群的直积

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2)|a1?G1,e2为G2的单位元}，则A1是G的子群，且G1?A1；若令A2?{(e1,a2)|a2?G2,e2为的单位元}，则A2是G的子群，且G2?A2。

证明 （1）由卡氏积的性质显然。

（2）如果G1和G2都是交换群，则对任意的(a1,a2),(b1,b2)?G,有

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2)?(b1a1,b2a2)?(b1,b2)?(a1,a2)，所以G是交换群。

反之，如果G是交换群，那么对任意的a1,b1?G1，a2,b2?G2有(a1,a2)?(b1,b2)?(b1,b2)?(a1,a2)，即(a1b1,a2b2)?(b1a1,b2a2)。

故a1b1?b1a1，a2b2?b2a2，所以G1，G2都是交换群。 （3）构造映射

?:G1?G2?G2?G1

(a1,a2)?(a2,a1)，?(a1,a2)?G1?G2， 显然?是双射，且

?((a1,a2)(b1,b2))??(a1b1,a2b2)?(a2b2,a1b1)?(a2,a1)(b2,b1)??(a1,a2)??(b1,b2)

因此，?是G1?G2到G2?G1的同构映射，即G1?G2?G2?G1。 （4）构造映射

?:G1?A1

a1?(a1,e2)

则易知?是一个同构映射，因此A1是G的子群，同理可证另一个结论。

例1 设G1??a?,G2??b?分别是3阶和5阶的循环群，则G?G1?G2是一个15阶的循环群。

证明 首先，由定理1知，G是一个15阶的交换群，设c?(a,b)?G，(e1,e2)是G的单位元，则c3?(e1,b3),c5?(a2,e2)，所以c3,c5都不等于(e1,e2)，可知ordc?3,5由拉格朗日定理知，ordc=15，即G??c?是15阶循环群。

例2 Z2?Z2?G, 这里G??(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)? 证明 对于4阶群Z2?Z2中的任意元(a,b)有(a,b)?(a,b)?(0,0).

故Z2?Z2中没有4阶元素，所以Z2?Z2不是循环群，而4阶群在同构的意义下仅有两个，于是Z2?Z2?G.事实上， Z2?Z2到G的任意一个将零元(0,0)映到(1)的双射都是一个群同构。

a和b分别是G1和G2中的有限阶元素，定理2 设G1,G2是群，则对于(a,b)?G1?G2有ord(a,b)??orda,ordb?.

证明 设orda?m,ordb?n,s??m,n?,则(a,b)S?(a,b)?(e1,e2)从而(a,b)的阶

ssttt有限，设其为t，则需证t?s.首先t|s。又因为(e1,e2)?(a,b)?(a,b).所以

a?e1,b?e2，于是m|t且n|t，从而t是m和n的公倍数，而s是m和n的最小公倍

tt数，因此s|t，从而s?t。

例3 试确定Z15?Z5中5阶元素的个数。

解 由定理2，即要确定Z15?Z5中满足5?ord(a,b)??orda,ordb?的元素(a,b)的个

数。即要求：或者orda?5且ordb?1或5；或者orda?1且ordb?5。分别讨论如下：

（1）orda?ordb?5，此时a可选3,6,9,12，b可选1,2,3,4，从而共有16个5阶的元。

（2）orda?5,ord?1,此时a如上，而b为0故共有4个5阶元。 （3）orda?1,ordb?5,a?0,b同（1），故也有4个5阶元。 于是Z15?Z5共有24个5阶元。

定理3 设G1和G2分别是m阶及n阶的循环群，则G1?G2是循环群的充要条件是

(m,n)?1。

证明 设G1?a,G2?b.

假设G1?G2是循环群。若(m,n)?t?1，则由于orda?m,ordb?n而am/t和bnt的阶都是t，因此(amt,e2)和(e1,bnt)是循环群G1?G2中的两个不同的t阶子群，矛盾，所以(m,n)?1。

反之，假设(m,n)?1，则ord(a,b)??m,n??mn?G1G2?G1?G2，所以(a,b)是G1?G2的生成元，因此G1?G2是循环群。

定义2 设H和K是群G的正规子群，如果群G满足条件G?HK,且H?K??e?，则称G是H和K的内直积（internal direct product）。

定理4 设H和K是G的子群，则G是H和K的内直积的充分必要条件是G满足以下两个条件：

（1）G中每个元可惟一地表为hk的形式，其中h?H,k?K；

（2）H中任意元与K中任意元可交换，即：对任意h?H,k?K，有hk=kh。 证明 如果G是H和K的内直积，则G=HK，所以，G中每个元g都可表为的hk形式，其中h?H,k?K，如果g?hk?hk,h?H,k?K,则h'h?k'k?1?H?K??e?，

''''?1从而h'?1h?kk'?1?e，因此h?h,k?k，即条件（1）成立。

?1?1''对任意h?H,k?K，考虑g?hkhkg?(hkh?1?G，则由于K?G，故

)k?Kk?1?K，同理g?H，所以g?H?K，即g=e，于是hk=kh，条件

（2）成立。

反之，若H，K是G的子群，且条件（1）和（2）成立，则G=HK，又对任意的h1?H,g?hk?G，其中h?H,k?K，则由条件（2）kh1?h1k，所以

gh1g?1?(hk)h1(hk)?1?(hk)h1(k?1h?1)?hh1kk?1h?1?hh1h?1?H。于是H?G。同

理可得K?G。

对任意的g?H?K，有ge = g = eg而由条件（1），g表示为hk的形式是惟一的，故得g = e，即H?K??e?。从而G是H和K的内直积。

例4 设G=?diag(A1,A2)A1,A2?GL2(R)?，则易证G是的GL4(R)子群，令

H??diag(A,E2)A?GL2(R)?K??diag(E2,A)A?GL2(R)?

则H和K是G的正规子群，显然H?K??E4?，且对diag(A1,A2)?G，有diag(A1,A2)?diag(A1,E2)?diag(E2,A2)?HK。

由定义知G是H和K的内直积。

例5 将S3自然地看作S4的子群，设K??(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)?，则K是S4的正规子群。显然S3?K??(1)?。因此S3?K?S3?HS3?K?24?S4。从而S4?S3?K。

但是由于S3不是S4的正规子群，因此S4不是S3和K的内直积。

关于群的内外直积，我们有如下定理：

定理5 如果群G是正规子群，H和K的内直积，则H?K?G；反之，如果群则存在G的正规子群G1和G2，且Gi与Gi同构(i?1,2)，使得G是G1和G2G?G1?G2，

的内直积。

证明 如果群G是正规子群H和K的内直积，定义映射

?:H?K?G(h,k)?hk,?(h,k)?H?K'''''

则由于G=HK，故?是满射，又由定理4知G中元与表为hk形式时表法惟一，故?是单射，又对任意的(h1,k1),(h2,k2)?H?K，由于H中的元与K中的元可交换，故

??(h1,k1)?(h2,k2)???(h1h2,k1k2)?(h1h2)(k1k2)?(h1k1)(h2k2)??(h1k1)??(h2k2)所以?是同构映射，从而H?K?G。

如果G?G1?G2。令G1??(a1,e2a1?G1)?,G2??(e1,a2)a2?G2?

''首先由定理1知G1'，G2'都是G的子群，Gi'与Gi同构。且对任意的

''(a1,a2)?G,(a1,a2)?(a1,e2)(e1,a2)?G1?G2，这一表法是惟一的。 且对任意的

''(a1,e2)?G1,(e1,a2)?G2，有(a1,e2)?(e1,a2)?(a1,a2)?(e1,a2)(a1,e2)。所以，由定

理4知G是G1'与G2'的内直积。

定义3 设G1,G2,?,Gn是有限多个群，构造集合

G??(a1,a2,?,an)ai?Gii?1,2,?,n?，

并在G中定义运算(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1b1,?,anbn)。则G关于上述运算构成群，称为群G1,G2,?,Gn的外直积，记作G?G1?G2???Gn。Gi称为G的直积因子。

定义4 设H1,H2,?,Hn是群G的有限多少个正规子群，如果G满足以下两个条件，我们就称G是H1,H2,?,Hn的内直积。

(1)G?H1H2?Hn??h1h2?hnhi?Hi?;(2)(H1H2?Hi)?Hi?1?{e},i?1,2,?,n.

注：（2）也可以换成H1H2?Hi?1Hi?1?Hn?Hi?{e},i?1,2,?,n. 对多个群直积的情况，我们也有：

定理6 如果群G是有限多个子群H1,H2,?,Hn的内直积，则G同构于H1,H2,?,Hn的外直积。

注：从定理5和定理6可以看到，如果把同构的群不加区分的话，外直积与内直积本质上是一致的。所以我们将内外直积不加区分，统称为群的直积，也可以将内直积写成

G?G1?G2???Gn。另外，直积因子的次序可以任意调换，也可以随意添加或去掉括号。

定理7 设G?H1H2?Hn则G是子群H1,H2,?,Hn的内直积的充分必要条件是： （1）G中每个元素的表示法唯一；

（2）Hi中任意元素与Hj中任意元素可换（i?j）。 证明 类似于定理4可证。

例6 证明：Z4?Z6?Z5?Z4?Z30

证明 因为Z6?Z5?Z30所以，Z4?Z6?Z5?Z4?Z30。同理，

Z4?Z6?Z5?Z4?(Z6?Z5)?Z4?(Z5?Z6)?(Z4?Z5)?Z6?Z20?Z6

例7 设G??a?为n阶的循环群，n?p11p2G?G1?G2???Gs，这里Gi??anp1n1nn2?psns为n的标准分解式，则

ki?pi?1ni?1pi?1ni?1?psns?,i?1,2,?,s。|Gi|?pins。

证明 显然Gi?G。令ti?p11?pi?1ni?1pi?1ni?1?ps，则(t1,t2,?,ts)?1，故存在

m

u1,u2,?,us?Z使t1u1?t2u2???tsus?1。从而，对G的任意元素a有

am?(a1)tmu1(a2)tmu2?(as)kitmu1s?G1G2?Gs

因此，G?G1G2?Gs，又因为|Gi|?piG?G1?G2???Gs。

，而且G1G2?Gi?1?Gi?{e}，所以

下面我们利用群的直积定义两类重要的群。

定义5 一个群如果能够分解成它的真子群的直积，则称这个群为可分解群；否则称为不可分解群。

例8 Sn是不可分解群。

证明 当n?4时Sn的非平凡正规子群只有An。S4的非平凡正规子群只有A4和Klein四元群K4，而且K4?A4。因此，Sn是不可分解群。

例9 有理数加群Q? 是不可分解群.

证 设H,K是Q? 的任二真子群,则有0?0?bd?ad?da?bc?dcba?H,0?dc?K.于是易知

?H?K,即Q? 的任二真子群的交都不是0.因此 Q?是不可分

解群.

例10 无限循环群是不可分解群; n阶循环群是不可分解群当且仅当n为素数的方幂.

sk证明 （1）设H,K是无限循环群G??a?的任二真子群,且H??a?,K??a?。则

H?K??a[s,t]??{e},所以G的任二真子群的交都不是{e}，从而,G是不可分解群.

k（2）设G??a?,且orda?p,p为素数;又设H,K为G的任二真子群,且

H??aps?,K??apt?,0?s?t?k,则H?K??apt因此,G是不可分解??K?{e}，

群。反之,设n阶循环群G??a?不可分解,则有例7知n必为素数的方幂。

习题 1－9

1. 证明：Z3?V?Z2?Z6，其中V是Klein四元群。 2. Z9?Z6中有多少个9阶元素？

3. Z4?Z8中有多少个4阶元素？

4. 在Z中，设H=<3>,K=<5>。证明：Z=H+K。问：Z与H?K同构吗？ 5. 证明或否定Z?Z是循环群。 6. 证明：Z8?Z2与Z4?Z4不同构。

7. 设R*是所有非零实数构成的乘法群，R?是所有正实数构成的乘法群。证明：R*是R?与子群{-1,1}的内直积。

8. 设G?Z4?Z4,H?{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)},K??(1,2)?。问：G/H是同构于Z4还是Z2?Z2？G/K是同构于Z4还是Z2?Z2？ 9. 证明：复数加群C同构于R?R。

10. 设G?G1?G2。证明：存在G到G2的同态映射?，使Ker??G1,Im??G2。 11. 证明：U(8)同构于Z2?Z2；U(15)同构于U(3)?U(5)。这里

U(n)?{a?Zn|(a,n)?1}，U(n)关于模n剩余类的乘法做成群。

12. 设G?G1?G2???Gn，每个ai是Gi中的有限阶元素。证明：ord(a1,a2,?,an)=[orda1, orda2,?,ordan]。

13. 假设G?G1?G2???Gn。证明：C(G)?C(G1)?C(G2)???C(Gn) 14. 证明：D6?D3?Z2。

15. 假设G1?H1,G2?H2。证明：G1?G2?H1?H2。

15. 假设G1,G2,G3是群。证明：G1?(G2?G3)?G1?G2?G3?(G1?G2)?G3。 16. 设H为G的直积因子,则H的每个正规子群均为G的正规子群. 17. 若G?A?B,B?B1?B2,则G?A?B1?B2.

18. 若G?H1?H2???Hn,Hi?Hi1?Hi2???Hit(i?1,2,?,n),则G也必为这些

iHij的直积(i?1,2,?,n;j?1,2,?,ti).

''''''19. 若G?A?B,则G?A?B,其中G,A,B分别为G,A,B的换位子群.

'20. 若G?H1?H2???Hn,则G?H'1?H'2???H'n

21. 设G,H是两个Abel群.若f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使fg是H的恒等

映射,证明

G?Img?kerf。

22. 设f是Abel群G的自同态,若f2?f,则G?Imf?kerf

23. 设G,H是两个Abel群.f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使gf?Aut(G)是H的恒等映射,证明

H?Imf?kerg。

24. 设G1，G2，?，Gn是n个群,则对1,2,?,n的任意排列i1,i2,?,in

Gi1?Gi2???Gin?G1?G2???Gn.

,均有

25. 设A1?A,B1?B,则A1?B1?A?B,A?B/A1?B1?A/A1?B/B1. 26. 给出群Hi,Kj的例子,使H1?H2?K1?K2,但是没有Hi同构于Kj. 27. 设G是奇数阶Abel群,?? Aut(G),?2?1，令

?1G1??g?G|?(g)?g?,G2??g?G|?(g)?g?，

则G1,G2都是G的子群,且G?G1?G2.

28. 设G?A?B,且G的子群F?A,则F?A?(B?F). 29.

设

N1，N2，?，Nn均?G,则

G/N1?N2???Nn同构于

G/N1?G/N2???G/Nn的一个子群.

30. 设A?G,B?G,,并且G=AB,证明G/A?B?G/A?G/B. 31. 若A?G,B?G且G=AB,则G/A?B?A/A?B?B/A?B.

32. 设G是有限群, A?G,B?G,并且G?AB,(A,B)?1,证明G?A?B.

?，Nn是有限群33. 设N1，N2，G的n个正规子群,且满足

G?N1N2?Nn,N1,N2,?,Nn是两两互素的,则G?N1?N2???Nn.

35. 若Abel群G是由两个有限阶元a,b生成的,则|G||orda?ordb,并且有

G?orda?ordb?G??a???b?..

36. 若Abel群G?H1?H2,其中H1,H2是两个有限群,则G|H1?H2,且

G?H1H2?G?H1?H2.

37. 若Abel群G?H1?H2???Hn,Hi都是有限群,则有G|H1H2?Hn,且G?H1H2?Hn?G?H1?H2???Hn。

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