强磁体在铜管（或铝管）中下落时的涡流分析

强磁体在铜管（或铝管）中下落时的涡流分析

江苏省镇江中学 吴好 邮编：212017 电子信箱：wuhao9314@163.com 电话：13016829314 一、问题的引出：

《人教版高中物理选修3-2课本》“第四章 电磁感应”“第7节涡流 电磁阻尼和电磁驱动”“问题与练习”第3题：

“在科技馆中常看到这样的表演：一根长1m左右的空心铝管竖直放置（见图1甲），把一枚磁性很强的小圆柱型永磁体从铝管上端放入管口，圆柱直径略小于铝管的内径。根据一般经验，小圆柱自由落下1m左右的时间不会超过0.5s，但把小圆柱从上端管口放入管中后，过了许久它才从铝管下端落出。小圆柱在管内运动时，没有感觉到它跟铝管内壁发生摩擦，把小圆柱靠着铝管，也不见它们相互吸引。是什么原因使小圆柱在铝管中缓慢下落呢？如果换用一条有裂缝的铝管（见图1乙），圆柱在铝管中的下落就变快了，这又是为什么？”。

《人教版高中物理选修3-2教师教学参考书》提供的参考答案： “在磁性很强的小圆片下落的过程中，没有缺口的铝管中的磁通量发生变化（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；如果小圆片在有缺口的铝管中下落，尽管铝管中也会产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片也产生阻力，但这时的阻力非常小，所以小圆片在铝管中图1 下落得比较快。”。

本人在教学过程中切身体会到新教材在“涡流 电磁阻尼和电磁驱动”一节编写中，实例丰富，有趣适用。把“强磁体在铝管中下落的实验现象”引入高中物理习题，对拓展高中学生的视野很有好处。该实验是大学物理探究实验的内容，许多大学课本都有类似于这样的习题：

“在一铅直放置的足够长的铜管中，有一条形磁铁从管口自由下落，如铜管不动，则条形磁铁的运动将

(A) 作自由落体运动

(B) 先作加速运动，当速度达到一定值后,一直作匀速直线运动 (C) 先作加速运动，次作匀速运动,最后作减速运动 (D) 作加速度小于g的匀加速落体运动” 该题提供的标准答案是B

2006年，上海交通大学还把该题作为保送生和自主招生选拔试题。 笔者认为人教版的这道试题选得好，但对于现象的解释有商榷之处：

对于管子相对于磁体不太长时，“在磁体下落的过程中（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；”的观点，可以接受。但管子相对于磁体足够长时，磁体下落到管子一定深度后，小圆片上、下方铝管的磁通量都可以视为不变，但实验现象可以证实磁体先作加速运动，当速度达到一定值后，一直作匀速直线运动。由此可见对于这个实验现象的解释还要作进一步的研究。以下将笔者对于这个实验现象的研究介绍如下： 二、强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象： 1、磁极轴向分布的强磁体下落的现象

如图2所示，将长度1.60m，内径12mm，外径15mm的紫铜管竖直放置，用钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径10mm，高度60mm）从管内无初速释放，大约经过8s磁体才从管的下端落出。 2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象

1

如图3所示，若将长度、宽度、厚度分别是40mm、10mm、3mm的磁片从上述直管中下落，大约经过2s磁体就从管的下端落出。 的磁的磁磁强极磁

强铁极N磁在铁 磁运轴体水NS运体动向 下平动S下方分落方方 落向布向向

图2 图3

三、对实验现象的探究：

1、对磁极轴向分布的强磁体下落现象的解释 （1）定性说明

管子较长时，磁铁在管中下落一定距离后，磁铁上、下方的磁通量均可以视为不变，根据法拉第电磁感应定律，管内的总电动势为零，管内的涡流是怎样形成的呢？

磁铁运动方向N磁铁运动方向铜管涡流方向磁铁中部以上 N铜管涡流方向磁铁中部以下感应电流方向 磁铁中部以上部分（从上往下看） 图4

2

磁感应强度 径向分量 N 感应电流方向 S 磁铁中部以下部分（从下往上看） 磁感应强度 径向分量 若将磁体看成不动，管子相对于磁体向上运动，由于存在磁感应强度沿半径方向的分量，管子在做切割磁感线运动，由右手定则可以得出，磁铁上下管子中的涡流方向相反。磁铁上面部分管中的涡流相当于上面是N级，下面是S级的磁体；磁铁下面部分管中的涡流相当于上面是S级，下面是N级的磁体，具体解释见图4。

上述分析告诉我们，由于管子的涡流对圆柱形磁体的作用是“上拉下顶”，所以形成对其运动过程的阻力。 （2）定量解释

由于管子的所有部分以相同的速度做切割磁感线运动，所以管子的任一部分都是电源。管子中长度为?L（见图5）的任一小段沿圆周绕行一周的动生电动势，等于沿圆周绕行一周的电压降之和。管中任意两点间的电压为零。

先计算长为?L，内半径为r1，外半径为r2的一段直管沿圆周绕行一周的电阻

R?L。

离轴心r处，截面为?L??r沿圆周绕行一周的电阻的倒数为：

1L?r? ?R2??rr21?L??r?Lr所以：??????ln2 ①

R?Lr?r12??r2??r1由于r2略大于r1，可以认为在管壁内相对于磁体的某处磁感应强度沿径向的不同位置，大小相同。当管子与磁铁的相对速度大小为v时，忽略r1和r2的差别。

?L段的电动势： Ez?Brz?2?r?v ② ?L段的电流iz?zEz ③ R?LBrz?FzN?L段电流受到的磁极的作用力

?L?Fz?Brz?iz?2?r ④

解①②③④⑤得：

22?v?r2?Brz?lnr?Fz?r2r1?2?v?r2??L ⑤

取如图5所示坐标系得：

?Fz???lnr22?Brz??z ⑥ r1图5 对?Fz沿z轴积分可以求出磁极对涡流的作用力。设Brz?Br0zn（n??1），

2所以当管子长度达到一定值后，Brzdz趋于某一个常量，读者可设定数据自己运

?算。其物理含义是管子靠近磁极附近的涡流较强，离磁极较远的部分涡流很弱，管子靠近磁极附近的涡流对磁体的电磁力起主要作用。上下涡流反作用于磁极形成对

3

运动磁体的阻力。

作为估算上述方法得出收尾速度和实验情形是吻合的，笔者和学生分别用长度分别是1m、1.6m、2m、6m（在户外）的铝管做实验，磁铁在管中下落不到20cm，手握直管的力就不再变化，说明此后磁铁做匀速运动。测量磁铁在管中的运动时间，得出磁铁匀速下落的速度都在20cm/s左右。 2、对磁极在水平方向的强磁体下落现象的解释 （1）导体板与磁场相对运动时的安培力计算

如图6所示，当导体板相对磁场向左运动时，将穿过导体板的磁感应线看成均匀。假设磁铁和导体板的相对运动速度大小为v，导体板在磁场中的几何尺寸也标在图上，如图7所示。导体板的感应电动势大小为

E?Bbv ⑦

磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为?，电源内阻为

br?? ⑧

ac根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于导体板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。因此感应电流的上限为

Babc导体板相对磁场运动速度v 图6 I?EBacv? ⑨ r?磁场对导体板的作用力即磁场对电流的作用力的上限为

F?BIb?B2abc??v ⑩

由⑩式可以看出，在导体板的面积相对于导体在磁场区域的面积较大的情况

下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。

（2）磁极在水平方向的强磁体下落时，铜管中的涡流Fb分布

安培力方向 将图3中下落的磁铁看

着不动，管子相对于磁体向

a上运动，自右向左观察管的右边，其涡流分布与图7类似，涡流反作用于磁极的作导体板相对磁场运动速度v 用力向上；管子左面的涡流分布与图7中磁场、电流反图7 向，涡流反作用于磁极的作

用力向上。下面粗略计算涡流反作用于磁极的磁力上限大小。

将实验数据a?40mm，b?10mm，c?1.5mm，B?0.05T，

v?0.8ms，?铜?1.7?10?8??m代入④式，并注意到两面涡流反作用于磁极得：

4

2F?0.07N

根据磁铁最终匀速得2F?mg，磁铁的质量为m?0.007kg，这个数值和实验选用的磁铁质

量还是比较接近的。

3、磁铁在有裂缝的铝管中下落较快的原因分析

磁由于管子整体相对于磁体做切割磁感线运

铁动，关于磁体上下对称处的管子中的感应电动势N运大小相同、方向相反，通过裂口处形成闭合回路动方（如图8所示）。由于裂口表面薄层的电阻较

向大，磁铁与管子的相对速度较小时，感应电流较弱，所以涡流反作用于磁极的电磁力较弱。要使涡流反作用于磁极的电磁力等于磁铁的重力，磁体必须以较快的速度下落。简单的说，就是回路的电阻变大，要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相

图8 对运动速度。

四、建议

1、对于本文开头的练习题分两种类型的电磁阻尼现象给出。 （1）磁极轴向分布的强磁体下落的现象 （2）磁极在水平方向的强磁体下落的现象

2、对于磁极轴向分布的强磁体下落的现象解释用管子切割磁感线为宜，用右手定则判定感应电流方向。进一步给出图4的涡流分布，现象一目了然。

3、对于有裂口的管子的涡流分析，若让学生认识到要形成回路，必需要关于磁体上下对称选择回路（这样分析比较简单）。由于电流要经过缺口处，相对于无裂口的管子的电阻变大，相同电动势的情况下电流变小。要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相对运动速度。这样分析比较准确，学生也容易理解。 五、说明

在探究“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”时，还发现了一个有趣的现象。用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在2m左右，磁体始终处于竖直状态。但用“直径10mm，高度60mm”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖直状态无初速下落，发现下落30cm左右磁铁就转了90°。若干次实验说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于平动状态。这说明地磁场对强磁体的磁力作用是比较明显的。这同时也提供了一种测定地磁场方向的简单方法。这种现象可以作为学生的探究实验，它的名字可以叫“用落体法测定地磁场的方向”。

“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”；“导体板与磁场相对运动时”的电磁驱动小车，本人均设计了演示实验，演示效果较好。

以下附《自制电磁驱动演示实验介绍》；《强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象》和《用落体法测定地磁场的方向》演示实验说明。

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自制电磁驱动演示实验介绍

钕铁硼强力磁铁其磁极附近的磁感应强度可以达到B=0.05T（用霍尔传感器测出），利用其强磁性，可以使许多电磁感应实验现象更加明显，以下是笔者利用钕铁硼磁铁自制的电磁驱动演示实验的介绍。

1、实验现象：

（现象1）在水平桌面上放置一根学生用铝制刻度尺，将磁铁的磁极贴近刻度尺表面掠过刻度尺，很容易发现刻度尺随着磁铁移动。做这个演示实验时由于磁铁与刻度尺靠的比较近，容易碰到刻度尺，学生会误以为是磁铁与刻度尺的滑动摩擦引

S起刻度尺的移动。为了使学生确

信实验的真实性，可以将学生用铝制刻度尺放在比较光滑的硬质

磁铁的运动方向 薄板（如普通的贺年卡、薄铝板

等）上，将磁铁的磁极贴着薄板

N的背面滑动，能明显观察到刻度

尺在硬质薄板上滑动。

（现象2）如图9所示，用

铝板 手抓住磁铁，将磁铁的磁极从铝

板的表面掠过，手上会感觉到明显的阻力。将铝板放在铝制的小图9 车上，当磁铁与铝板相对运动

时，会看到铝板带动小车的加速运动。磁铁的磁极离铝板越近、磁铁与铝板的相对速度越大，铝板带动小车的运动现象越明显。

2、器材制作： B 这里介绍（现象2）的器材：磁

c铁可以用废旧电动自行车的定子上的

b磁片制成，也可以到厂家加工。铝板a面积大小约40(cm)?20(cm)，厚度约0.3mm.铝制小车是用铝合金窗框的方管边角料制成。利用铝合金方管

导体板相对磁场运动速度v 的好处是可以增加铝板与其接触处的

厚度，也就是增加磁场作用区域的金属的厚度（本文在后面进行理论分图10 析）；再就是利用方管的高度，避免

磁铁与小车铁质部分的物体由于磁铁的吸引而影响演示效果，最后将铝板与铝合金方管用铝焊焊接而成。

3、原理分析：

当磁铁靠近铝板时，将穿过铝板的磁感应线看成均匀如图10所示。假设磁铁和铝板的相对运动速度大小为v，铝板在磁场中的几何尺寸也标在图上。

见图11，将磁体看成不动，铝板相对磁场向左运动，铝板的感应电动势大小为

E?Bbv ①

磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为?，电源内阻为

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r??b ② ac根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于铝板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。因此感应电流的上限为

I?EBacv ③ ?r?磁场对铝板的作用力即磁场对电流的作用力的上限为

F?BIb?B2abc??v ④

若取磁极面积（4cm?2cm），铝板厚度0.3mm，B=0.05T，v=5m/s, ?铝?2.8?10?8??m代入④式得：F=0.1N。 由④式可以看出，在导体

板的面积相对于导体在磁场区域的面积大的情况下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。在其它条件一定的情况下，电磁驱动力与磁感应强度的平方成正比，所以选用强磁材料可以使演示效果非常明显。此外，导体板不宜太厚，厚度大会增加导体板的质量，同时由于从磁极处向外随距离增大，磁感应强度减小很快，因而在其它条件不变的条件下，作用力的增加并不是与厚度正比。因此本实验用适当厚度的铝板，并同时适度增加磁场作用区域的铝板厚度，增强演示效果。

实物示意图见图12.

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bF安培力方向 a导体板相对磁场运动速度图11 S磁铁的运动方向 N图12 强磁体在铝管（铜管）中 下落过程的实验现象

1、磁极轴向分布的强磁体下落的现象

如图13所示，将长度1.60m，内径12mm，外径15mm的紫铜管竖直放置，用钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径10mm，高度60mm）从管内无初速释放，大约经过8s磁体才从管的下端落出。 2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象

如图14所示，若将长度、宽度、厚度分别是40mm、10mm、3mm的磁片从上述直管中下落，大约经过2s磁体就从管的下端落出。 的磁的磁磁强极磁

强铁极N磁在铁 磁运轴体水NS运体动向 下平动S下方分落方方 落向布向向

图13 图14 用落体法测定地磁场的方向

1、 用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在2m左右，磁体始终处于竖

直状态。这说明地磁场对弱磁性的磁体，磁力作用影响较小。

2、 用“直径10mm，高度60mm”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖

直状态无初速下落，发现下落30cm左右磁铁就转了90°。若干次实验说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。这说明地磁场对强磁体的磁力作用是非常明显的。

3、 将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于

平动状态。设法测出磁体与水平方向的夹角，即地磁场的方向与水平方向的夹角。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p3xo.html