1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．命题：“若x2<1，则－1

3．(2010·陕西改编)“a>0”是“|a|>0”的____________条件．

4．(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是：_____________ _________________________________.

5．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的___________条件． 6．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为______________________．

7．若y＝f(x)为定义在D上的函数，则“存在x0∈D，使得[f(－x0)]2≠[f(x0)]2”是“函数y＝ f(x)为非奇非偶函数”的______________条件．

8．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s 的必要条件．现有下列命题：

①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件而不是充分条件； ⑤r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是________．

9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

????x＋2≥0??

?，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若q是p的必要非充分条件，10．已知p：?x|?

???x－10≤0???

则实数m的取值范围是______．

11．以下四个命题中，真命题的序号是________．

①△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin B；②函数y＝f(x)在区间(1,2)上存在零点的充要条件是f(1)·f(2)<0；③等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝±4；④把函数y＝sin(2－2x)的图象向右平移2个单位后，得到的图象对应的解析式为y＝sin(4－2x)．

12．已知xOy平面内一区域A，命题甲：点(a，b)∈{(x，y)||x|＋|y|≤1}；命题乙：点(a，b)∈A. 如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是________． 二、解答题(本大题共3小题，共40分)

13．(13分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要 条件，求实数m的取值范围．

14．(13分)求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数x都成立的充要条 件是0

???x－a2－2?x－2

<0?，B＝?x|<0?. 15．(14分)已知全集U＝R，非空集合A＝?x|

x－a?x－(3a＋1)???

1

(1)当a＝时，求(?UB)∩A；

2

(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

答案 1.若x≥1或x≤－1，则x2≥1 2.必要不充分 3.充分不必要

4.“若一个数的平方是正数，则它是负数” 5.必要不充分 6.若a≤b，则2a≤2b－1 7.充分非必要 8.①②④ 9.[1,2) 10.[9，＋∞) 11.① 12.2 13.解 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5.

q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：xm＋1. 又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

??m－1≥1，∴? ∴2≤m≤4. ?m＋1≤5.?

14.证明 (1)必要性：若ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立， 由二次函数性质有：

?a>0?a>0?

?，即?2，∴0

(2)充分性：若00， ∴ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立． 由(1)(2)知，命题得证．

1

15.解 (1)当a＝时，

2

??x|x－2<0???5?

5?＝?x|2

B＝x|1<0＝?x|2

??

x－2

19??

∴?UB＝?x|x≤2或x≥4?.

??

5??9

∴(?UB)∩A＝?x|4≤x<2?.

??

??????

(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a1

①当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2

3∵p是q的充分条件，∴A?B. ?a≤2?3－51∴?，即

1

②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝?，符合题意；

31

③当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1

3

??a≤3a＋111

由A?B得?2，∴－≤a<.

23??a＋2≥2

?13－5?.

综上所述：a∈?－，?2??2

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