高考数学典型例题整理

解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

x2y2 （1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?2k?0。 2abx2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?2k?0 2ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

1

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2） 连PF，当A、P、F三点共线时，AP?PH?AP?PF最小，此时AF的方程为HPFAQBy?142?0（注：另一交点为(,?2)，(x?1) 即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，23?11,1） 4它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=

11，∴Q(,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y2??1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43（1）PA?PF的最小值为 （2）PA?2PF的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-5

设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF?

PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?5

当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 （2）3

作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF?F0′yAFPHx1， 21PH,即2PF?PH 2∴PA?2PF?PA?PH

2

a2?xA?4?1?3 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为c

例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MC?MD）。

解：如图，MC?MD，

∴AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2 ∴MA?MB?8 （*）

yMDC5xA0Bx2y2??1 ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为16152

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式22求解，即列出(x?1)?y?(x?1)2?y2?4，再移项，平方，?相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=

3sinA,求点A的轨迹方程。 5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=

33sinA 2RsinC-2RsinB=22RsinA 553BC 5∴AB?AC?即AB?AC?6 （*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4

x2y2??1 （x>3） 所求轨迹方程为

916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

3

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)

22?(x1?x2)2?(x12?x2)?9① 则? ② ?x1?x2?2x0③ ?22x?x?2y20?1由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2]2[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]2[1+(2x0)2]=9

∴4y0?4x0?29， 21?4x024y0?4x0?992?(4x?1)??1 0224x04x0?15 4 ≥29?1?5, y0?当4x02+1=3 即 x0??5225时，(y0)min?此时M(?,)

4224法二：如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3

∴MM2?313， 即MM1??， 242AA1A2yMB5∴MM1?， 当AB经过焦点F时取得最小值。 40M1M2B1B2x 4

∴M到x轴的最短距离为

5 4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

x2y2??1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线例6、已知椭圆

mm?1从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=AB?CD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?XC) ? ?2(xB?xC)?(xA?xD) 2(xB?XC)

AByCF10F2Dx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

x2y2??1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解：（1）椭圆

mm?1则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

2m(2?m?5)

2m?1 5

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