三年级奥数正式教材老师用

目录

第一讲 速算与巧算 .................................. 3 (一) 加减法中的计算 .............................. 3 (二)乘除法中的计算 ............................... 4 第二讲 找规律 ...................................... 7 （一）竖列规律 ................................... 7 （二）图形规律 ................................... 9 第三讲 数字谜 ..................................... 10 （一） 横式字谜 ................................. 10 （二） 竖式字谜 ................................. 13 （三） 趣味九宫格 ............................... 16 第四讲 图解法解应用题 ............................. 18 第五讲 列方程式解应用题 ........................... 21 第六讲 植树问题 ................................... 22 第七讲 鸡兔同笼问题 ............................... 25 第八讲 移多补少平均数 ............................. 27 第九讲 归一问题 ................................... 29 第十讲 倒推法 ..................................... 33 第十一讲 列举法 ................................... 38 第十二讲 奇数与偶数 ............................... 43 第十三讲 周期性问题 ............................... 46 第十四讲 有趣的几何图形 ........................... 49

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第十五讲 逻辑推理 ................................. 53 第十六讲 一笔画 ................................... 55 第十七讲 火柴棍游戏 ............................... 58 (一)摆图形游戏 .................................. 58 (二)移动火柴，变换图形游戏 ....................... 59 (三)去掉火柴，变换图形游戏

....................... 60

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第一讲 速算与巧算

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。 观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”

小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。你可以试一试。”

小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效率。

我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。

(一)加减法中的计算

一、例题与方法指导：

例1、用简便方法计算下面各题：

（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4

例2、用简便方法计算计算下面各题：

⑴1000－90－80－20－10 （2）1508－561＋61

例3、用简便方法计算计算下面各题：

⑴576＋（432－176） ⑵1689＋999－689

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例4、计算（22＋24＋26＋28＋30＋32）－（21＋23＋25＋27＋29＋31）

二、训练巩固

1．用简便方法计算计算下面各题：

⑴1362＋973＋638＋27 ⑵7443＋2485＋567＋245

2．下面各题，怎样简便就怎样计算：

⑴1886＋1998 ⑵5426－2995

3．计算：

⑴1088＋988＋88＋36 ⑵49999＋4999＋499＋49＋4

4.计算：

⑴103＋99＋103＋97＋106＋102＋98＋98＋101+102

三、拓展提升

1．用简便方法计算下面各题：

⑴9＋99＋999＋9999 ⑵4996＋3993＋2992＋1991＋98 2．下面各题，怎样简便就怎样计算：

⑴93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89

⑵20＋19－18－17＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1

3. 计算下面各题：

⑴（38＋42＋46＋50＋54＋58＋62＋66＋70）－（37＋41＋45＋49＋53＋57＋61＋65＋69）

⑵（1999＋1997＋1995＋??＋3＋1）－（1998＋1996＋1994＋??＋4＋2）

(二)乘除法中的计算

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一、例题与方法指导：

两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1（1）76×74＝？ （2）31×39＝？

思路导航：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到 76×74

＝（7＋6）×（70+4）

＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4 ＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 ＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

我们在学到的15×15，25×25，?，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

思路导航：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 78×38

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＝（70＋8）×（30＋8）

＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，?时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。 在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如70 77×70 23， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如1 48×1 52，23 8×23 2等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 4×27 4，98 26×2 26，6 81×4 81等都是“补同”型。

在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？

解：（1）

（2）

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计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例4 2865×7265＝？ 解：

二、训练巩固 计算下列各题： 1.68×62； 3.27×87； 5.42×62；

2.93×97； 4.79×39； 6.603×607； 8.4085×6085。

7.693×607；

第二讲 找规律

（一）竖列规律

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4??；双数列：2、4、6、8??。我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

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按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。

一、例题与方法指导

例1 在括号内填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ）

思路导航： （1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别填15和18；

（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3，4??这样下一个数应为11增加5，所以应填16；再下一个数应比16大6，填22。

（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根据这一规律可知道（ ）里应分别填162和486。

例2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）； （2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）；

思路导航： （1）在15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）中隔着看，第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确定括号里分别应填6、2；

（2）在21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）中，隔着看第一个数减3为第三个数，第三个数减3为第五个数。第二个数增加1为第四个数，第四个数增加1是第六个数。根据这一规律，可以确定括号里分别应填12和7。

二、训练巩固

1，在括号里填数。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） 2，按规律填数。 （1）2，8，32，128，（ ），（ ） （2）1，5，25，125，（ ），（ ） 3，先找规律再填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ） 4，在括号里填数。答

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（1）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） （2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （3）1，2，5，14，（ ），（ ）

（二）图形规律

一、例题与方法指导

例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

思路导航： （1）横着看，右边的比左边的数多5，竖着看，下面的数比上面的数多4。根据这一规律，方格里填18；

（2）通过观察可以发现，前两个图形三个数之间有这样的关系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。根据这个规律，第三个图形空格中的数为9×4÷3=12；

（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以3等于第二个数，第一个数乘3等于第三个数。根据这一规律，36×3=108就是空格中的数。

二、训练巩固

1.根据规律，在空格内填数。

（1）187，286，385，（ ），（ ）；

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思路导航：（1）在187，286，385，（ ），（ ）中，十位上的数字8不变，百位上的数字是1，2，3?依次增加1，个位上的数字是7，6，5?依次减少1，并且百位上的数字与个位上的数字的和为8。根据这一规律，括号里应填484，583；

（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上数十位上的数字之和为下面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格内应填3594。

第三讲 数字谜

小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。

在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

（一）横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？ 思路导航：150*3-8-97-5=340

所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立： （1）6□□4÷56=□0□，

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（2）7□□8÷37=□1□， （3）3□□3÷2□=□17， （4）8□□□÷58=□□6。

分析：（1） 6104/56=109

（2）7548/37=204 （3） 3393/29=117 （4）8468/58=146

例3 在算式40796÷□□□=□99??98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。

分析：40796/102=399...98。

例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学

在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。

思路导航： 这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a

当a=1时，有6*8/2=24，8*9/3=24；

当a=2时，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□－□=□，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？ 分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445； 所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

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2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？

分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。 三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

(1)5×□=2□；

(2)6×□＝3□。

2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

(1)□÷□=□÷□；

(2)□÷□＞□÷□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

(1)448÷□□=□； (3)13×□□= 4□6。

4.在下列各式的□中填入合适的数：

(1) □÷32＝8??31； (3)4837÷□＝74??27。

答案与提示 练习22 (2)573÷32＝□??29；

(2)2822÷□□=□□；

4.(1)287；(2)17；()65。

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（二）竖式字谜

例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。

例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能； （2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字

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表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．

分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。 这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？

分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。

二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少？

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分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．

分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。

3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？

分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。

三、拓展提升

1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？

分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。

2. 某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？

分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；

4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。

3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

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不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？

分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：

好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。

（三）趣味九宫格

九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数，根据已知数之间的关系，求出未知的项。此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。 1．

A．7 B．5 C．3 D．9 【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，（30），40，是等差数列。 2．

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A．27 3．

B．8

C．21

D．18

【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以3等于第三个数。（63-9）÷3=（18）。

A．14．2 B．16．4 C．18．6 D．15

【答案】A。解析：每行第一个数字加1等于后两个数字之和。 4．

A．6．1 B．5．3 C．4 D．2

【答案】D。解析：从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间数字。 5．

A．20．4 B．18．6 C．11．6 D．8．6

【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。

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第四讲 图解法解应用题

一、例题与方法指导

例1 小明早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣5分钟,刷牙洗脸6分钟,在火炉上烧水煮面要16分钟,整理房间8分钟,为了尽快做完这些事,最少要 分钟.

思路导航：

用图表示:

16 分 5分 5 1 2

烧、煮 起床 8 分 6 分 3 4 整理 刷牙、洗脸

所以是5+16=21(分)

例2 少先队员参加植树劳动,每人植树2棵,如果一个人挖坑,一个要25分,运树苗一趟(最多可运4棵)要20分,提一桶水(可浇4棵树)要10分,栽好一棵树要10分.现以两个人为一小组合作,完成植树任务最少要 分钟. 思路导航： 甲 挖3个坑 种1棵树

10分 75分 完成

栽3棵树 运苗 提水 挖1个坑 乙

20分 10分 25分

所以:75+10=85(分)

例3 甲、乙两地相距6千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村之间不断地往返行走,在出发后40分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,在离甲村2千米处,两人第二次相遇,求小晶和小红的速度各是 、 .

思路导航： 小晶5千米/小时;小红4千米/小时.

甲 晶 相遇

乙

相遇 红

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合走1个全程要40分,3个应是40×3÷60=2(小时) 晶:(6+4)÷2=5(千米/小时) 红:(6+2)÷2=4(千米/小时)

例4 早上10点8分,小明放学回家,8分钟后,周老师骑车追他,在离学校4千米的地方追上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚好离家8千米,求这时是 时 分. 思路导航：

早上10点8分放学,小明从学校回家,8分钟后,周老师骑车追他,追上时离校4千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了4千米,从下图可知,照后来速度算,周老师前面应走4×3=12(千米).因为少走8分钟,所以少走12-4=8千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32. 校 4千米 4千米

明

时间一样 周

二、巩固训练

1.A,B,C,D,E五位同学进行象棋单循环比赛,已知A,B,C,D已经赛过的盘数依次为4,3,2,1盘,此时,E赛了 盘.

2.有号码为1,2,3,4 四名运动员,在一次比赛中获得了前4名,已知:①每个运动员的号码都与自己的名次不符;②某运动员的名次是第四名运动员的号码,而此人的号码又是2号运动员的名次.③3号运动员不是第一名,那么1号得 名,二号得 名,三号得 名,四号得 名.

3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.如果各人得的总分不同,第一名不是全胜,那么,至多有 局平局.

4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本的有25人,采集植物标本的有19人,两种标本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的有 人.

答案： 1.两盘.

用连线表示两人已赛过一场,A应画四条线,B应画3条,但不能连D,又有一条AB,所以,B只画BC,BE.从C出发应有两条,已有.所以E只赛了两盘. A

B E

C D 2. 1号第三,2号第一,3号第四,4号第二.

由①、③可知,第一名是2或4,依题意画图如下:

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1 4 3 ① 2 3 4 1 ② 4 1 3 ③

4 以上六种情况中,符合题意的只有③方案.

1 2 3 ④ 3 1 2 ⑤ 2 1 ⑥

3. 3局.

四名棋手应赛4×3÷2=6(局),应决出2×6=12(分)

又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2+1或 12=5+4+3+0两种.

再由“平局最多”可决定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.这样应:

胜 甲 丙

胜 平 平

平

乙 丁

胜

4. 4人.

作下图:

昆虫标本 植物标本

8 25人 19人 人

昆虫、植物标本

40-(25+19-8)=4(人)

三、拓展提升

1.有100名旅客,其中有10人不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,既懂英语又懂俄语的有 人.

2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人,这个班有学生 人.

答案：9. 68人.

作下图:

不懂

英语 俄语

的有

75人 83人

10人

都懂的

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75+83-(100-10)=68(人)

10. 45名. 作下图: 英语100 数学100 两门

3 12人 10人 都不 人 得100 两门100 26人

12+(10-3)+26=45(人)

第五讲 列方程式解应用题

一、例题与方法指导

例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么还剩32个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?

苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数

例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？

间接设未知数

设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长， 尾长= x÷2＋3 身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?

解答：假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练

1. 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?

解，等量关系为两种分法的糖总数不变 设开始共有x人，

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5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，

所以这些糖共有12×5+10=70块．

2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄

和是丙、丁年龄和的2倍？

解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。

设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍. 16+12-2x=2×(11+9-2x), 解得x=6.

所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

第六讲 植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。

封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：

1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：

但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：

如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：

2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：

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植树问题的三要素：

总路线长、间距(棵距)长、棵数．

只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个． 植树问题的分类：

⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵? 思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米? 思路导航：

在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=1350÷9=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。

例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？

思路导航： 16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；8×3=12×2=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。

事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

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二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

思路导航：：

要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬的层数只是4-1=3层，所以上一层楼梯需要的时间是48÷（4-1）=16（秒）；又，从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是16×4=64秒。

2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?

思路导航：：

125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟。

3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

思路导航：：

根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-1＝4(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+4×28＝152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) ×28=292(毫米)。

4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟? 思路导航：：

要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有24÷3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，那么，每次5分钟,一共需要用时5×7=35分钟。

三、巩固训练

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1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

思路导航：：

由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：9×2-1=17棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：（17-1）×3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：7×3=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

思路导航：：

4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为12÷（4－1）=4秒；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12－1）=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？

思路导航：：

从第1根电线杆起到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一根电线杆，也就是说间隔为50米；那么，行使的总路程为：50×（37－1）=1800米；2分钟=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火车速度为：1800÷120＝15米／秒。

第七讲 鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。

鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

计算时的主要数量关系是： 1.如果假定全部是兔，则

鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差） 简单理解就是：

鸡的只数=（4 ×总头数－总足数）÷2

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兔的只数=总头数－鸡的只数 2.如果假定全部是鸡，则

兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数） ÷（每一只鸡与兔足数的差） 简单写就是

兔的只数=（总足数－2 ×总头数） ÷2 鸡的只数=总头数－兔的只数

一、例题与方法指导

例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？

思路导航： 鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只脚要少320－200=120（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一只后脚，而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了120只脚，所以兔子应该有120÷2=60（只）。

解法一： 解法二：

2×100=200（只） 4×100=400（只） 320－200=120（只） 400－320=80（只） 120÷2=60（只） 80÷2=40（只） 100－60=40（只） 100－40=60（只）

答：鸡有40只，兔有60只。

例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，这两种纸币各多少张？ 思路导航：

（1）假设200张纸币完全是2元，共值： 2×200=400（元） （2）比实际少：

940－400=540（元） （3）2元换成5元，每张增加： 5－2=3（元） （4）5元纸币有：

540÷3=180（张） （5）2元纸币有：

200－180=20（张）

答：有180张5元、20张2元纸币。

例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？ 思路导航：

假设去掉多的25只鸡，则一共去掉2×25=50（只）脚，那么176－50=126（只）脚是鸡和兔一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有2＋4=6（只）脚，可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔，然后再加上去掉的25只鸡。

2×25=50（只）

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176－50=126（只） 2＋4=6（只）

126÷6=21（对）‥‥‥鸡、兔各21只 21+25=46（只） ‥‥‥鸡的只数 答：鸡有46只，兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？

2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？

3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？

三、拓展提升

1.鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？

2.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少条？

3.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车各多少辆？

第八讲 移多补少平均数

在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”??也就是求平均数问题。

一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别有图书33本，42本，20本，53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？

思路导航：分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以5。 （33+42+20+53+32）÷5=36（本）

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或取较为中间的一个数，如35作为基数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出来。将这些差相加减，多出的为加数，不足的为减数，所得的数除以5，再加上基准数35，得出的就是要求的平均数。 提出总数，份数，平均数

5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式： 平均数=总数÷份数 由此关系式可得出 总数=份数×平均数 份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，讲5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？ 分析1：知道前四次的语文平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总成绩，再用五次的总成绩减去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航： 68×4－70×5=78（分） 前四次平均为68分，要求平均分为70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12块乙拿走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？

思路导航： 因为甲乙两人带的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元）

二、巩固训练

1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？

分析：4个人的平均年龄是18岁，那么四个人一共就有18×4＝72（岁），题目中告诉我们4个人中最小的只有14岁，如果要求年龄最大的那么其余3个人都应是最小的，则72－14×3＝20（岁）

2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？ 分析：从题目我们可以知道 甲＋乙＝42×2=84 乙＋丙＝47×2=94 甲＋丙＝46×2=92

2（甲+乙+丙）=84+94+92=270 甲：135－94=44 乙：135－92=43 丙：135－84＝51

先求出甲乙丙三个数的和，知道另外两个数的和酒可以求出第三个数。

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3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？

分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的总路程和处以时间即可。 解：2×12÷（12÷2＋12÷6）=3（千米）

总结：今天我们学习了如何求平均数，平均数的意义，也知道在解题过程中，可以运用到平均数的意义。希望同学们通过今天的学习可以掌握所学的知识。

三、拓展提升

1.一位小朋友的语文成绩是96分，数学成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门的平均分。

2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。 3.小明和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了铅笔，小明买了12只，小红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？

4.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？

5.有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？

第九讲 归一问题

为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

一、例题与方法指导

例1. 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

思路导航： 为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米） ② 1小时爬几米？1小时=60分。 2×60=120（分米）=12（米） 答：小蜗牛1小时爬行12米。

还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6

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分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。

解：1小时=60分钟

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米） 或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米） 答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2. 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

思路导航： 通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时） 答：磨完剩下的面粉还要7小时。

例3. 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

思路导航： 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。

解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5） =37元

②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元） ③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元） 答：买5个足球，4个篮球共花308元。

例4. 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

思路导航： 我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。

解：①原计划加工这批零件需要的“工时”： 8×18×7.5=1080（工时）

②增加6人后每天工作几小时？ 1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）

③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时） 答：每天要加班工作3.25小时。

二、巩固训练

1.一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水

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三、拓展提升

1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.

如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？

把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式： ｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.

如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解. 解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4 答：于昆这次数学考试成绩是96分.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ③列式时注意运算顺序，正确使用括号.

2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.

解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

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答：正确的答案是57.

3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解. 解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只） ②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只） ③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只） ④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）

答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只. 4. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？

分析 依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2 ＝22（个）

答：篮子里原有梨22个.

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5. 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.

求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.

解：①甲乙两桶油共剩多少千克？ 15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克） ③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：

④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克） ⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克） 答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.

第十一讲 列举法

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解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。

一、例题与方法指导

例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？

思路导航： 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 总共10+10=20（个）

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）

思路导航： 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。

例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？

思路导航：

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（1）数码一共有10个：0、1、2??8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：

2×90=180（个）

（3）还剩下的数码：

1890-9-180=1701（个）

（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。

1701÷3=567（页）

（5）这本书的页数：

9+90+567=666（页）

二、巩固训练

1. 如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 解答：三数之和是9，不考虑顺序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9 答：有3种不同的取法。

2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？

解答：两数之和大于10，不考虑顺序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3 7+6，7+5，7+4 6+5

答：共有9种不同的取法。

3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？

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