（华师版初中数学教案全）第二十七章二次函数2

第二十七章 二次函数

27.1 二次函数（1）

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

1

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10)???????????(1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

2

y=－100x＋100x＋20D (0≤x≤2)????????(2) 三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1 2．P3练习第1，2题。 五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：略

27.1 二次函数（2）

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点：

2

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图

2

象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程：

一、提出问题

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例

例1、画二次函数y=ax2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y ? 9 4 1 0 1 4 9 ? (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做

22

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x与y=-x的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的

2

图象开口向上，函数y=-x的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y

3

＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

2

函数y=ax的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

2

如果要更细致地研究函数y=ax图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何?

(XAyB；XC0，XD>0，yC

其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

2

以上结论就是当a>0时，函数y=ax的性质。 思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a

22

＝ax有些什么特点?它反映了当a

让学生讨论、交流，达成共识，当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。 五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。

2

六、作业： 1．如何画出函数y=ax的图象? 2．函数y＝ax2具有哪些性质? 3．谈谈你对本节课学习的体会。

27.1 二次函数（3）

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

22

2、让学生经历二次函数y＝ax＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。 重点难点：

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性

4

质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。 教学过程：

一、提出问题

1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表：

x ? －3 －2 －1 0 1 2 y＝x2 ? 18 19 8 9 2 3 0 l 2 3 8 9 3 18 19 ? ? ? y＝x2＋1 ? (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。 （图象略）

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个

5

函数的函数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗? 完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。 三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 教学要点

1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点

6

坐标是(0，－2)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数

值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得

最小值，最小值y＝－2。

11

问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图

33象有什么关系?

11

要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察

3311

得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对

3311

称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2

33的图象向上平移两个单位得到的。

1

问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐

3标吗?

1

[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]

3 问题11：这个函数图象有哪些性质?

1

让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x

3的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习： P9 练习1、2、3。 五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?

2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质? 六、作业：1．P19习题26．2 1．(1) 2．选用课时作业优化设计． 第一课时作业优化设计

1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；

7

(2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， 111

y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2

222

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的

位置。

1

你能说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?

2

1

3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2

2得到抛

11

物线y＝x2＋2和y＝x2－2?

22

121212

4．试说出函数y＝x，y＝x＋2，y＝x－2的图象所具有的共同性质。

222

27.1 二次函数（4）

教学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题

1212

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x，y＝－x－1的图象，并回答：

22 (1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。

8

2

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?

教学要点

1．让学生完成下表填空。 x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? 2y＝2x y＝2(x－1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点

1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：

开口方向 对称轴 顶点坐标 2y＝2x 2y＝2(x－1) 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。 三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； 2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。

问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗? 教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数

9

取得最小值，最小值y＝0。

11

问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的

33图象有何关系?

11

(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2

33个单位得到的。)

12

问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

3吗?

1

(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是

3(－2，0))。

1

问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?

3

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

四、课堂练习： P11练习1、2、3。 五、小结：

1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。 六、作业

1．P19习题26．2 1(2)。 2．选用课时作业优化设计。 第二课时作业优化设计

1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y＝4x2与y＝4(x－3)2 11

(2)y＝(x＋1)2与y＝(x－1)2

22

111

2．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2。

444 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；

10

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－1/4x2的图象得到函数1122

y＝－(x＋2)和函数y＝－(x－2)的图象?

44

(4)分别说出各个函数的性质。

3．已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x

22

＋1)和函数y＝4(x－1)的图象， (4)分别说出各个函数的性质．

2

4．二次函数y＝a(x－h)的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?

27.1 二次函数（5）

教学目标：

1．使学生理解函数y=a(x－h)＋k的图象与函数y=ax的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

22

3．让学生经历函数y=a(x－h)＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)＋k的性质。 重点难点：

重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。

2

难点：正确理解函数y=a(x－h)＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。 教学过程：

一、提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

22

(函数y=2(x－1)的图象可以看成是将函数y=2x的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)

222

3．函数y=2(x－1)＋1图象与函数y=2(x－1)图象有什么关系?函数y=2(x－1)＋1有哪些性质? 二、试一试

你能填写下表吗? y=2x2 向右平y=2(x－向上平移 y=2(x－1)2＋1

11

2

2

移 1)2 1个单位 的图象 的图象 1个单位 开口方向上 向 对称轴 y轴 顶 点 (0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 三、做一做

问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函

2

数y=2(x－1)的图象作比较吗? 教学要点

1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

11

问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关

33系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 1122

(函数y＝－(x－1)＋2的图象可以看成是将函数y=－x的图象向右平移

33一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐

标是(1，2)

四、课堂练习： P13练习1、2、3、4。

对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即

2222

y=－3x－6x＋8 =－3(x＋2x)＋8 =－3(x＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)＋11 五、小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 六、作业：

111

1．巳知函数y＝－x2、y＝－x2－1和y＝－(x＋1)2－1

222(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

12

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

1

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－

2121

x－1和抛物线y＝(x＋1)2－1； 22

1

(4)试讨论函数y＝－(x＋1)2－1的性质。

2

2．已知函数y＝6x、y＝6(x－3)＋3和y＝6(x＋3)－3。 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；

(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；

2

3．不画图象，直接说出函数y＝－2x－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

4．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?

用函数观点看一元二次方程 教学设计

教学设计思路

首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

教学目标 知识与技能

1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 过程与方法

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

情感态度价值观

通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．

教学重点和难点

重点是方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

13

2

2

2

难点是二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法 讨论探索法 课时安排 1课时 教学媒体 电脑、flash课件 教学过程设计

（一）问题的提出与解决

问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

h＝20t—5t2。 考虑以下问题

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2。

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

解：（1）解方程 15＝20t—5t。 t—4t＋3=0。 t1＝1,t2＝3。 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

（2）解方程 20＝20t－5t2。 t2－4t＋4＝0。 t1＝t2＝2。 当球飞行2s时，它的高度为20m。

14

2

2

（3）解方程 20.5＝20t－5t2。 t2－4t＋4.1＝0。

因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。 （4）解方程 0＝20t－5t。 t－4t＝0。 t1＝0,t2＝4。

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。

播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案。

从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。

由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？ 例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元

222

二次方程－x＋4x＝3（即x－4x＋3＝0） 。反过来，解方程x－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。

一般地，我们可以利用二次函数y＝ax＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax＋bx＋c＝0。

（二）问题的讨论

二次函数（1）y＝x2＋x－2； （2） y＝x2－6x＋9； （3） y＝x2－x＋0。 的图象如图26.2－2所示。

2

2

2

2

（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？

（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以

15

上的问题。

可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解。

可以看出：

（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。

2

当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x＋x－2=0的根是－2,1。 （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x＝3时，函数的值是0。由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3。 （3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根。

总结：一般地，如果二次函数y=ax2的横坐标就是一元二次方程ax2（三）归纳

一般地，从二次函数y＝ax＋bx＋c的图象可知，

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。

（四）例题

例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）。

解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7。

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7。

2

?bx?c的图像与x轴相交，那么交点

?bx?c=0的根。

16

播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可

2

根据图像估计出方程x－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异。

（五）小结

总结本节的知识点。 （六）板书设计

用函数观点看一元二次方程 抛物线y＝ax＋bx＋c与方程ax＋bx＋c=0的解之间的关系 例题 27.3 实际问题与二次函数（1）

教学目标：

1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 重点难点：

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。 教学过程：

一、创设问题情境

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，

2

开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝所以点B的坐标为(2，－0.8)。

17

22AB

＝2(cm)，又CO＝0.8m，2

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2

因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。 二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

2

解：设所求的二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c。 因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m， 所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，1?a＝－???4a＋2b＝0.85

0)，可得到? 解这个方程组，得?4?16＋4b＝0?

b＝??514

的关系式为y＝－x2＋x。

55

问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画

图象相同?

问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎P18例7。

三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。 四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的

18

所以，所求的二次函数

另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

2

设所求二次函数为y＝ax＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以

?64a＋8b＝－4?

得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到? 解

4a－2b＝－4??1?a＝－?4

这个方程组，得?3

b＝??2

123

所以，所求二次函数的关系式是y＝－x＋x＋4

42

练习： 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的

纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

2

五、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 六、作业

1．P19习题 26．2 4．(1)、(3)、5。 2．选用课时作业优化设计， 每一课时作业优化设计

1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。

2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

2

3．如果抛物线y＝ax＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。

2

4．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

13

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交

22点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。

19

27.3 实际问题与二次函数（2）

教学目标：

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 重点难点：

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。 教学过程：

一、复习巩固

1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，

(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。

113

答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。

224 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? bb4ac－b2

[对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)] 2a2a4a

二、范例

例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。 练习：P18练习1．(2)。

例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是?

?－b＝2

直线x＝2，可以得?2a

??9a＋3b＝6

20

??a＝－2

解这个方程组，得：?

?b＝8?

所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x

－5。

2

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)＋k，由于二次函数的图象经

?a(3－2)2＋k＝1?

过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到? 解这个方程组，得：2

a(0－2)＋k＝－5??

??a＝－2? ?k＝3?

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。 例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。

2

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax＋bx＋c?依题意，得

?????

b

＝22a??a＝224ac－b?b＝－8 所以，所求二次函数关系式为y解这个方程组，得：

＝－4?4a?c＝4

c＝4－

＝2x2－8x＋4。 三、课堂练习

1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所b?－?2a＝－3

以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：?12a－b

??4a＝－1

2

4?a＝?9

解这个方程组，得：?8

b＝??3

428

所以，所求二次函数的关系式为y＝x＋x＋3。

93

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2

－1

21

42

因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)－1 解得a＝ 948

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．

93 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就

是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

p?－?2＝5

简解：依题意，得?4q－p

??4＝－2

2

解得：p＝－10,q＝23

所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。

四、小结

1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c

2

(2)顶点式：y＝a(x＋h)＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式?

让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。 五、作业：

1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

2

3．若抛物线y＝－x＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

22

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