0917《高等数学》作业答案

《高等数学》第一批次作业

一、选择题

f?x?与lim?f?x?都存在是limf?x?存在的（ B ）. 1．lim?x?x0x?x0x?x0A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 2．若数列?xn?有界，则?xn?必（ C ）.

A. 收敛 B. 发散 C. 可能收敛可能发散 D. 收敛于零

x2?13．lim2?（ C ）.

x??1x?x?2A. 0 B. ?223 C. D.

323'4．若在区间?a,b?内，f?x?是单调增函数，则fA. ?0 B. ?0 C. ?0 D. ?0 5．xdy?ydx?0的通解是（ A ）. A. y?Cx B. y??x?（ A ）.

C C. y?Cex D. y?Clnx x6. 函数z?f?x,y?在?x0,y0?连续是f?x,y?在?x0,y0?可偏导的（ D ）. A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上说法都不对 7. 如果f'?x?存在，则xlim?x0f?x0??f?x??（ B ）.

x?x0A. f'?x0? B. ?f'?x0? C. 0 D. 不存在 8. 如果u,v都是可导函数，则d?uv??（ C ）.

A. udu?vdv B. u'dv?v'du C. udv?vdu D. u'v'dx

9. 设曲线y?x2?x上点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为（ B ）. A. （0，1） B. （1，0） C. （1，1） D. （0，0） 10.

?sinxcosxdx?（ A ）.

1111sin2x?C B. ?cos2x?C C. cos2x?C D. tan2x?C 2222A.

二、填空题：

?1．lim?1?x?0??x??? e3 . 3?2x222x3?x22. lim . ?x??5x3?25?3.

?20cos5xsinxdx? 1 . 64. 函数5.

的单调减区间为 ?0,??? .

?1?1x2sinxdx? 0 .

6. 微分方程y'''????y?2''2?1是 3 阶微分方程.

??1?2?7. 函数y?3x2?2x3的凹区间为 ???,? . 8. 由曲线y?x2，x?1及x轴围成的封闭区域面积为 2 . 39. 曲线y?x2在点?1,1?处的切线方程为 y?2x?1 . 10. 已知z?x，则

y?z? yxy?1 ?x三、计算题：

求定积分解：

?10xe?xdx.

?xe01?xdx???xde?x

01?x1?x????xe0??0edx??

??1?1???e?0??e?xd??x?? ??0??1????e?1?e?x0??

??1????e?1?e?1?1

?1?2e?1

????四、证明题：

当x?0时，试证x?ln?1?x?成立.

证：设f?x??x?ln?1?x?，则f'?x??x， 1?x∵f?x?在?0,???上连续，且在?0,???内可导，f'?x??0， ∴f?x?在?0,???上单调增加， ∵f?0??0

∴当x?0时，x?ln?1?x??0 即x?ln?1?x?

《高等数学》第二批次作业

一、选择题

1. 当x?0时，x?2x是sinx的（ C ）.

A. 等价无穷小 B. 同阶但不等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 高阶无穷小 2. 设函数f?x??x2，则lim22?x?0f?x0?2?x??f?x0??（ C ）.

?x2A. x0 B. 2x0 C. 4x0 D. 2x0

3. 当x?x0时， f?x??A为无穷小量是limf?x??A的（ B ）.

x?x0A. 无关条件 B. 充分必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件

4. 函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在是函数在该点可微的（ B ）. A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 5. lim?1?x??（ D ）.

x?x02xA. e B. e C. e D. e 6. 微分方程x3y''?12?2??4?yy'?0的阶数是（ B ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.

lnx?x2dx?（ C ）.

111A. lnx?C B. ??lnx?1??C C. ??lnx?1??C D. ?lnx?1??C

xxx8. 下列函数中（ D ）在区间??1,1?上满足罗尔定理的条件. A. y?1?x B. y?1?3x2 C. y?xe D. y?x?1

x29. 当x?1时， A.

x?1与k?x?1?等价，则k?（ A ）.

11 B. 2 C. 1 D. ? 2210. 函数y?xx?1在点x??1处的导数为（ D ）. A.0 B. 1 C. ?1 D. 不存在

二、填空题：

x2?91. 设f?x??2，则x?3是函数f(x)的第 一 类间断点.

x?2x?32. f?x?在点x0可导是f?x?在点x0可微的 充要 条件. 3. 函数y?3x?x3的单调增区间为 [-1，1] .

e3x?1? 3 . 4. limx?0x5. 函数y?3x?x3的极小值为 f??1???2 . 6. 已知y??3?4x?，则y'? 2?3?4x? .

27. 微分方程y''?x的通解为y? 13x?C1x?C2 . 68. limx?0?x0cost2dtx? 1 .

9. 已知函数z?xy2?x2y，则dz? y2?2xydx?2xy?x2dy 10. 由曲线y?x与x?y围成的封闭区域面积为 22????1 . 3三、计算题：

求函数y?x3e2x的微分. 解：因为

y'?(x3e2x)'?3x2e2x?2x3e2x?x2e2x(3?2x)

所以 dy?y'dx?x2e2x(3?2x)dx

四、证明题：

证明方程x?x?1?0在区间??1,0?内有且只有一个实根.

5证：

令f?x??x5?x?1，因f?x?在闭区间[?1,0]连续，且f??1???1?0，f?0??1?0。 根据零点定理f?x?在??1,0?内有一个零点。另一方面，对于任意实数x，有

f'?x??5x4?1?0，

所以f?x?在???,???内单调增加，因此曲线y?f?x?与x轴至多只有一个交点。 综上所述可知，方程x?x?1?0在区间??1,0?内有且只有一个实根。

5《高等数学》第三批次作业

一、选择题

1?2?xsin,x?01. 函数f?x???在x?0处成立，该函数（ A ）. x?x?0?0,A. 可导 B. 极限存在但不连续 C. 连续但不可导 D. 极限不存在 2. 若f'?x0??0，f''?x0??0，则f?x0?（ A ）.

A. 必为f?x?的极大值 B. 必为f?x?的极小值 C. 可能是f?x?的极值 D. 不是f?x?的极值

3. 设sinx是f?x?的一个原函数，则xf?x?dx?（ A ）.

?A. xsinx?cosx?C B. xsinx?cosx?C C. xcosx?sinx?C D. cosx?sinx?C 4. f?x0?有意义是f?x?在x0点处连续的（ B ）.

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件

sin2x2?（ B ）. 5. lim2x??xA. 2 B. 0 C. 1 D. 无穷大 6. y?2xe，则y?（ D ）.

A. 12e B. 12e?x?1? C. 12ex?3x D. 2ex?9x?18x?6

x3x'''xx?2?x?32?7. 设f?x,y?有连续的一阶偏导数，则df?x,y??（ C ）.

A. 0 B. f?dx,dy? C. fx?x,y?dx?fy?x,y?dy D. fx'?x,y?dx

''

8. y?xey?2确定y是x的函数，则

dy?（ B ）. dxx?0?2A. ?e B. e C. ?e D. e

9. 若f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，且f'?x??0，若f?a??0，则在?a,b?内，f?x?（ A ）. A. ?0 B. ?0 C. ?0 D. 不能判定 10. 曲线y?xe?x在?1,2?内（ B ）.

A. 单减且上凹 B. 单减且下凹 C. 单增且上凹 D. 单增且下凹

22?2二、填空题：

1. 如果f?x?在点x?0可导，且f?0??0，则limx?0f?x?? f'?0? .

x2. 曲线y?2x2?1?1?x?2的水平渐近线为 y?2 .

3. 由方程x2?y2?9所确定的隐函数y的导数为 ?4. 若I?y . x?e1dx?lnx0f?x,y?dy，改变I的积分次序，则I? ?10dy?f?x,y?dx

e1x2dx? x?arctanx?C . 5. ?1?x26.

?30x?2dx? 25 . 27. 函数y?x?3lnx的微分为 ?2x???3??dx . x?y . y?18. 由方程y?x?lny所确定的隐函数y的导数为 9.

dx???1?x2? ? .

??10. 已知z?lnx?y，则

?2??z2x? 2 . ?xx?y三、计算题：

设y?ln1?ex，求dy. 解：

?2?dy?dln1?ex?

?2?11?ex2d1?ex??2?11?ex2exdx2?2??ex21?ex22xdx?2xex1?e2x2dx

四、证明题：

证明方程x?4x?1?0在区间?0,1?内至少有一个根.

32证明：

令f(x)?x3?4x2?1，则f(x)在[0,1]上连续。又f(0)?1?0,f(1)??2?0, 由零点定理, ???(0,1)，使f(?)?0，即?3?4?2?1?0. 所以，方程x3?4x2?1?0在(0,1)内至少有一个实根?.

《高等数学》第四批次作业

一、选择题

1. f'?x0??0是f?x?在x0取得极值的（ D ）.

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上说法都不对 2. 函数y?x的单调增区间是（ C ）. lnxA. ?0,??? B. ?0,e? C. ?e,??? D. ?0,1???1,e? 3. 若

?f?x?dx?cos2x?C，则f?x??（ C ）.

2A. ?sinx B. 2sinxcosx C. ?sin2x D. 2cosx

4. 若F?x??f?x?，则d'?f?x?dx?（ B ）.

A. f?x? B. f?x?dx C. F?x? D. F?x?dx 5. 函数f?x?在x0点连续是f'?x0?存在的（ C ）.

A. 无关条件 B. 充分条件 C. 必要条件 D. 充分必要条件

?sin2x?,x?0在点

6. 函数f?x???x?x?0?0,处（ A ）.

A. 连续且可导 B. 连续但不可导 C. 有定义不连续 D. 无定义

3n2?2n?17. lim?（ D ）. x???1?n??2n?1?A.

12 B. ?1 C. ? D. 32 18. xlim?0?ex?（ C ）.

A. ? B. 1 C. 0 D.不存在且不等于? 9. 曲线y?1x?1的上凹区间是（ C ）. A. ???,??? B. ?0,??? C. ??1,??? D. ???,?1?

?x2x10. 设fx??2， ??x??ln2，则（ B ）.

A.

??x?是f?x?的导数 B. ??x?是f?x?的原函数

C. f?x?是??x?的原函数 D.

??x?是f?x?的不定积分

二、填空题

1. limln?1?3x?x?0sinx? 3 . 2. f(x)在x0连续是f(x)在x0可导的 必要但不充分 条件. 3. 由方程x2?y2?9所确定的隐函数y的导数为 ?xy . 4. 函数y?2x1?x2的单调增加区间是 [-1，1] . 5. limsinxx??x? 0 .

6. 已知z?exsiny，则dz? dz?ex?sinydx?cosydy? . 7. limtan4xx?02x? 2 . 8. 已知f?x,y??exy，则f?x,y?在?1,2?点的全微分df? 2e2dx?e2dy9. 已知z?sin?x3?y?，则?z?x? 3x2?cosx3?y? . 10. 已知y?1?x1?x，则y'? ?2?1?x?2 . 三、计算题

求函数y?sinxx的微分. 解：

. ?sinx?xcosx?sinx因为y'?? ??2x?x?所以dy?y'dx?

'xcosx?sinxdx 2x四、证明题

证明方程x?5x?1?0有且仅有一个小于1的正实根. 证：

设f?x??x5?5x?1，则f?x?在[0,1]上连续，且f?0??1，f?1???3，由介值定理，存在x0??0,1?使f?x0??0，即为方程的小于1的正实根.

设另有x1??0,1?，x1?x0，使f?x1??0

因为f?x?在x1,x0之间满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点?（在x1,x0之间），使得f'????0，但f'?x??5x4?1?0?x??0,1??，导致矛盾，故x0为唯一实根.

5??

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