辽宁省铁岭市协作体高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第一次联考数学

试卷（文科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则?R A∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）2．以下判断正确的是（）

A．函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”

C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题

D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件

3．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

4．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．函数

y=lg的大致图象为（）

A

．B

．C

．D

．

6．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3

7．下列函数中，与函数f（x）

=的奇偶性、单调性相同的是（）

A

．B．y=x2C．y=tanx D．y=e x

8．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，

函数g（x）

=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个

数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）

A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）

10．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f

（log47），b=f（

log3），c=f（0.20.6）则a，b，c的大小关系是（）

A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c

11．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）

A．ef

B．ef

C．ef

D．ef大小关系不确定

12．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）

A

．B

．C

．D

．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．

14．设函数f（x）

=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是．

15

．设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+1）上存在区域M

内的点，则k的取值范围是．

16．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+3）=0，且当﹣1＜x≤1时，f（x）=2x﹣3，求当2＜x≤4时，f（x）的解析式．

18

．已知函数

（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

19．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1），

（1）若函数y=f（x）的图象经过点P（3，4），求a的值；

（2）若f（lga）=100，求a的值；

（3）比较f（

lg）与f（﹣2.1）的大小，并写出比较过程．

20．已知函数f（x）

=．

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意t∈

[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

21．已知函数f（x）=1

﹣﹣lnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x

）的图象在点（，f

（））处的切线方程；

（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）

=ax2+（1﹣2a）x

+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减

区间；

（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在

极值，当λ∈（﹣∞，0]∪

[，+∞）时，求h（a）的最大值．

选做题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．)[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：

（1）AD=AB；

（2）DA2=DC?BP．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

C1方程为ρ=2sinθ；C2

的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．

2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第一次联

考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则?R A∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B 的交集即可．

【解答】解：由A中不等式变形得：log2（x﹣4）≤0=log21，即0＜x﹣4≤1，

解得：4＜x≤5，即A=（4，5]，

∴?R A=（﹣∞，4]∪（5，+∞），

由B中y=a x+1＞1，得到B=（1，+∞），

则?R A∩B=（1，4]∪（5，+∞），

故选：B．

2．以下判断正确的是（）

A．函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”

C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题

D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】A．利用f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的必要而不充分条件，即可判断出．B．利用特称命题的否定是全称命题即可得出；

C．利用三角形的内角和定理、正弦余弦函数的单调性、和差化积即可得出．

D．利用偶函数的定义即可判断出．

【解答】解：A．函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件，错误．

导数为零的点不一定为极值点，例如函数f（x）=x3，而f′（0）=0，但是此函数单调递增，无极值点；

B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此B不正确；C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA＞sinB，

则A＞B”是真命题；其原因如下：∵0＜B＜A＜A+B＜π

，∴

，．

∴

，．

∴sinA﹣

sinB=＞0，即sinA＞sinB．

D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件，正确．

其原因如下：函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数?f（﹣x）=f（x）?2bx=0对于?x∈R都成立?b=0．

故选D

3．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．

【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．

【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，

∵f（2）=1，

∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，

∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，

∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．

故选D．

4．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．

【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x ﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．

【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；

由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．

令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：

由图得，两个函数图象有两个交点，

故方程有两个根，即对应函数有两个零点．

故选C．

5．函数

y=lg的大致图象为（）

A

．B

．C

．D

．

【考点】函数的图象．

【分析】由函数的解析式可得函数的图象关于直线x=﹣1对称，再由当x＞﹣1时，

y=lg

=lg是减函数，从而得出结论．

【解答】解：∵函数

y=lg|，故函数的图象关于直线x=﹣1对称．

当x＞﹣1时，由于

y=lg

=lg是减函数，图象从左向右是下降的，

故选D．

6．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．

【解答】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，

若p是q的充分不必要条件，

则a≥1，

故选：A．

7．下列函数中，与函数f（x）

=的奇偶性、单调性相同的是（）

A

．B．y=x2C．y=tanx D．y=e x

【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

【分析】先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，然后再分别判断即可得到结论．

【解答】解：∵f（﹣x）

=，∴函数f（x）是奇函数且为增函数．

A.

=，为奇函数，根据复合函数的单调性可

知函数为增函数．

B．为偶函数，在定义域上不单调．

C．为奇函数，在定义域上不单调．

D．在定义域上单调递增，为非奇非偶函数．

故选：A．

8．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，

函数g（x）

=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个

数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g （x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．

【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：

故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，

则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．

故选C．

9．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）

A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．

【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，

∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，

∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），

∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），

∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），

∴g（x+1）＞g（x2﹣1），

∴x+1＜x2﹣1，

解得x＞2．

故选：D．

10．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f

（log47），b=f（

log3），c=f（0.20.6）则a，b，c的大小关系是（）

A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，

∴b=f（

log3）=f（﹣log23）=f（log23），

∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，

∴0.20.6＜log47＜log49，

∵在（﹣∞，0]上是增函数，

∴在[0，+∞）上为减函数，

则f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），

即b＜a＜c，

故选：B

11．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）

A．ef

B．ef

C．ef

D．ef大小关系不确定

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】造函数g（x）

=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．

【解答】解：令g（x）

=，由题意，

则g′（x）

=＜0，

从而g（x）在R上单调递减，∴g．

即

＜，

∴e2015f，

即ef，

故选：A．

12．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）

A

．B

．C

．D

．

【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．

【分析】先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，

x2是原函数的极值点，求出x1+x2

=

，，即可求得结论．

【解答】解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2

∵x1，x2是原函数的极值点

所以有x1+x2

=

，，

故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=

=．

故选D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．

【考点】导数的几何意义．

【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；

【解答】解：y′=e x+x?e x+2，y′|x=0=3，

∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．

故答案为：y=3x+1

14．设函数f（x）

=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是（﹣

∞，﹣1）∪（0，1）．

【考点】分段函数的应用．

【分析】由分段函数的解析式，讨论m＞0，m＜0，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．

【解答】解：函数f（x）

=，当m＞0，f（m）＞f（﹣m）即为﹣lnm＞lnm，

即lnm＜0，解得0＜m＜1；

当m＜0，f（m）＞f（﹣m）即为ln（﹣m）＞﹣ln（﹣m），即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1．

综上可得，m＜﹣1或0＜m＜1．

故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．

15

．设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+1）上存在区域M

内的点，则k的取值范围是

．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线l：y=k（x+1）过定点（﹣1，0），结合数形结合即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

∵直线l：y=k（x+1）过定点A（﹣1，0），

∴要使直线l：y=k（x+1）上存在区域M内的点，

则直线l的斜率k满足k AC≤k≤k AB，

由

，解得，即B（1

，），

由

，解得，即C（5，2），

∴

，，

∴k

∈．

故答案为：．

16．函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x +3，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 在x ∈[﹣2，5]上有3个零点，则m 的取值范围为 [1，8） ．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点．

【分析】利用导数的运算法则可得f ′（x ），列出表格即可得出函数f （x ）的单调性极值与最值，再画出函数y=f （x ）与y=m 的图象，即可得出m 的取值范围．

【解答】解：f ′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x 2﹣2x ﹣3）=3（x ﹣3）（x +1），令f ′（x ）=0，解得x=﹣1或3．

24，

又f ﹣2）=（﹣2）3﹣3×（﹣2）2

﹣9×（﹣2）+3=1，可知最小值为f （3），即﹣24．

当x=﹣1时，函数f （x ）取得极大值，f （﹣1）=（﹣1）3﹣3×（﹣1）2﹣9×（﹣1）+3=8，

又f （5）=53﹣3×52﹣9×5+3=8，可知函数f （x ）的最大值为f （5）或f （﹣1），即为8． 画出图象y=f （x ）与y=m ．

由图象可知：当m ∈[1，8）时，函数y=f （x ）与y=m 的图象有三个交点．因此当m ∈[1，8）时，函数g （x ）=f （x ）﹣m 在x ∈[﹣2，5]上有3个零点．

故答案为：[1，8）．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．设f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f （x ）+f （x +3）=0，且当﹣1＜x ≤1时，f （x ）=2x ﹣3，求当2＜x ≤4时，f （x ）的解析式．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】设﹣1＜x ≤1，则 2＜x +3≤4，由f （x +3）=﹣f （x ）=﹣2x +3，令x +3=t

，求出f （t ）即可．

【解答】解：∵f （x ）+f （x +3）=0，∴f （x +3）=﹣f （x ）

∵当﹣1＜x ≤1时，f （x ）=2x ﹣3，

∴当﹣1≤x ≤1时，f （x +3）=﹣f （x ）=﹣2x +3．

设x +3=t ，则由﹣1＜x ≤1得2＜t ≤4，又x=t ﹣3，

于是f （t ）=﹣2（t ﹣3）+3=﹣2t +9，

故当2＜x ≤4时，f （x ）=﹣2x +9．

18．已知函数

（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；

（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．

【分析】（1）先任意取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，注意变形到等价且到位．

（2）先化简不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等价转化整式不等式ax2﹣x+1≥0恒成立，然后采用分离常数法求实数a的取值范围即可．

【解答】解：（1）任意取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2．

因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0

0＜x1x2＜1，所以x1x2﹣1＜0

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在（0，1]上是单调减函数．

（2）∵x∈（0，+∞），f（x）

=恒成立，

等价于当x∈（0，+∞）时ax2﹣x+1≥0恒成立即可，

∴a

≥在x∈（0，+∞）恒成立

又∈（0，+∞），

令g（x）

==

﹣（）2

+=

﹣（

﹣）2

+

∴a

≥

故a的取值范围

[，+∞）．

19．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1），

（1）若函数y=f（x）的图象经过点P（3，4），求a的值；（2）若f（lga）=100，求a的值；

（3）比较f（

lg）与f（﹣2.1）的大小，并写出比较过程．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．

【分析】（1）把点代入求解，（2）a lga﹣1=100，两边取对数化为lga?（lga﹣1）=2求解．（3）化为f（﹣2），f（﹣2.1）讨论利用函数单调性求解判断

【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1），函数y=f（x）的图象经过点P（3，4），

∴a2=4，a=2，

（2）（lga）=100，a lga﹣1=100，

lga?（lga﹣1）=2，

即lga=2，或lga=﹣1，

a=100或

a=；

（3）f（

lg）=f（﹣2），f（﹣2.1）

当a＞1时，f（x）=a x﹣1，单调递增，∴f（﹣2）＞f（﹣2.1），

当0＜a＜1，f（x）=a x﹣1，单调递减，f（﹣2）＜f（﹣2.1）

所以；当a＞1时，f（

lg）＞f（﹣2.1），

当0＜a＜1，f（

lg）＜f（﹣2.1）．

20．已知函数f（x）

=．

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意t∈

[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

【分析】（I）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；

（II）若对任意t∈

[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈

[，2]

时，恒成立，即x

∈

[，2]时，a

＞恒成立，确定右边函数的最大值即可．

【解答】解：（I）当a=1

时，

，∴

由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2），单调递减区间为（2，+∞）．

（II）若对任意t∈

[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈

[，2]

时，恒成立，

即x∈

[，2]时，a

＞恒成立

设，x∈

[，2]

，则，x∈

[，2]，

设

，∵＞0在x∈

[，2]上恒成立

∴h（x）在x∈

[，2]上单调递增

即在x∈

[，2]上单调递增

∵

，

∴在

[，2]有零点m

∴在

[，m]上单调递减，在（m，2]上单调递增

∴

，即，

∴a

＞．

21．已知函数f（x）=1

﹣﹣lnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x

）的图象在点（，f

（））处的切线方程；

（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）

=ax2+（1﹣2a）x

+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减

区间；

（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在

极值，当λ∈（﹣∞，0]∪

[，+∞）时，求h（a）的最大值．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式求出函数的导数，求出斜率以及切点坐标，求解切线方程．

（Ⅱ）化简函数Γ（x）的解析式，求出函数的导数，通过①当a=0时，②当a＞0时，分别通过函数的极值点，判断函数的单调性．求出单调区间．

（Ⅲ）通过函数的导数为0，求出极值点，利用题意转化为函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，求出a的范围然后求解h（a）max值即可

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1

﹣

，则f′

（）=4﹣2=2

，

∴函数f（x

）的图象在点（的切线方程为：y﹣（ln2﹣1）=2（x

﹣），即2x﹣y+ln2﹣2=0．

（Ⅱ）∵f（x）=1

﹣﹣lnx（a∈R）．Γ（x）

=ax2+（1﹣2a）x

+﹣1+f（x）=Γ（x）

=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx

Γ′（x）=ax+（1﹣2a

）﹣

=

①当a=0时，Γ′（x）

=

由Γ′（x）

=≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的单调递减区间为（0.1]

②当a＞0时，Γ′（x）=ax+（1﹣2a

）﹣

=

．由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0

设其两根为x1，x2

，因为，所以x1x2一正一负

设其正根为x2，则x

2=

由Γ′（x）

=≤0及x＞0可得

∴Γ（x）=的单调递减区间为（0

，]．

（Ⅲ）f′（x）

=，由f′（x）=0?x=a

由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2

对于h（a）=3λa﹣2a2，对称轴

a=

当或，即λ≤0

或时，h（a）max=h

（）

=

当

0，即0＜λ≤1时，h（a）max=h（0）═0，

当；

综上可知：h（a）max

=

选做题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．)[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：

（1）AD=AB；

（2）DA2=DC?BP．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）连结BD，由弦切角定理得∠EAD=∠ABD=∠PCA，由此能证明AD=AB．（2）由已知得∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，从而△ACD∽△APB，由此能证明

DA2=DC?BP．

【解答】证明：（1）连结BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，

∴AD=AB．

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，

∴△ACD∽△APB，

∴，又AD=AB，

∴DA2=DC?BP．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

C1方程为ρ=2sinθ；C2

的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】（I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C1的直角坐标方程，C2的普通方程．（II）求出C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．

【解答】（本小题满分10分）

解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，

∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，

C2

的参数方程为，消去参数t可得：

C2

的普通方程：．…

（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距

离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值

为，

则点P到曲线C2

距离的取值范围为．…

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．

【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…

∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…

∵其解集为[0，4]

，∴，∴m=3．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，

∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2=（a+b）2=9，

∴a2+b2

≥，∴a2+b2

的最小值为．…

2016年12月21日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p3te.html