在x=0处连续，则lim22x??an?n1 3

2x?3?lim2x?3?3 又 f(0)?a 点在x=0处连续， 【试题解析】lim??x?0

x?03n2?131?? 所以limf(x)?f(0) 即a?3 故lim22x?0x??3n?n93【高考考点】连续的概念与极限的运算 【易错提醒】limf(x)?f(0)

x?0【学科网备考提示】函数连续解题较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。 (13)已知a?234(a>0) ，则log2a? . 93

2332【标准答案】3

2322323【试题解析】(a)?[()]2?a?() ?log2a?log2()?3

33333【高考考点】指数与对数的运算

223【易错提醒】(a)?[()]2

3【学科网备考提示】加强计算能力的训练，训练准确性和速度

(14)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12??8, S9??9,则S16? . 【标准答案】-72 【

2332(a1?a9)?9??9,a1?a9?2a5?a5??1?a5?a12??92(a?a)?16(a5?a12)?16?9?16S16?116????72

222试

题

解

析

】

S9?，

【高考考点】等差数列求和公式以及等差数列的性质的应用。 【易错提醒】等差数列的性质a1?a16?a5?a12

【学科网备考提示】此题不难，但是应当注意不要因为计算失误而丢分

（15）直线l与圆x?y?2x?4y?a?0(a?3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 。 【标准答案】x?y?1?0

【试题解析】设圆心O，直线l的斜率为k， 弦AB的中点为P，PO的斜率为kop，kop?所以k?kop?k?(?1)??1?k?1 由点斜式得y?x?1 【高考考点】直线与圆的位置关系

【易错提醒】l?PO

【学科网备考提示】重视圆的几何性质

222?1则l?PO，?1?0

(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）. 【标准答案】216

【试题解析】A1处4种，B1处3种，C1处2种则底面共4?3?2?24，

A，B分类，A，B同，B处3种，C处1种，则共有3种，A，B不同，A处3，B处2种， C处1种，则共有3?2=6种，由分类计数原理得上底面共9种，由分步类计数原理得共有

【高考考点】排列与组合的概念，并能用它解决一些实际问题。

【易错提醒】掌握排列组合的一些基本方法，做题时从特殊情况分析，可以避免错误。 【学科网备考提示】排列组合的基本解题方法

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求： （Ⅰ）

?a的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值. c【标准答案】 解：（Ⅰ）由余弦定理得

a2?b2?c2?2bcosA＝(1c)2?c2?2?1c?c?1?7c2,故a?7.

3329c3（Ⅱ）解法一：cotB?cotC＝ 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得

cosBsinC?cosCsinBsin(B?C)sinA?, ＝

sinBsinCsinBsinCsinBsinC72c143sinA1a2914143. ?·?·??.故cotB?cotC?19sinBsinCsinAbc93c·c3332解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有

72212c?c?(c)5a?c?b93. cosB?＝?2ac2772?c?c3222故sinB?1?cos2B?1?253?. 2827272122c?c?ca?b?c19 同理可得cosC??9??,

2ab71272?c?c3322

sinC?1?cos2C?1?133?. 2827从而cotB?cotC?cosBcosC51143??3?3?. sinBsinC399【高考考点】本小题主要考查余弦定理、三角函数的基本公式、三角恒等变换等基本知识，以及推理和运算能

力。 三角函数的化简通常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆运算。 【易错提醒】正余切转化为正余

【学科网备考提示】三角函数在高考题中属于容易题，是我们拿分的基础。。 （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为

1，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）2比赛停止时已打局数?的分别列与期望E?.

【标准答案】 解：令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

P(AC12B3)?P(B1C2A3)?111?3?. 3224（Ⅱ）?的所有可能值为2，3，4，5，6，且

111??, 22222111P(??3)?P(ACC)?P(BCC)??3?. 1231233224111P(??4)?P(ACBB)?P(BCAA)??4?. 123412344228111P(??5)?P(ACBAA)?P(BCABB)???, 1234512345252516111P(??6)?P(ACBAC)?P(BCABC)???, 1234512345252516P(??2)?P(A1A2)?P(B1B2)?故有分布列 从

2 3 4 5 6 ? 而

P 1 21 41 81 161 161111147E??2??3??4??5??6??（局）.

248161616【高考考点】本题主要考查独立事件同时发生、互斥事件、分布列、数学期望的概念和计算，考查分析问题及

解决实际问题的能力。

【易错提醒】连胜两局或打满6局时停止

【学科网备考提示】重视概率应用题，近几年的试题必有概率应用题。

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，在?ABC中，B=90,AC=

?15,D、E两点分别在AB、AC上.使 2ADAE??2,DE=3.现将?ABC沿DE折成直二角角，求： DBEC（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

【标准答案】 解法一： （Ⅰ）在答（19）图1中，因

ADAE?，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE. DBCE

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从

而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线. 下求DB之长.在答（19）图1中，由

ADAEDEAD2??2，得??. CBBCBCAB32239?15??9?22又已知DE=3,从而BC?DE?. AB?AC?BC???????6.

22?2??2?

因

DB1?,故DB＝2. AB3

y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），C?2，，0?，E（0，3，

??92???????3?????0）.AD＝?-2，-，0?，AD＝（0，0，-4）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线

2??于F，连接AF.

????设F(x0,y0,0),从而DF?(x0,y0,0),

????????????3CE?0,即2x0?y0?0. ① EF?(x0,y0?3,0).由DF?CE，有 DF?2????????xy?3 又由CE?EF,得0?0. ②

322?????36483648?3648?? 联立①、②，解得x0??,y0?.即F??,,0?，得AF???,,?4?.

2525?2525??2525??????????36?48?3? 因为AF?CE?????(?2)??????0,故AF?CE,又因DF?CE,所以?DFA为所求的二面角

2525???2?22?????????3648??36??48?12????A-EC-B的平面角.因DF???,,0?,有DF????????,AD?4,所以

5?25??25??2525?????AD5taAFDn?????? .DF3

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan.

【高考考点】本题主要考查直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线间的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。 【易错提醒】

【学科网备考提示】立体几何中的平行、垂直、二面角是考试的重点。 （20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.） 设函f(x)?ax2?bx?c(a?0),曲线y?f(x)通过点(0,2a?3),且在点(-1,f(-1))

53处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ）用a分别表示b和c；

（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=?f(x)ex的单调区间。

2【标准答案】解：(Ⅰ)因为f(x)?ax?bx?c,所以f?(x)?2ax?b.

又因为曲线y?f(x)通过点（0，2a?3）,故f(0)?2a?3,而f(0)?c,从而c?2a?3. 又曲线y?f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴，故f?(?1)?0,即?2a?b?0,因此b?2a

9, 43933故当a??时，bc取得最小值-.此时有b??,c?.

44223233333233?x?x从而f(x)??x?x?,f?(x)??x?,g(x)??f(x)c?(x?x?)e,

4222242232?x?x所以g?(x)?(f(x)?f?(x)e??(x?4)e.令g?(x)?0，解得x1??2,x2?2.

4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得bc?2a(2a?3)?4(a?)?234当x?(??,?2)时,g?(x)?0,故g(x)在x?(??,?2)上为减函数； 当x?(?2,2)时，g?(x)?0,故g(x)在x?(2,??)上为减函数. 当x?(2,??)时，g?(x)?0，故g(x)在x?(2,??)上为减函数.

由此可见，函数g(x)的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.

【高考考点】本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求最值以及不等式的性质。

【易错提醒】不能求bc?2a(2a?3)?4(a?)?3429,的最小值 4【学科网备考提示】应用导数研究函数的性质，自2003年新教材使用以来，是常考不衰的考点。 （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如题（21）图，M(?2,0)和N(2,0)的平面上的两点，动点P满足：

|PM|?|PN|?6

（Ⅰ）求点P的轨迹方程： （Ⅱ）若|PM|?|PN|?2,求点P的坐标.

1?cosMPN

?33x??,22??5x?9y?45,??2 即P点坐标为

由方程组?2 解得?2??x?3y?3.?y??5.??2(335335335335,)、（，-）、（-，）或（?，-）. 22222222【高考考点】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、余弦定理等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。

【易错提醒】不能将条件PM?PN?2,与余弦定理联系起来

1?cosMPN【学科网备考提示】重视解析几何条件几何意义教学与训练。 （22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{an}满足a1?2,an?a（Ⅰ）若a2?32a?1a?2a(n?N*).

1，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）； 4

（Ⅱ）记bn?a3a2???an(n?N*),若bn?22对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.

【标准答案】 解：(Ⅰ)因a1?2,a2?2?2,故

?32a3?a1a2?2,a4?a2a3n?14?32?2?8. 由此有a1?2(?2),a2?2(?2),a3?2(?2),a4?2(?2)，故猜想{an}的通项

0223为 an?2(?2)(n?N*).

5111?(?2)2(n?N*). ⑦ 对n求和得xn?(x2?2)(2?n?1)?(x2?)2223由题设知S2k?1?31,且由反证假设x2?有 221122k?1?115（x2?2)(2?2k)?(x2?)?(k?N*).2234 2k?112?11151从而(x2?)??(x2?2)(2?2k)??2x2?(k?N*).2324434?1对k?N*恒成立.但这是不可能的，矛盾. 即不等式22k+1＜

1x2?21111因此x2?,结合③式知,x2?因此a2=2*2=2.将x2?代入⑦式得Sn=2－n?1(n?N*),

22221Sn

2－

所以bn=2=22n?1(n?N*)

6x2?【高考考点】本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力。

【易错提醒】如何证明，选择方法很重要。本题（Ⅱ）证明要会熟练的使用不等式放宿技巧。

【学科网备考提示】这种题不仅要求考生有很好的思维、推理能力；而且平时做题要善于总结，对数列与不等式的放宿技巧要非常熟练。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么 P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkn?kP(k?01，,2，?，n) n(k)?CnP(1?P)以R为半径的球体积：

V?43πR3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目

要求的。

22y?x?1x?y?1的位置关系为（ ） 1．直线与圆

A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

5i2．已知复数z的实部为?1，虚部为2，则z=（ ）

A．2?i B．2?i C．?2?i

D．?2?i

2(x2?)8x的展开式中x4的系数是（ ） 3．

A．16 4．已知

B．70

C．560

D．1120

a?1,b?6,a?(b?a)?2，则向量a与向量b的夹角是（ ）

?A．6

5．不等式

?B．4 ?C．3 ?D．2

x?3?x?1?a2?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．(??,?1]?[4,??) C．[1,2]

B．(??,?2]?[5,??)

D．(??,1]?[2,??)

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

8254860A．91 B．91 C．91 D．91

n?1?co(sn?(cosB,3cosA)，7．设?ABC的三个内角A,B,C，向量m?(3sinA,sinB)，若m?则C=（ ）

A)?B，

?A．6 ?B．3 2?C．3 5?D．6

2x2lim(?ax?b)?2x??x?18．已知，其中a,b?R，则a?b的值为（ ）

A．?6

B．?2

C．2

D．6

009．已知二面角??l??的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面?和平面?所成的角都是25的直线的条数为（ ） A．2 B．3 C．4

D．5

??m1?x2,x?(?1,1]f(x)????1?x?2,x?(1,3]，其中m?0。若方程3f(x)?x恰有5个实数10．已知以T?4为周期的函数

解，则m的取值范围为（ ）

(A．

158,)33

(B．

15,7)3 48(,)C．33 4(,7)D．3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若

A??x?Rx?3?，

B??x?R2x?1?，则A?B? ．

f(x)?12．若

1?ax2?1是奇函数，则a?

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数

字作答）．

14．设

a1?2，

an?1?a?22bn?nan?1n?N*b?b?an?1，

，，则数列n的通项公式n= .

x2y2?2?1(a?0,b?0)2F(?c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使ab15．已知双曲线的左、右焦点分别为1sinPF1F2a?sinPF2F1c，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

f(x)?sin(设函数

?x?)?2cos2x?1468．

??（Ⅰ）求f(x)的最小正周期．

4x?[0,]3时y?g(x)的最大值． （Ⅱ）若函数y?g(x)与y?f(x)的图像关于直线x?1对称，求当

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

21某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为3和2，且各株大

树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数?的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

2f(x)?ax?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线设函数

x?2y?1?0．

（Ⅰ）求a,b的值；

exg(x)?f(x)，讨论g(x)的单调性． （Ⅱ）若函数

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥S?ABCD中，AD?BC且AD?CD；平面CSD?平面ABCD，

CS?DS,CS?2AD?2；E为BS的中点，CE?2,AS?3．求：

（Ⅰ）点A到平面BCS的距离； （Ⅱ）二面角E?CD?A的大小．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为

y?433e?3，离心率2，M是椭圆上的动点．

MC?MD（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,?3),(0,3)，求的最大值；

22(1,0)x?y?1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足AB（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆

?????????????????????BA?0．求线段QB的中点P的轨迹方程； 条件：OQ?OM?ON，QA?

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 设m个不全相等的正数（Ⅰ）若m?2009，且数列；数列

a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈．

a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,?,a1006是公比为q?d的等比

a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：S3?15,S2009?S2007?12a1，求通项an(n?m)；

22a(n?m)a?...?a?a?...?a?ma1a2...am； n167m（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

绝密★启用前

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 选择题：每小题5分，满分50分

(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二．填空题：每小题5分，满分25分

1n?1(11) (0,3) (12) 2 (13) 36 (14) 2 (15) (1,

三．解答题：满分75分 (16)（本小题13分） 解：（Ⅰ）f(x)=

2?1)

sin?4xcos?6?cos?4xsin?6?cos?x4

3?3?sinx?cosx424 =23sin( =?x?)43

?2?? 故f(x)的最小正周期为T = 4 =8

(Ⅱ)解法一：

在y?g(x)的图象上任取一点(x,g(x))，它关于x?1的对称点(2?x,g(x)) . 由题设条件，点(2?x,g(x))在y?f(x)的图象上，从而

g(x)?f(?2x?) 3sin[?x(?2)43

??]3sin[?x?]243 =3cos(x?)43 =0?x? 当

?????3???2?4?x??[0,]4时，3433，因此y?g(x)在区间3上的最大值为

?3gma?3cos?x32

解法二：

42[0,][,2]3关于x = 1的对称区间为3 因区间，

且y?g(x)与y?f(x)的图象关于x = 1对称，

42[0,][,2]3上的最大值为y?f(x)在3故y?g(x)在上的最大值

3sin(?由（Ⅰ）知f(x)＝x?)43

?2?????x?2????当3时，6436 4[0,]3上的最大值为 因此y?g(x)在

gmax?3sin?6?32

(17)（本小题13分） 解：设

Ak表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

Bl表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

Ak，Bl独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

则

2111P(Ak)?Ck2()k()2?kP(Bl)?Cl2()l()2?l3322 . ,

据此算得

P(A0)?144P(A1)?P(A2)?9 , 9 , 9 . 111P(B1)?P(B2)?4 , 2 , 4 .

P(B0)? (Ⅰ) 所求概率为

412P(A2?B1)?P(A1)?P(B1)???929 .

(Ⅱ) 解法一：

?的所有可能值为0，1，2，3，4，且

111P(??0)?P(A0?B0)?P(A0)?P(B0)???9436 ,

11411P(??1)?P(A0?B1)?P(A1?B0)?????92946 ,

114141P(??2)?P(A0?B2)?P(A1?B1)?P(A2?B0)??????

949213 =36 ,

P(??3)?P(A)?P(A41411

1?B22?B1)?9?4?9?2?3 . P(??4)?P(A411

2?B2)?9?4?9 . 综上知?有分布列

? 0 1 2 3 P

1/36

1/6

13/36

1/3

从而，?的期望为

E??0?136?1?113116?2?36?3?3?4?9

?73（株）

解法二：

分布列的求法同上 令

?1，?2分别表示甲乙两种树成活的株数，则

?211:B(2,3)，?2:B(2,2)

E?2411=2?=，E?2?2??故有3321

E??E?1?E?从而知

2?73

18、（本小题13分）

解：（Ⅰ）因f(x)?ax2?bx?k(k?0),故f?(x)?2ax?b

94 4 1/9

?又f(x)在x=0处取得极限值，故f(x)?0,从而b?0

由曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线与直线x?2y?1?0相互垂直可知

?该切线斜率为2，即f(1)?2,有2a=2,从而a=1

exg(x)?2(k?0)x?k（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

ex(x2?2x?k)g?(x)?(k?0)22(x?k)

2?g(x)?0x令，有?2x?k?0(k?0)

?（1）当??4?4k?0，即当k?1时，g(x)?0在R上恒成立，故函数g(x)在R上位增函数

ex(x?1)2g?(x)?2?0(x?1)2(x?1)（2）当??4?4k?0，即当k?1时，有，从而当k?1时，g(x)在R上为增

函数

2?00?k?1x?2x?k?0有两个不相等实根，即当时，方程

4（3）当???4kx1?1?1?k,x2?1?1?k ?（??,1?1?k)上为增函数； 当x?(??,1?1?k)时，g(x)?0，故g(x)在

?（1?1?k,1?1?k）1?1?k,1?1?k）当x?时，g(x)?0,故g(x)在（上为减函数； ?1?1?k，+?）（1?1?k，+?）当x?时，g(x)?0,故g(x)在（上为增函数

（19）（本小题12分） 解法一：

（Ⅰ）因为AD//BC,且BC?平面BCS,所以AD//平面BCS,从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面

BCS的距离。

因为平面CSD?平面ABCD，AD?CD,故AD?平面CSD,从而AD?SD，由AD//BC，得

?,

又由CS?DS知DS?平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt?ADS中，

DS?AS2?AD2?3?1?2 （Ⅱ）如答（19）图1，过E点作EG?CD,交CD于点G，又过G点作GH?CD,交AB于H，故?EGH

为二面角E?CD?A的平面角，记为?，过E点作EF//BC,交CS于GF,因平面ABCD?平面CSD,GH?CD,易知GH?GF,故

点F,连结

???2??EGF.

CF?由于E为BS边中点，故

1CS?12,在Rt?CFE中，

EF?CE2?CF2?2?1?1,因EF?平面CSD，又EG?CD，故由三垂线定理的逆定理得FG?CD,

GFCF??CGF:?CSD,DSCD，而在Rt?CSD中， 从而又可得因此

CD?CS2?SD2?4?2?6,

GF?故

CF11?DS??2?CD63

tanEGF?EF???3?EGF???FG3，故所求二面角的大小为6 ，可得在Rt?FEG中，解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设

A(xA,yA,zA)，

?平面因平面CODuuuvyA?0，zA?AD?1又

2A2AB,CD?AD，CAD?平面CO，D即点A在xOz平面上，因此故Duuv2x?1?AS?3,xA?0

解得

xA?2 （2，01，）从而A

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面yOz重面BCS的距离为

合，从而点A到平

xA?2. (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点. ΔBCS为直角三角形 , 知 设

uuvuuvBS?2CE?22

B(0,2,ZB),ZB?0，则ZA＝2，故B（0，2，2）

，所以E（0，1，1）

在CD上取点G，设G（

x1,y1,0）

，使GE⊥CD .

由

CDuuuv?(2,?2,0),GEuuuv?(?xuuuvuuuv1,?y1?1,1),CD?GE?0故 2x1?2(y1?1)?0 ①

uuuvuuuvuuuvx1?y1?2又点G在直线CD上，即CG//CD，由CG=（x1,y1?2,0），则有2?2 ② (23,43,0)联立①、②，解得G＝,

uuuv(?22故GE=

3,?3,1). uuuvuuuv又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量GE与向量DA所成的角，记此角为?.

uuuv23uu因为GE

=3，DAuv?(0,0,1),uuDAuv?1,GEuuuv?uuDAuv?1, uuuvcos??uuGEuv?uuDAuvuuuv?3所以

GE?DA2

?故所求的二面角的大小为 6.

(20)（本小题12分） 解：

x2y2（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为a2?b2?1（a ＞b＞ 0 ）.

43a2设c?a2?b2y??43e?3c?3，由准线方程3得c3，由2得a2， 2y2解得a?2,c?3x??1，从而b = 1，椭圆的方程为4

x2?y2?1又易知C，D两点是椭圆4的焦点，所以,MC?MD?2a?4

MC?MD?(MC?MD2)2?22?4从而，当且仅当MC?MD，即点M的坐标为(?1,0)号，

MC?MD的最大值为4 .

时上式取等

（II）如图（20）图，设

M(xm,ym),B(xB,yB)

Q(xQ,yQ)?????????????N(xN,0),OM?ON?OQ，故 .因为

xQ?2xN,yQ?yM,

x22

Q?yQ?(2x2M)?yy?4 ①

???QA????BA?? 因为?0,

(1?xQ?yQ)?(1?xN?yn)

?(1?xQ)(1?xN)?yQyN?0, 所以

xQxN?yQyN?xN?xQ?1. ②

记P点的坐标为(xP,yP)，因为P是BQ的中点

所以

2xP?xQ?xP,2yP?yQ?yP

22由因为

xN?yN?1，结合①，②得 x2y21P?P?((xQ?xN)2?(yQ?y24N))?1 (x2222Q?xN?yQ?yn?2(x 4QxN?yQyN)) ?1(5?2(xQ?x 4N?1))

?3?x 4P

故动点P的轨迹方程为

(x?12)2?y2?1

（21）（本小题12分）

解：（I）因a1,a20,09a???2,00,8a是公比为dS200?9S20?0182a得1a?20a08?1220，故0a

a1d2?a1d?12a1，即d2?d?12

解得d?3或d??4（舍去）。因此d?3 又

S3?3a1?3d?15，解得a1?2

从而当n?1005时，

的等比数列，从而a2000?a1d,a2008?a1d2 由

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