高等数学(C)模拟试卷

高等数学（C）模拟试卷

1．lim(x2?y2)sinx?0y?01＝ 22x?y1 ?arcsin(x2?y2?z2)的定义域为 。

2．三元函数u?4x2?4y2?4z2?13．若z?ln(x2?xy?y2)，则dz＝ ； 4．积分区域D:1?x2?y2?9,则

???dxdy＝ ；

Dxy27．设z?e?sinx?y，则dz? ______________

??8．

???1?Dx2?y2dxdy?_______ ，其中D:x2?y2?1

2x?9．交换积分次序

?n1dx?1f?x,y?dy?_______

x3n3?2n?810．级数???1?是_______ （收敛或发散） 3n?5n?1?3n11．级数?n是_______ （收敛或发散）

n?17n!?12．函数z?f(x,y)的偏导数

?z?z,在区域D内连续是z?f(x,y)在区域D内可微的 ?x?y 条件。（填“充分”，或“必要”或“充要”）。

xn13．幂级数?的收敛域是 。

n?1lnn?x?y的定义域是 ； 2f(1,y?h)?f(1,y)22? ； 15．设f(x,y)?x?4xy?3y，则limh??h14．z?ln(y?x)?arccos16．设z?ln2x，则dy(1,2)＝ ； yy217．设I?dyf(x,y)dx，则改变积分次序后I＝ ；

11y?? 1

?18．若级数

?n2?p收敛，则p满足 ；

n?1?19．若lim1n??bn???，则级数

?(n?1b?1b)的敛散性是 ； nn?120．

?x,ylimln?x?y????1,2?2x2?y2?3? 。

21．设区域D：x2?y2?4，则二重积分??2dxdy? 。D22．交换积分次序?1dx?1?1?x20xf?x,y?dy? 。

23．若级数

???un收敛于S，则级数

n收敛于 。

n?1?4un?124．u?xyz，则du?1,2,3?? 。

25、微分方程y??3y?0的通解是 。 1．下列级数中，条件收敛的是（ ），发散的是（ ）

?A.?(2)n B. ??(?1)n?1? C.(?1)nn?(?1)nn?13?1? D.nnn?15n?1?n?13n4?1 ?．?(?1)n(x?1)n2的收敛域为（ ）n?1n

A.?0,2? B.?0,2? C.?0,2? D.?0,2? 3．已知函数f(xy,x?y)?x2?y2?xy，则

?f(x,y)?x,?f(x,y)?y分别为（A.?1,2y B. 2y,?1 C.2x?2y D. 2y,2x

??(?2)n4．＝（ n?1n! ）

A.e?2 B.e2 C.e?2?1 D.?e2

5．设D:x2?y2?a2,当a＝（ ）时，

???a2?x2?y2dxdy??

DA.1 B.332 C.3314 D.32

2

） 6．A.C.

?dx?01?x01111?x01f(x,y)dy＝（ ）

B.

?dy?f(x,y)dx

00?dy?01011?x0f(x,y)dx f(x,y)dx

?0dy?f(x,y)dx D.?dy?1?y07．设z?f?x,y?在?x0,y0?处全改变量，?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)，若函数

z?f?x,y?在点(x0,y0)处可微，则在(x0,y0)处（ ）

A.?z?dz B.?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y C.?z?fx?(x0,y0)dx?fy?(x0,y0)dy D.?z?dz?o(?)8．三重积分I?(??(?x)2?(?y)2)

2222?z?x?y，其中是由曲面与平面z?1所围成的区(x?y)zdv?????域，则I又化为（ ） A.C.

??2?02?d??dr?zr3dz B.?d??dr?r3zdz

000001r2?110d??dr?r3zdz D.?d??dr?r3zdz

0100r1r2?119．I?222222(x?y?z)dv,?:x?y?z?1球面内部，则I＝（ ） ?????2?2?1A.

4的体积 B.d?d??dv?????sin?d? ?????000C.

?2?0d??d???sin?d? D.?d??d???4sin?d?

000008?14?2?110．在函数f(x)的泰勒级数中，?x?x0?项的系数为（ ）

f(8)(x0)f(8)(x0)1(8)A． B.f(x0) C. D.

8!8!8

11．函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数是它在该点具有全微分的（ ）

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件 12．表达式P?x,y?dx?Q?x,y?dy为某一函数的全微分的充要条件是 （ ） （A）

?P?Q?P?Q?P?Q?P?Q?????? （B） （C） （D） ?x?y?y?x?x?y?y?x 3

13．在区域D:0?y?R2?x2上的??xy2d?值为 （ ）

D22 （A）?R （B）4?R （C）?R （D）0

23314．

???1?n?1?n?1?x?1?nn的收敛域为 （ ）

（A）??2,0? （B）??2,0? （C）??2,0? （D）??2,0?

?15．累次积分（A）(c)

?20d??cos?0f(?cos?,?sin?)?d?可以写成 （ ）

1x?x2001?y2?dy?01y?y201f(x,y)dy (B) ?dy?10f(x,y)dy f(x,y)dy

?dy?010f(x,y)dy (D) ?dy?016．如果函数f(x,y)在区域 D 内有二阶偏导数，则 （ ） （A） 在 D 内可微 （B） 的一阶偏导数连续

?2f?2f （C） （D） 以上三个结论均不成则 ??x?y?y?x17．设f(x,y)连续， f(x,y)?xy?区域，则f(x,y)等于（ ）

（A） xy （B） 2xy （C）xy???Df(u,v)dudv其中D是由y?0,y?x2,x?1所围

1 （D） xy?1 818．二元函数z?f(x,y)在?x0,y0?处满足关系（ ）； A．可微（全微分存在）?可导（两偏导数存在）?连续 B．可微?可导?连续

C．可微?可导，或可微?连续，但可导不一定连续 D．可导?连续，但可导不一定可微。 19．设?:x?y?z?a,z?0，则A．

2222???zdxdydz＝（ ） ???4??4?a B. a4 C. a D. a3 4816320．设级数

?un?1?n收敛，则下列级数中必收敛的是（ ）

4

uA．?(?1)n B.

nn?1n??un?1?2n C.

?(un?1?2n?1?u2n) D.

?(un?1?n?un?1)

21．函数f?x,y?在点?x0,y0?处两个偏导数fx?x0,y0?,fy?x0,y0?都存在是函数f?x,y?在点?x0,y0?可微的（ ）

（A）充分条件； （B）必要条件；

（C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件。

?xy?2222．二元函数f?x,y???x?y?0?x2?y2?0,x2?y2?0.在点?0,0?处（ ）

（A）极限存在； （B）连续；

（C）可微； （D）关于x,y的偏导数存在。 23．设f?x,y??3x?x?y?2y，则下列结论正确的是（ ）

32（A）?1,?1?是函数的极小点； （B）?1,?1?是函数的极大点； （C）??1,?1?是函数的极小点； （D）??1,?1?是函数的极大点。

24．已知幂函数

?axnn?0?n的收敛半径为2，则数项级数

?an?0?n是

（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性不能确定。 25．设f?x,y?连续，且f?x,y??xy2?则f?x,y?=（ ）

??Df?x,y?dxdy，D由x?1,y?0,y?x2所围，

112； （B）3xy?； 881122（C）3xy?； （D）xy?。

1616（A）xy?226．设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且常数，则方程的通解为（ ）

A)C1y1?C2y2?y3 B) C1y1?C2y2?C3y3

y1?y2不是

y2?y3 5

C ) C1(y1?y2)?C2(y2?y3)?y1 D) C1(y1?y2)?C2(y2?y3) 1．设z?(2x?y)x?2y,求?z?z, ?x?yy2．设z?xlnx2?y2 求

?z?z,,dz ?x?y3．设x2?z2?y???z??z?z?，其中为可微函数，求,。 ??x?y?y?4．设函数F(u,v)有连续偏导数，由方程F(cx?az,cy?bz)?0确定了隐函数z?z(x,y)，求a?z?z?b的值. ?x?y5． 设z?f?2x???y?xyx而其中由方程ue?ysinu?0确定u为x,y的隐函数，??g?u,e?，

x?且f?t?一阶可导，g?u,v?具有一阶偏导数，求zx. 6． z?f?2x???y?xy??g?u,e?，而其中f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求zx,zxy. x?7．设z?z(x,y)是由方程f(x?z,y?z)?0所确定的隐函数，其中f(u,v)具有连续偏导

数且

?f?f?z?z??0，求?的值。 ?u?v?x?y1?2z8．设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数，求。

x?x?y1．已知三个数x，y，z的和为54，试通过拉格朗日函数，求它们乘积的最大值. 2．求二元函数z?x?y?3x?3y的极值。

3322e?y1．交换积分?dx?dy的次序,并计算积分.

0xx1122．

2x?2y?1d? ????D D:x2?y2?R23．计算

???Dx2?y2dxdy，其中D:(x,y)0?y?x,x2?y2?2x。

6

??

4．计算积分

??Dx2?y2dxdy，D由x?0,x2?y2?a2,x2?2ax?y2?0?a?0?所围成

在第一象限区域。 1、判别级数

?n?1?cosn?n?nn3的敛散性。

2．判别

?(?1)n?1?1 的收敛性。若收敛，是条件收敛？还是绝对收敛？ lnn3．求级数

1xn收敛区间及在收敛区间内的和函数 。 ?n?1n?n?1??4．判定级数

?(?1)n?1?n?1(e1/n?1)的敛散性，若收敛指明是绝对收敛还是条件收敛？

5．求幂级数

?(?1)n?1??n?1(x?3)n的收敛域。 nn?3xn6．求幂级数?的收敛域。

nlnnn?27．求幂级数

?(?1)n?1??n?1xn的收敛域，并求和函数. nn2(?1)n?12n8．求幂级数?x的收敛域和和函数。

n?12n?1x展开成x的幂级数，并确定其收敛域。 1?2xx10．将函数f(x)?展开成x?1的幂级数。 22x?7x?49．将函数f(x)?11．将函数f?x??xln?1?x?展开成?x?1?的幂级数，并指出收敛域。 1． 求证

?a0dy?e0?yb(x?a)f(x)dx??(a?x)eb(x?a)f(x)dx

0a2．证明级数

1收敛。 ?2xn?1n221．计算下列曲面所围成的立体的体积z?x?y,y?1,z?0. 2．计算

?xe???D2?y2dxdy其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域，并求证

7

普阿松积分

???0e?xdx?2?2。

3．已知曲面方程为x2?y2?z2?1,?x?0,y?0,z?0?，问曲面上哪一点的切平面与三坐标面构成的四面体体积最小？

x2y2z24．求曲面2?2?2?1(a?0,b?0,c?0)在第一卦限的切平面，使该切平面与三个坐

abc标面围成的四面体的体积最小，并写出该四面体的体积。 5．设?是由曲面z?ln（1）?的体积 （2）?的表面

1、求微分方程y???y??2y?2ex的通解

2、已知二阶非齐次微分方程y???p(x)y?q(x)y?f(x)的三个特解为

2xy1?x,y2?ex,y?3e，试求方程满足初始条件的特解。

x2?y2与平面z?0,z?1围成的立体，求：

3、微分方程

dy1sinx?y?的通解是 dxxx4、微分方程xy???y?lny?y(1)?0,y?(1)?e的特解为

?y?tanx?t??3?5、解方程? ?y()?0??26、求方程xydx?(x?y)dy?0

22答案

1）0；2）

1?2x?y?x?2y8??x2?y2?z2?1；3）2dx?dy；4）； 7） ； 22242x?xy?yx?xy?yxy2xy23、?ye?2xcosx?y?dx??xe?cosx?y?dy

????????8）

1222?；9）?1dy?1f?x,y?dx??dy?f?x,y?dx；10）发散；11）收敛；12）必要条件；

1y32y1xn13）幂级数?的收敛域是{?1,1)；14）0?y?x?2；15）6y－4；16）dx?dy；

2n?1lnn? 8

122217）

1/2?dx?1/xf(x,y)dy??dx?f(x,y)dy；18）P?3； 19）收敛；20）ln3；

1x21）

??2dxdy?8?；22）?dy?D01y20f?x,y?dx??dy?122y?y20f?x,y?dx；23）4S；

y24）u?xz，则du?1,2,3??6dx?dz。25）y?Ce3x(lny?3x?C)

1）C；2）A；3）A；4）C；5）B；6）D；7）D； 8）D；9）C；10）C；11）A ；12） D； 13）D ；14）B ；15）B；16）D；17）C；18）C；19）A；20）D；21）B；22）D；23）C；24）B；25）D；26）C 1．设z?(2x?y)解法一：

x?2y,求?z?z, ?x?y12lnz?(x?2y)ln(2x?y),z??ln(2x?y)?(x?2y)xz2x?y2(x?2y)?x?2y??z??(2x?y)ln(2x?y)?x?2x?y???1(x?2y)z??2ln(2x?y)?yz2x?y(x?2y)?x?2y??z??(2x?y)2ln(2x?y)?y?2x?y???解法二： 设u?2x?y

v?x?2y?z?uv

??z?z?u?z?v2vx?2y?2(x?2y)???vuv?1?uvlnu?1?uv(?lnu)??2x?y??ln(2x?y)?2x?y??x?u?x?v?xu????z?z?u?z?vvx?2y?(x?2y)???vuv?1?uvlnu?2?uv(?2lnu)??2x?y??2ln(2x?y)?2x?y??y?u?y?v?yu??y2．设z?xlnx2?y2 求

?z?z,,dz ?x?y?z1?y?12xy?1??z1?y2xy?y?2222解： ， ?yxln?x?y??2??x?lnx?ln?x?y??22?2??x2?x?y?y2x?y???? 9

1?y?12xy?1?1?y2xy?y?2222dz??yxln?x?y??2dx??x?lnx?ln?x?y??2dy 2?2?2?x?y?2?x?y?3．设x2?z2?y???z??z?z?，其中为可微函数，求,。 ??x?y?y??z?z?z?????????y?y??z2x?z?y?。 解：??,???x?z??y?z?2z?????2z??????y??y?4．设函数F(u,v)有连续偏导数，由方程F(cx?az,cy?bz)?0确定了隐函数z?z(x,y)，求a?z?z?b的值. ?x?yv?cy?bz,则F(u,v)?0

解法一：设u?cx?azFx??Fu?cFy??Fv?cFz??Fu?(?a)?Fv?(?b)Fy?Fx?Fu?ccFv??z?z??????? ?xFz?Fu?a?Fv?b?yFz?Fu?a?Fv?bF?a?Fv?b?z?zaF?c?bFv?c?a?b?u?cu?c?x?yFu?a?Fv?bFu?a?Fv?b解法二：设u?cx?az两边同时对x求偏导

v?cy?bz，则F(u,v)?0

Fu?(c?acFu??z?z?z?z?z )?Fv?(?b)?0?Fu?c?aFu??bFv??0???x?x?x?x?xaFu??bFv?两边同时对y求偏导

?z?z?z?z?z?Fv?(?b?c)?0??Fu?a?Fv?b?cFv??0?(aFu??bFv?)?cFv??y?y?y?y?ycFv??z ?????yaFu?bFv?z?zacFu??bcFv??a?b??c?x?yaFu??bFv?Fu?(?a)7． 设z?f?2x???y?xyx而其中由方程ue?ysinu?0确定u为x,y的隐函数，??g?u,e?，

x?且f?t?一阶可导，g?u,v?具有一阶偏导数，求zx.

10

Fxuex解：设F?x,y,z??ue?ysinu,v?e，因ux??，故有 ??xFue?ycosuxxyguuexy?y???zx??2?2?f'?gu?ux?gv?vx??2?2?f'?x?gvyexy.

x?x?e?ycosu??8． 设z?f?2x???y?xy，而其中f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求zx,zxy. ?gu,e???x?y22解：zx?2xyf1?2f2?g?2xg'

x2y?2yy2?22y?2?zxy?2xf1?2xy?xf11?f12??2f2??2?xf12?f22??2yg'?4x2yg''.

xx?x??x?7．设z?z(x,y)是由方程f(x?z,y?z)?0所确定的隐函数，其中f(u,v)具有连续偏导

数且

?f?f?z?z??0，求?的值。 ?u?v?x?y解：

f?fu??fv??0fu??z??x??? ?xfz?fu?(?1)?fv??(?1)fu??fv?fy?fu??0?fv?fv?fu?fv??z?z?z?????,?????1。 ?yfz?fu?(?1)?fv??(?1)fu??fv??x?yfu??fv?fu??fv?1?2z8．设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数，求。

x?x?y解：

?z1y??2f?xy??f??xy??y?'?x?y? ?xxx?2z11??f'?xy??f'?xy??yf''?xy?????x?y??y???x?y??x?yxx ?yf''?xy????(x?y)?y?''?x?y?1．已知三个数x，y，z的和为54，试通过拉格朗日函数，求它们乘积的最大值. 解：目标函数u?xyz ，约束条件x?y?z?54 拉格朗日函数F(x,y,z,?)?xyz??(x?y?z?54)

11

?Fx??yz???0?F??xz???0?y由于该实际问题只有唯一驻点，必是极值点，?x?y?z?18 ，??Fz??xy???0?F??x?y?z?54?0??也是最值点?umax?183。

2．求二元函数z?x3?y3?3x2?3y2的极值。

??3x2?6x?0??Zx解：?，（0，2），（2，0），（2，2） ?驻点（0，0）2?y?3y?6y?0?Z??????z?xx?6x?6,zxy?0,zyy?6y?6， 在（0，0），A??6B?0C??6AC?B2?36?0,且A??6，

所以，极大值f(0,0)?0

在（，-02），A??6在（2，0），A?6在（2，2），A?6B?0B?0B?0C?6C??6C?6AC?B2??36?0,无极值； AC?B2??36?0,无极值； AC?B2?36?0,且A=6>0

所以极小值f(2,2)??8。

e?y1．交换积分?dx?dy的次序,并计算积分.

0xx112??0?x?1解：D:?

??x?y?1原式＝

?dy?0121y20y1e?y?y2dx??e2xdy

00x22??e?y2ydy???e?yd(?y2)??e?y00122101?1?。

e2．

2x?2y?1d? ????D D:x2?y2?R2解：?R??R 3．计算

5442???Dx2?y2dxdy，其中D:(x,y)0?y?x,x2?y2?2x。

?? 12

??0????解： D:?4

??0???2cos????Dx?ydxdy??d??40222cos?0848134103?d???cos?d??(sin??sin?)?2 3033902??

4．计算积分

??Dx2?y2dxdy，D由x?0,x2?y2?a2,x2?2ax?y2?0?a?0?所围成

在第一象限区域。

?r?a?解：由?,???, 故有

3?r?2acos?I????/2?/33a3d??rdr?2acos?3a2???1?8cos??d?3/33?/2a???a??16?2?81?sin?dsin????33????????.??/33?6?3?63??/2

1、判别级数解：收敛。 2．判别

?n?1?cosn?n?n3的敛散性。

?(?1)nn?1n?1 的收敛性。若收敛，是条件收敛？还是绝对收敛？ lnn???111111解： ?(?1)发散?也发散。 ??,??(n?2),?lnnn?1lnnlnnn?1n?1n?1n?1n?1lnn?而un?1??111??un,limun?lim?0

n??n??lnnln(n?1)lnnn所以

?(?1)n?11是收敛的，是条件收敛。 lnn3．求级数

1xn收敛区间及在收敛区间内的和函数 。 ?n?1n?n?1????1?x?ln?1?x??x,?1?x?1,x?0?解：??1,1?;S?x??? x?0,x?0? 13

4．判定级数

?(?1)n?1?n?1(e1/n?1)的敛散性，若收敛指明是绝对收敛还是条件收敛？

?1/n?e?11ne?1,lim?1,且?发散，

n??1/nn=1n1解：

?(?1)n?1??n?1?e?1????1nn?1?所以

?(?1)n?1?n?1?en?1发散。又，un?e1/n?1?un?1?e1/n?1?1且lim(e1/n?1)?0,

n??1?所以?(?1)nen?1收敛且条件收敛。

n?1?1?5．求幂级数

?(?1)n?1?n?1(x?3)n的收敛域。

n?3n解：limn??un?1un(x?3)n?1n?1(n?1)?3?limn??(x?3)n3?3n?x?3nx?3lim??1 3n??n?13?x?3?3?收敛区间：0?x?6

?1n?11当x?0时，原级数为?(?)发散；当x?6时，原级数为?(?1)收敛； nnn?1n?1?收敛域为?0,6?

xn6．求幂级数?的收敛域。

nlnnn?2?解：因为??limnlnnlnn?lim?1

n???n?1?ln?n?1?n??ln?n?1????2??11dx?ln(lnx)故当x?1时，级数为?，因为?2xlnxn?2nlnn???，所以?1发散；

n?2nlnn?111(?1)n?0,?当x??1时，级数为交错级数?，因为lim

n??nlnnnlnn(n?1)ln(n?1)n?2nlnn??(?1)nxn所以?收敛；从而幂级数的?的收敛域为?1?x?1。

nlnnnlnnn?2n?2??7．求幂级数

?(?1)n?1n?1xn的收敛域，并求和函数. nn214

解：（1）先求收敛域??limn??xun?1(x)?

un(x)2讨论：1）当

x?1?x?2时，原级列收敛； 2??(?1)n?1(?2)n1 2）对于左端点x＝－2时，原级数?发散 ???nn2nn?1n?1(?1)n?1 3．对于右端点x＝2时，原级数?收敛

nn?1?所以收敛域??2,2? （2）令和函数

?(?1)n?1n(?1)n?1n?11xx21/21? S(x)??x?S(x)?x????...???nn22481?x/22?xn?1n2n?1?1?S(x)dx?S(x)?S(0)??0?02?xdx?ln(2?x)02?x即S(x)?ln(2?x)?ln2?ln2xxx(S(0)?0)

(?1)n?12n8．求幂级数?x的收敛域和和函数。

n?12n?1?(?1)n?1,则 解：记an?2n?1?an?1(?1)n?12n2n?1x收敛 lim?lim?1故幂级数收敛半径为1，当x??1时，?n??an??2n?1n?12n?1n因此收敛域为[-1，1]

?11(?1)n?12n?1记S1(x)???, x,则S1?(x)??(?1)n?1x2n?2?221?(?x)1?x2n?1n?1n?1??S(x)?xS1(x)?x?S1?(x)dx?xarctanx。

0x9．将函数f(x)?x展开成x的幂级数，并确定其收敛域。 1?2x?x12x1?n解： ???(2x)??2n?1xn

1?2x21?2x2n?1n?1 15

11111?x?，x??时，幂级数发散，收敛域为(?,)。 22222x10．将函数f(x)?展开成x?1的幂级数。 22x?7x?4???1x1411?4111解：2??(?)????? 2x?1）2x?7x?4(x?4)(2x?1)9x?42x?19?31?x?131?（?33??2x?1??n4?1?2n1?x?1nn(x?1)nnn????(?1)?()(x?1)?4(?1)?2() ??n??27n?0327n?0327n?03又 ?1?x?12(x?1)11?1且-1??1，故收敛区间??x?。 332211．将函数f?x??xln?1?x?展开成?x?1?的幂级数，并指出收敛域。 解：xln?1?x?????x?1??1??ln???x?1??2??????x?1??1???ln?1?n???n?1?x?1??????1?x?3?. n??x?1??1???ln2????1?2nn?1????????x?1?? ?ln2??2??2． 求证

?a0dy?e0yb(x?a)f(x)dx??(a?x)eb(x?a)f(x)dx

0a证： D:?左边＝

?0?y?a，交换积分次序，

?0?x?ydx?eb(x?a)f(x)dy??eb(x?a)f(x)y0dx??eb(x?a)f(x)(x?a)dx?右边

000xaxa?a02．证明级数

1收敛。 ?2n?1xn??111证：n???xn?n??,2?，??收敛，

??22xnn?1(n??)2(n??)222????n?1?1收敛。 2xn221．计算下列曲面所围成的立体的体积z?x?y,y?1,z?0. 解：V????dv????1?1dx?2dy?x1x2?y20y3222dz??dx?2(x?y)dy??(xy?)dx

?1x?13x21111 16

?241x6?88。 ???x?x???dx??133?105?12．计算

?x???eD2?y2dxdy其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域，并求证

2普阿松积分

???0e?xdx??2。

解：D:如图 原式＝

?2?0d??e0a?r22?a?r22?r2rdr?ed(?r)???e?2?0?a2a???a0??(1?e?a)

2当a???时，原式＝lim?(1?e如在第一象限内，4I??,I???2)??

?42，

?y2?x??e?xdx??e?xdx??e??00D1??2dxdy，其中D1:x2?y2?r2r???

(?e?xdx)2??2??042??e?xdx?0??2?2。

3．已知曲面方程为x?y?z?1,?x?0,y?0,z?0?，问曲面上哪一点的切平面与三坐

22标面构成的四面体体积最小？

?333?解：??3,3,3??

??x2y2z24．求曲面2?2?2?1(a?0,b?0,c?0)在第一卦限的切平面，使该切平面与三个坐

abc标面围成的四面体的体积最小，并写出该四面体的体积。

??2x02y02z0?解：曲面在点(x0,y0,z0)处法向量为n??2,2,2?

bc??a2x02y02z0(x?x)?(y?y)?(z?z0)?0即 切平面方程为20022abcx0y0z02x02y02z0x?y?z?0该平面在三个坐标轴上截距分别为，，2 22222abccab11a2b2c21a2b2c2故所围的四面体的体积为V?? ?32x0y0z06x0y0z0

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x2y2z2按题意需求函数xyz(x,y,z,?0)在条件2?2?2?1约束下的极值。

abcx2y2z2作F(x,y,z,?)?xyz??(2?2?2?1)

abc2?x?F?yz??0?xa2??F?xz?2?y?0?yabcb2令?，解得唯一可能极值点为x?。 ,y?,z?2?z333?Fz?xy??02?c?x2y2z2?2?2?2?1?bc?a由于最大值一定存在故(a3,b3,c3)所求切点，所求切平面为

xyz???3， abc所求体积为

3abc。 2x2?y2与平面z?0,z?1围成的立体，求：

5．设?是由曲面z?ln（1）?的体积 （2）?的表面。 解：（1）?的体积为

e2?1V??dz??dxdy???edz??，

002x2?y2?e2z112z由

?zx?zy?2,?,得 222?xx?y?yx?y?z2?z21?x2?y2，于是?的表面积为 1?()?()?22?x?yx?yA??e2???12?21?x?y2?e2??1?(2?e?z2?z)?()2dxdy??(e2?1)??d??1??2d?

01?x?y??[e2?1?e1?e2?ln(e?1?e2)?2?ln(1?2)]

九、解微分方程：

1、解：对应的齐次方程的特征方程为：r?r?2?0?r,r2?2 对应的齐1??1

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2次方程的的通解为Y?C1e?x?c2e2x(C1,C2?R) 设y???y??2y?2ex的特解为

y*?Aexx 代入方程得：A??1 y*??ex y*??Aex,y*???Ae微分方程2y???y??y?3x的通解为y?C1e?x?c2e2x?ex(C1,C2?R)

2、解：提示利用条件求出齐次微分方程的通解y?C1(ex?x)?C2(e2x?x)从而得到非齐x2x2xx次线性微分方程的通解y?C1(e?x)?C2(e?x)?x，进而得到特解：y?2e3、y?1(?cosx?C)3?x2 4、y?ex?e 5、y??2y2xsinx3 6、y?Ce 19

?e

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