2015年新苏教版五年级下册教材分析

苏教版义务教育数学教材五年级下册教材分析

各位老师：

大家好,我们苏教版数学五年级下册的教材进行了修订。受马校长委托，由我来对本册教材进行分析，其中有理解不透彻的地方还请各位老师给予指正。

今天我将从本册教材基本内容、调整和变化、每个单元的教材分析、教学建议这几个方面来进行分析。首先我们来看全册教材的基本内容：

一、全册教材基本内容

本册教材一共安排了8个单元。中间还有2个综合与实践活动《蒜叶的生长》和《球的反弹高度》，一个专题活动《和与积的奇偶性》这是配合因数和合数但单元安排的。

二、主要的调整和变化

本册教材的变化主要体现在以下几方面： (一)重新整合简易方程的教学内容

小学生对方程的认识主要包括方程的含义、解简易方程和列方程解决一些实际问题。通过这部分内容的教学，一方面可以使学生更加透彻地理解实际问题中的数量关系，提高应用数学方法解决实际问题的能力：初步感受方程的思想。与修订前的教材相比，这部分内容的容量有了较大幅度的增加：原五年级下册只要求学生解一步计算的方程，并列一步计算的方程解决相关的实际题：至于两、三步计算的方程及应用则安排在六年级上册。现在，这些内容经过整合，集中安排在本册第一单元。这样的目的：1、是由于一步计算的方程到两、三步计算的方程，尽管形式上复杂一些，但解方程的原理和步骤并无明显区别：2、因为绝大多数五年级学生对一计算的实际问题都比较熟悉，让他们在一个阶段只学习用一步计算的方程解决实际问题，挑战性略嫌不足，也不足以体现方程解决问题的优势。随着六上内容的整合，还安排了一道（2）新增列方程解相遇问题的例题，修订后保留的不多的问题之一，它是生活中比较典型的模型。 （二)重新整合折线统计图的认识和应用。

在修订前的实验教材中，单式折线统计图安排在四年级下册，复式折线统计图安排在五年级下册。教材修订后，把单式折线图与复式折线图整合后集中安排在本册进行教学。这样做的目的，1是为了便于学生从整体上把握用折线统计图描

述数据的方法和特点：2是为了引导学生初步学会基于数据进行简单的推断和预测。

（三）重新整合因数、倍数和公因数、公倍数的认识

在修订前的实验教材中，这部分内容是分两段安排的：四年级下册教学因数和倍数的含义，2、5、3倍数的特征，以及奇数与偶数、质数与合数等内容；五年级下册教学公因数、公倍数的含义以及最大公因数和最小公倍数的求法。本轮教材修订时，把上述两段内容整合后集中安排在本册进行教学。因为大部分教师在教材实验中发现，在四年级下册教学因数和倍数之后，由于在很长一段时间内没有巩固和应用上述知识的机会，所以在教学公因数、公倍数的内容时不得不花较多的时间迸行复习，从而在一定程度上影响了教学的连贯性和实效性。此外，教材修订时，还在教学质数、合数之后安排把一个合数分解质因数的内容。这主要是为了帮助学生进一步拓宽知识视野，加深对质数、合数及其相互关系的理解。如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。整合后容量大，概念多。 （四）删除用“倒推”策略解决问题，提前教学用“转化”的策略解决问题。 在实验教材中，五年级下册安排的解决问题的策略是“倒推”，而“转化”的策略则安排在六年级下册。按照本轮教材修订的整体方案，安排转化的策略原因之一是由于五年级学生已经积累了较多的通过“转化”解决问题的经验，例如，把小数乘除法转化为整数乘除法，把异分母分数相加减转化为同分母分数相加减，把未知面积计算方法的图形转化为面积计算方法己知的图形等等，所以及时安排对“转化”策略的认识和应用，既有利于将他们的感性经验提升为理性思考，也有利于沟通不同数学知识和方法的内在联系，为学生从不同角度理解数学内容提供机会。

（五)删除《找規律》单元内容，设计探索“和与积的奇偶性”规律的专题活动

在修订前的实验教材五年级下册中，安排了一个《找规律》的教学单元，其内容主要是引导学生探索“覆盖现象”中的一些规律。尽管该单元的内容具有较强的趣味性和可操作性，但由于应用规律解决的问题难度编大，加之规律自身的表述相对复杂，所以不少教师反映组织教学时存在一定困难。为此，教材修订时一方面删除了该单元的教学内容，另一方面则结合《因数和倍数》这个单元的教

学，安排了一个探索规律的专题活动——《和与积的奇偶性》。教材侧重引导学生通过举例、观察、猜想、验证、归纳、 反思等活动，探索并发现几个数相加的和或几个数相乘的积的奇偶性规律，帮助他们经历由具体到抽象、由特殊到一般的归纳过程，感受基本数学思想，培养探索学习的兴趣和能力。这样的活动，既有利于学生从新的角度丰富对奇数和偶数的认识，提升数学思考的水平：也有利于他们感受数学规律的多样性和趣味性，感受数学知识之间的广泛联系。 （六）改造《球的反弹高度》，增设综合与实践活动《蒜叶的生长》 本册教材一共安排了两次综合与实践活动。分别是《球的反弹高度》和《蒜叶的生长》。其中，《球的反弹高度》由原实验教材中同名的实践与综合应用改造而成，《蒜叶的生长》则是结合“折线统计图”的认识重新设计。和修订前的教材相比，《球的反弹高度》一方面强化了提出问题、实验探究、获得结论的活动线索，引导学生在问题的引领下积极参与活动过程，主动开展实验探究；另一方面则突出了“回顾与反思”的活动环节，着力引导学生从不同层面和角度总结活动过程中的收获和体会，帮助他们积累活动经验、提升认识水平。《蒜叶的生长》安排了两个活动，一项观察记录，一个对比实验。侧重引导学生围绕蒜叶及其根须的生长情况，经历数据的收集、整理、描述和分析过程，进一步感受数据对于发现和提出问题、分析和解决问题的意义。这样的活动，既体现了数学与其他学科、实际生活的广泛联系，又有助于学生体会用科学方法分析和解决问题的一般过程，不断增强用数学眼光观察和理解日常生活现象的意识，加深对数学学习活动的多样性和数学学习方式丰富性的认识。

此外，修订后的教材还把原实验教材中《认识分数》和《分数的基本性质》这两个单元整合成《分数的意义和性质》，以突出分数知识的连贯性，帮助学生从整体上把握相关学习内容发生、发展的内在逻辑：结合圆的认识，教学扇形的初步认识，以便于学生更加全面地理解圆的特征，并为今后认识和应用扇形统计图提供必要的支持。根据学段各领域内容的具体目标以及本套教材对教学内容的整体规划，把“用数对确定位置”的内容提前至四年级下册进行。

下面我就分单元和大家一起解读教材。 三、各单元内容教材分析

【第一单元简易方程】

本单元在五年级上册用字母表示数的基础上编排，教学方程的知识。包括方

程的概念、解方程的方法以及列方程解决实际问题三大块具体内容。

方程是小学数学代数初步知识的主要内容。数学学习从算术范围跨入代数范围，是一次十分重要的飞跃。算术用数字符号表示数量关系，代数用字母符号表示相等关系，两者有明显的不同。这种不同，一方面能促进学生数学能力的迅速发展，另一方面在初学方程阶段会有一段时间的不适应。全单元编排十道例题，具体安排见下表：

例1等式的含义 例2方程的意义

例3等式的性质（一）

例4用等式的性质（一）解一步计算的方程 例5等式的性质（二）

例6用等式的性质（二）解一步计算的方程 例7列方程解答一步计算的实际问题

例8～例10列方程解答两、三步计算的实际问题

从上表可以看出教材编排的几个特点。第一，在一步计算的方程和列方程解答一步计算的实际问题等内容上，教学安排比较细，编排的例题多，推进的步子小。这是因为学生从习惯了的算术思考转变到代数思考，是很不容易的过程，他们克服思维定势，适应新的思维方式需要一段时间。这期间的教学适当缓慢些，符合学生的现实，有利于他们转变思维习惯。第二，编排两道例题教学等式的两条性质，还编排两道例题教学解一步计算的方程。可见，用等式性质解方程是学生应该掌握的基本方法。当然，用四则计算中的各部分关系，也可以解方程，但不能因它而淡化应用等式性质解方程。第三，把解一步计算的方程和列方程解答一步计算的实际问题分开编排，先教学解方程，再教学列方程解决实际问题。因为对初学方程的学生来说，解方程和列方程是两个知识点，都很重要且都有些困难。分别教学，便于突出重点、分散难点，有利于学生稳步掌握基础知识。第四，把解两、三步计算的方程和列方程解决两、三步计算的实际问题合并着教学。例8～例10表面上是列方程解决实际问题，其实既在教学列方程的相等关系和技巧，也在教学解方程的思路与方法。这样的编排，能较好地体现数学内容与现实生活的密切联系：一方面分析实际问题里的数量关系，抽象成方程，形成了知识与技能的教学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能的教学具有现实意义，能使这个过程成为数学思考、问题解决、情感态度发展的有效载体。再说，学生已经有了解一步计算方程和列方程解决一步计算问题的经验与能力，一并学习解较复杂的方程和解决较复杂的实际问题，困难不会很大。

（一） 从等式到方程，逐步建构新的数学知识

方程是等式里的一类重要对象，教材用属概念加种差的方式，按“等式+含有未知数→方程”的线索教学方程，帮助学生了解方程的特点。

1. 借助天平感受等式的含义。

等式是方程概念的生长点，认识方程需要先理解等式，例1就是为教学等式

而安排的。在前面的数学学习中，学生对等式已经有了较多接触，但还没有明确等式的概念。为了认识方程，需要进一步体会等式的含义，建立等式的概念。

天平两边平衡，表示它两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等。把天平两边平衡的现象抽象成等式，可以借助直观情境体会等式的含义。例1给出了一架天平，左边的盘里放一个50克的物体和一个50克的砝码，右边的盘里放一个100克的砝码，看图能写出一个等式“50+50=100”。这个等式的含义，一方面能从天平两边平衡的现象直观感受，另一方面能通过计算50+50体验。教材没有给等式下定义，只要求明白等式里有一个等号，表示左右两边的数或式子相等，这就有了等式的概念。

例2继续认识等式，教材里的三点安排应该注意。第一，有些天平的两边平衡，有些天平的两边不平衡。根据各个天平的状态，有时写出了等式，有时写出的不是等式。在相等与不相等的比较中，进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，其中两个是含有未知数的等式，另两个是含有未知数的不等式。如果说，面对不含未知数的等式（或不等式），可以通过计算以及比较数的大小体会等号的两边相等（或不相等）。那么，面对含有未知数的等式（或不等式），只能借助天平的直观，体会等号两边相等（或不相等）。感受含有未知数的等式的含义，能进一步加深对等式的认识。第三，由扶到放，帮助学生写出表示天平两边物体质量的大小关系的四个式子。第一个式子根据天平不平衡现象，只要在圆圈里填写大于号，就能得到含有未知数的不等式。第二个式子应先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，再根据天平两边平衡，在圆圈里写出等号，形成含有未知数的等式。第三个和第四个式子，都要先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，再根据天平不平衡或平衡状态，在圆圈里写出小于号或等号，形成含有未知数的不等式或等式，获得等式含义的深一层体会。

2. 教学方程的意义，从形式上认识方程。

“含有未知数”和“等式”是方程的两个显著特征，人们经常以这两点来识别方程。教学方程，要让学生知道方程的形式特点。例1与例2陆续写出了一些等式或不等式，写出了没有未知数的等式和含有未知数的等式，这些都是教学方程的感知材料。教学时，可以先按“是不是等式”把两道例题写出的式子分类；再按“有没有未知数”把写出的等式分类。指着分出的含有未知数的等式那一类，告诉学生“像x+50＝150、2x＝200这样含有未知数的等式是方程”，让他们了解这两个式子的共同特点是“含有未知数”和“等式”。还可以让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200都不能称为方程的原因作出合理的解释，以获得对方程更加深刻的认识。

例2的最后讨论“等式与方程有什么关系”，加强对方程的体验。“白菜”卡通的提问“例1中的等式（指50+50=100）是方程吗？”突出方程应该含有未知数，没有未知数的等式不是方程。教材还利用集合图表达等式与方程的关系，形象地表现出等式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式，而等式不都是方程。

“练一练”第1题，要求先在题目给出的所有式子里找出等式；再在等式里找出方程。这个过程又一次体现了等式与方程之间的关系。这道题里，有以x为未知数的式子，还有以y为未知数的式子，使学生对“未知数”有正确的认识，防止把未知数局限为x，把方程狭隘地理解为“含有x的等式”。第2题给出的三个等式里，未知数分别用三角形、圆形和正方形表示，要求把用图形符号表示的未知数改写成用字母表示。首先应肯定，给出的三个用图形表示未知数的等式都是方程。然后体会用字母表示未知数比较方便。

3. 用方程表示现实情境里的相等关系，深入体会方程的意义。

在例1和例2里，从等式到方程，学生初步认识了方程。这些认识虽然联系了天平的平衡现象，但还是停留在方程的外部特征上，没有过多关注方程的本质意义。练习一第1题根据线段图列方程。线段图半抽象、半直观地表达数量关系，它排除了有关对象的非数学内容，直观显示数量之间的实质性联系。根据线段图列方程，要集中思考线段图里的相等关系，思维的数学化程度比较高。左边一幅线段图表示“x和22合起来是84”，列出的方程是x+22=84。右边一幅线段图表示“3个x是96”，列出的方程是3x=96。教学这道题，应让学生先说说线段图里的数量关系，再列出方程。还要用线段图里的数量关系解释列出的方程的具体含义，感受方程的本质特征——含有未知数的、表达相等关系的等式。

第2题用方程表示现实情境里的数量关系，蕴含了列方程解决实际问题的思想方法，进一步凸显了方程的本质特征。第一个情境是电视机原价x元，优惠112元，现价988元。数量关系是“原价-优惠的元数=现价”，列出的方程是x-112=988。当然，根据数量关系“原价-现价=优惠的元数”列出的x-988=112也是方程。但不要根据数量关系“现价+优惠的元数=原价”列出988+112=x这样的方程。问题不在于988+112=x是不是方程的争论上，而在于像这样求原价仍然是算术的思想方法，不是代数的思想方法。第二个情境里，每杯饮料x毫升，3杯一共480毫升，列出的方程最好是3x=480，不必要求列出480÷x=3这个方程，更不必列出480÷3=x这种方程。因为这个情境最基本的数量关系是“每杯饮料的毫升数×杯数=饮料的总数”，至于“饮料总数÷每杯的毫升数=杯数”和“饮料总数÷杯数=每杯的毫升数”都是基本数量关系根据乘法中各部分关系改写出来的。列方程应该根据最基本的数量关系，一般不应用变化出来的数量关系。类似地，第三个情境里大树高7.3米，小树高x米，大树比小树高6.4米，一般根据“大树高度-小树高度=大树比小树高的米数”列出方程7.3-x=6.4。

（二） 利用等式性质解方程

过去，小学数学主要应用四则计算的各部分关系解方程。如，一个加数=和-另一个加数、被除数=除数×商等。因为学生对这些关系比较熟悉，用来解方程似乎很顺手。其实，这样的方法，只适宜解简单的方程，不适用解较复杂的方程。而且和中学里的解方程很不一致，以后还要改变解方程的思路与方法。教材从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，侧重引导利用等式的性质解方程。这就需要先教学等式的性质，才能用来解方程。这些内容分两段教学：第一段是等式

的两边同时加上或减去相同的数，结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以相同的、不是0的数，结果仍然是等式。在每一段教学等式性质以后，都编排例题及时应用于解方程，引导学生循序渐进地学会解方程的一般思路与方法。

1. 在直观的情境里，按“形象感受→抽象概括”的线索教学等式性质。 教材仍然联系天平的直观情境教学等式的性质。因为在两边平衡的天平上，左右两边物体的质量发生相同的变化，天平两边仍然保持平衡。这种事实如果抽象成数学现象，就是要教学的等式性质。利用天平两边物体的质量有规律地变化，天平保持平衡的事实，能够形象地表示等式的性质，有利于学生理解数学知识。

例3教学等式的一个性质。先呈现一架天平，左边盘里放一个质量50克的方块，右边盘里放一个50克的砝码。根据天平两边平衡，写出等式50=50。例题问学生“怎样在天平两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？”激活他们的已有生活经验和数学知识。具体地说，可以在天平两边各添一个10克的砝码，原来的等式就变成50+10=50+10，仍然是等式。抽象地想，可以在天平两边各添上一个a克的砝码，写出等式50+a=50+a。根据上述的直观体验和形象思考，初步得出结论：等式两边同时加上同一个数，其结果仍然是等式。

例题接着呈现两幅连续的天平图。其中一幅图的天平左右两边都有一个50克的砝码和一个a克的砝码，根据天平两边平衡，应该在50+a○50+a的圆圈里写出“=”，形成一个等式；另一幅图在前面的天平两边，各去掉一个a克的砝码，天平仍然保持两边平衡，这就应该在a+5-（）○a+5-（）的括号里填去掉的a，在圆圈里写“=”。这一组天平图表明等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式。

综合上面发生的两种现象，可以得出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”。教材指出这是等式的性质，学生由此意义接受了等式的一条性质。

“试一试”给出方程x-25=60，要求根据等号左边的变化“x-25+25”写出右边的变化“60○□”，保持左右两边相等。给出方程x+18=48，根据等号左边的变化“x+18-18”写出右边的变化“48○□”，使结果仍然是等式。这些练习，初步应用了等式的性质，加强对等式性质的体验，还渗透了解方程的思想方法。

例5继续教学等式的性质，利用前面学习等式性质的数学活动经验，认识等式的另一条性质。教材仍然根据天平图，在它下面式子的方框里填数，圆圈里填等号，感知等式的变与不变。第一组图，左边的天平表示x=20，右边天平的两边分别添上一个x克的方块和一个20克的砝码。看图填空，体会○左边已经写出的2x，表示原来等式的左边“×2”，○右边应该是20×2，即方框里填“2”，表示右边和左边发生相同的变化。在○里填“=”，表示“结果仍然是等式”。这组天平图直观显示了“等式两边乘同一个数，结果仍然是等式”。类似地，第二组图左边的天平，一端的盘里有3个质量都是x克的方块，另一端盘里3个20克的砝码，表示天平两边平衡的等式是3x=60。右边的天平，一端隐去2个方块，

另一端隐去2个砝码。○左边写出的“÷3”，表示原来等式的左边“除以3”，学生就会在○的右边方框里也填“3”，表示右边的式子也“÷3”，而且画等号表示左右两个式子相等。这组天平图直观显示了“等式两边除以同一个数，结果仍然是等式”。综合两组天平图里的数学内容，初步得出等式的另一条性质。不过，等式的两边同时乘0，等式会变成0=0，而人们通常不让等式的两边都乘0；由于除法的除数不能是0，所以等式的两边不能同时除以0。学生一般不会独立想到这些，教材提醒他们“等式两边可以同时除以0吗？”在初步得出的等式性质里明确（等式两边）同时乘或除以同一个“不等于0的数”。使等式性质的表述更加严密。

“试一试”给出方程x÷6=18，要求根据等号左边的变化“x÷6×6”写出右边的变化“18○□”，保持左右两边相等。给出方程0.7x=3.5，根据等号左边的变化“0.7x÷0.7”写出右边的变化“3.5○□”，使结果仍然是等式。一边应用等式的性质，一边继续体验等式性质。

2. 应用等式性质解方程。 例4和例6都是教学解方程。教材把解方程置于现实的情境之中，体现它是解决实际问题的方法，有现实意义。

例4根据天平图列出方程x+10＝50，很容易看出x是40。学生虽然能说出未知数的值，但却是应用已有的算术方法，并不清楚解方程的方法。教材示范了方程x+10＝50的两边同时减去10，得出x=40的过程。这是应用等式性质的解方程，关键在于通过方程两边同时减去10，使等号左边只剩下x。可见，小学数学解方程的思想方法是应用等式性质，使方程含有未知数的一边只剩下x，从而得出方程的解的过程。如果利用加法中各部分的关系“和减一个加数等于另一个加数”，也能求出这个方程x的值。但不是教材教学的解方程。

用等式性质解方程，关键是方程等号的两边都加（减）几、乘（除以）几，教材对此有精心的设计。例4第一次教学解方程，在天平图上得到求x值的启示：只要在天平的左右两边各去掉10克的砝码。这种想法表现在方程上，是应用等式性质与方程的特点，在等号的两边都减去10，使等号的左边只剩下x。这样，未知数的值只要通过等号右边的计算就能得到。例6是第二次教学解方程，编写上有三个特点：第一，在现实的情境里先列出方程，再解方程。教材用图画表示一块长方形试验田的面积是960平方米，这块地的长40米，宽x米。根据长方形的面积公式，很容易列出方程40x＝960。这就体现了方程能解决实际问题，蕴含了列方程解决实际问题的思想。第二，学生用自己想到的方法求长方形地的宽是多少米。这是因为他们对已知长方形的面积与长，求宽的问题比较熟悉，一般都会选择“面积÷长=宽”来解决这个问题。让他们先用自己的方法解题，有利于集中心向继续学习用等式性质解方程。第三，“扶”着学生经历解方程的过程。写出了解方程的关键一步40x÷40=960÷40，让他们解释“方程两边为什么都要除以40”，以体会解方程的方法和要领。

另外，例4和例6的编写还注意了三点：一是关于解方程的书写格式，强调

等式变换时，各个等式的等号要上下对齐，教学应该严格遵循。二是求得x的值以后，通过“是不是正确答案”的质疑，引导学生根据“左右两边是不是相等”进行检验。教材里解方程的数据都不大，运算不复杂，经常可以用口算检验方程的解。三是回顾求x值的过程，指出什么是方程的解、什么是解方程，这是以后经常要使用的概念，也是学生可能混淆的概念。

3. 逐渐掌握解方程的方法并形成相应的技能。

学生在两道例题里只是初步学会解方程，如何帮助他们掌握解方程的方法，形成相应的技能，是教材认真思考的问题。用好教材里的两段安排，能培养这方面的能力。一段安排是两道例题后面的“练一练”。为了使方程x-30=80的左边只剩下未知数x，左边需要加30，右边应该同时加30。即x-30+30=80+30。为了使方程x÷0.2=0.8的左边只剩下未知数x，左边需要乘0.2，右边应该同时乘0.2。即x÷0.2×0.2=0.8×0.2。这是刚教学解方程时的练习设计，只有抓住解方程的关键步骤，呈现应用等式性质、求得未知数值的具体过程，才能体会解方程的策略和思路。另一个安排是练习一第8题起，在初步学会解方程的基础上，把关键步骤想在头脑里，直接写出求未知数值的那一步。帮助学生适当简化解方程的书写过程，压缩思路。如，解方程x-20＝30，在方程的两边都加上20，一边想x-20+20＝30+20，同时写出x＝30+20；解方程0.6x=4.2，把0.6x÷0.6＝4.2÷0.6想在头脑里，直接写出x＝4.2÷0.6。这样书写，能使解方程的思考更加流畅，也与中学里解方程的“移项”等方法相接轨，有利于提升解方程的能力。

（三） 精心设计练习题，加强对简单方程的理解 练习一配合例1~例6的教学，编排了相当丰富的练习内容，帮助学生逐步丰富对简单方程的认识，掌握有关的知识，形成初步的技能。

前面曾经讲到，练习一里的第1、2两题通过看图列方程，体验现实情境里的比较简单的相等关系，并依据相等关系列出方程，理解方程的意义。第4、6、8三题通过解方程的练习，逐渐掌握解方程的思路与方法，形成初步的解方程技能。除了这些，教材里还有以下的内容安排。

1. 在直观情境中加强对等式性质的体验。 例3和例5借助天平平衡现象，教学了两条等式性质。配合例4的“练一练”第2题仍然利用天平图给出：两个梨的质量和1个梨加3个桃的质量相等，问1个梨和几个桃同样重；1个苹果加3个橘子的质量和5个橘子的质量相等，问几个橘子和1个苹果同样重。在直观情境里很容易想到，天平两边各去掉1个梨，就能得出1个梨和3个桃同样重；天平两边各去掉3个橘子，就能得出1个苹果和2个橘子同样重。这就联系现实情境体会了“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”。

练习一第13题，吴伟兵买1本练习本和3支铅笔，张欣买8支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。如果两人各少买3支铅笔，就能得到1本练习本的价钱等于5支铅笔的价钱。这里也应用了等式性质“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”。

教材多次安排实例，让学生反复体验等式性质，充分感受等式性质的客观性和合理性。学生对等式性质的理解会逐步深入，应用等式性质解方程就越来越自如。

2. 通过检验，体验方程的解。 理解“方程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要会检验方程的解。前者是概念，后者是方法，应该在理解概念的基础上运用方法。

教材指出“使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解”。由此可知，检验未知数的值是不是方程的解，应该把它代入方程，看它能不能使方程左右两边相等。例4和例6就是这样检验的。

练习一第3题，在一个方程的后面给出两个未知数的值，如x+22=78（x=100，x=56），要求确认哪一个未知数的值是方程的解。只要把两个未知数的值分别代入方程，看看哪一个能使方程左右两边相等。这个过程有助于体验方程的解的含义，掌握检验方程解的方法。第9题把给定的未知数的值代入方程，看看方程左边是等于右边还是小于或大于右边。如，当x=88时，x+14＞74；当x=4时，17x=68；当x=0.1时，x÷5＜0.2。未知数的值如果能使方程左右两边相等，它就是方程的解；如果不能使方程左右两边相等，就不是方程的解。这道题也在加强对方程解的认识。

3. 看图列方程并解方程，为后面列方程解决实际问题作铺垫。

学习方程，应该应用它解决实际问题。找到实际问题里的相等关系，列出方程是十分重要的环节，也是学生感到困难的环节。教材意识到学生的年龄特点与学习困难，在练习一里提前作些铺垫性安排。如，第5、7、10、12等题，让学生找到图画情境里的相等关系列出方程，并解答。又如第11题，要求找到表格里的相等关系列方程和解方程。这些练习有两个特点：一是题目已经给定了要求的数量为x，列方程不需要再设定未知数和写出设句。二是寻找相等关系的难度不大，通常把平面图形的面积公式或周长公式、单价×数量=总价、1倍数×倍数=几倍数等作为列方程的依据。获得用这些相等关系列方程的思想方法，对以后的教学很有作用。

（四） 列方程解决稍难的一步计算实际问题

例7解决的一步计算问题在第一学段没有出现过，有时我们把它称之为“逆叙述”的问题。已知今年体重36千克，求去年体重多少千克，如果列算式计算，要把“今年比去年增加2.5千克”理解成“去年比今年少2.5千克”。由于低年级学生进行逆向推理比较困难，因此那时不安排这种问题的教学。第二学段列方程解答这种问题，利用题中最基本的数量关系，避免了逆向思维，降低了思考的难度。类似的一步计算问题还有像例7的“练一练”，已知一个数的几倍是多少，求这个数的问题。

列方程解决实际问题的关键是找到问题里的相等关系。尽管相等关系也是数量关系，但列方程的数量关系与列算式的数量关系是明显不同的。列算式的数量关系，把已知数量和未知数量分开，已知条件作为一方，要求的问题作为另一方，

通过已知数量的运算得到未知数量。而列方程的数量关系，“平等”看待已知数量和未知数量，把两者融合起来，共同参与运算，人们一般称之为相等关系（也称等量关系）。寻找相等关系是列方程解决实际问题的教学重点，如果找不到相等关系，就列不出方程。寻找相等关系还是教学难点，习惯了的列算式思维会干扰对相等关系的思考。为此，教材里有三点安排。

1. 教学方程意义的时候，用方程表示简单现象里的相等关系。

练习一第1、2两题，采用学生熟悉的线段图、带括线的图画、图文结合的叙述等形式呈现简单现象，要求用方程表示其中的数量关系，让学生初步感受什么是方程、怎样列方程，尤其对依据什么列方程、列出的方程表示什么意思，获得初步的感受。

指导学生寻找相等关系和列方程要注意两点：一点是联系生活经验和常识，按照事情发生与发展的线索，理顺数量关系。如，联系商品降价出售的经验，得出“原来的价钱-优惠的钱数＝现在的价钱”；从大树比小树高的事实，得出“大树的高度-小树的高度＝大树比小树高的米数”??有了这些数量关系，列方程就方便了。另一点是不要过分鼓励对数量关系的发散性思考，也不要过分提倡列出的方程多样化，而要把握住简单事件里最基本的相等关系，这对以后的教学十分重要。

2. 教学解方程的时候，渗透列方程解决问题的思想。

例4求天平左边正方体的质量，例6求长方形试验田的宽，都是先列出方程再求解。这两道例题的教学重点是应用等式性质解方程，但以解决实际问题为载体有两点好处：一是体现了列方程是解决实际问题的一种方法；二是体现了列方程要依据实际问题里的相等关系。例4的相等关系是天平两边物体的质量相等，学生已相当熟悉。例6依据长方形的面积公式列方程，是对相等关系的又一次引导。在练习一里还有“看图列方程并解答”的习题。教学这些内容，既不要冲淡解方程这个重点，也要让学生获得上面所说的两点体会，为正式教学列方程解决实际问题多作些铺垫。

3. 例7及其“练一练”主要解决逆叙述的相差关系和倍数关系的问题。 例7有一个关于“相差多少”的已知条件，“练一练”有一个“是几倍”的已知条件，只要抓住这些数量分析相差数或倍数的具体含义，就能找到实际问题里的相等关系。

首次教学列方程解决实际问题，例7里依次安排三个重要内容：一是怎样寻找数量之间的相等关系；二是这个问题为什么列方程解答；三是列方程解答实际问题的步骤与书写格式。这三个内容中，第一个最重要，另两个内容都能在第一个内容里得到启示。

这道例题的相等关系“小红去年的体重+2.5＝今年的体重”，是从“今年比去年增加了2.5千克”得出的。分析这个已知条件，会想到小红今年的体重、去年的体重、2.5千克是三个有关系的数量；接着会想到今年的体重重些、去年的体重轻些，2.5千克是两年体重的相差数；然后把上面的想法用数学式子表示成

相等关系式，列方程便有了依据。只要带领学生经历这些思考，他们能够像“萝卜”卡通那样说出相等关系，从列算式的思维转变为列方程的思维。

教材指出，可以根据“去年的体重+2.5=今年的体重”列出方程。为什么列方程解题？必须让学生明白这个问题。在相等关系式上，有两个数量已知、一个数量未知，两个已知数量不在等号的同一边，而是一个已知数量与未知数量在等号的一边，另一个已知数量在等号另一边。

去年的体重/？千克+2.5=今年的体重/36千克

遇到这种情况，如果把未知的数量设为x千克，很容易列出方程；通过解方程，就能求出未知的数量。这就是为什么列方程解题的原因。明白这一点，就体会了列方程是解决问题的一种有效方法。解题活动就会在寻找相等关系的基础上，很自然地按照“写设句——列方程——解方程”的顺序进行，列方程解决实际问题的步骤由此得出。

例题还根据“今年的体重-去年的体重＝2.5”，列方程解题。这是出于两点考虑：首先是学生分析相差关系，不会都得出像“萝卜”卡通那样的相等关系式。他们从今年的体重重些、去年的体重轻些、两年体重相差2.5千克，完全有可能想到“番茄”卡通的相等关系式，况且不同的相等关系对列方程，并没有明显的好与坏、优与劣的区别，都可以用于解题。其次是用等式性质解方程36-x＝2.5，会遇到一个小矛盾：未知数在方程里是减数，等号两边同时加上x，左边的x被消去，而右边却有了x。这时可以把方程的左边与右边相交换，使未知数回到等号的左边，继续解方程。教材为处理这个小矛盾，作了示范。

需要强调的是，例题先后采用两个数量关系，列出两个方程，用两种解法解答了实际问题。这并不是“一题多解”，并不要求学生用两种方法解题。而是提醒教师，根据“今年比去年增加2.5千克”寻找实际问题的相等关系，学生中很可能出现不同的表达，从而列出不同的方程。要允许学生按自己对“今年比去年增加2.5千克”的理解，用自己想到的相等关系列出方程来解决问题。

“练一练”已知一个数的几倍是多少，求这个数。一般从“蓝鲸的体重是非洲象的33倍”这个条件，得出数量关系式：非洲象的体重×33＝蓝鲸的体重，并以此为相等关系列方程求非洲象的体重。这是已知两个乘数的积与一个乘数，求另一个乘数经常使用的方法。教材希望学生独立解决这个实际问题，经历“分析已知的倍数关系→得出相等关系→感受需要列方程解答→按列方程的步骤解题”的过程。教学应利用交流与评价的机会，突出怎样找到相等关系、为什么列方程解答等思考的重点，帮助学生逐步形成有关列方程解决问题的思想与方法。

4. 检验答案是否正确，反思解决问题的过程与方法，是教学列方程解决实际问题不可忽视的环节。

列方程解决实际问题的两个要点分别是列出方程和解方程，检验答案应该在这两个环节上进行。首先要检查列方程的相等关系是否符合实际问题的题意，然后检查未知数的值是否符合方程。然而，人们往往直接检验答案是否符合实际问题的数量关系，这种做法是很好的。就例4来说，求得去年体重33.5千克以后，

只要检验今年体重是不是比去年增加2.5千克。如果今年体重确实比去年增加2.5千克，则解题正确；如果今年体重不是比去年增加2.5千克，则答案错误。就“练一练”来说，求得非洲象大约重5吨，只要检验蓝鲸的体重是不是非洲象的33倍，或是通过5×33检验，或者通过165÷5检验。

反思解决问题的过程与方法，是为了积累列方程解决问题的经验。应围绕列方程解决实际问题的主要步骤有哪些，以及怎样寻找实际问题中的相等关系、怎样按相等关系列出方程、怎样检验解题结果等要点，组织学生体会数学活动，内化解题要领，掌握解题步骤。

（五） 解稍复杂方程的策略——转化成简单的方程

例8、例9和例10都是解答两、三步计算的实际问题，列出的方程稍复杂些。这三道例题都同时教学两个知识，一个是怎样解稍复杂的方程，还有一个是如何列稍复杂的方程。把两个知识结合着教学，能体现数学内容（方程）和现实生活（实际问题）的联系，一方面分析实际问题里的数量关系，抽象出方程，形成知识与技能的教学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能的教学具有现实意义，成为数学思考、问题解决、情感态度有效发展的载体。把两个知识结合着教学也有其可行性，因为学生已经具有列方程解答一步计算问题的能力，以此为基础，有条件探索并掌握解决较复杂问题的方法，列出稍复杂的方程并求解。

三道例题涉及的方程分别形如ax±b＝c、ax±bx＝c、ax±b×c＝d。解这些方程都要通过计算或者利用等式性质，把原方程化归成简单方程而求出未知数的值。像这样化复杂为简单、变新知为旧知是人们解决问题的常用策略，也是探索与创新不可缺少的思想方法。引导学生通过转化解稍复杂的方程，能充分体验转化思想，发展解决问题的策略。

1. 从各个方程的特点出发，使用不同的化简方法。

解ax±b＝c这样的方程，一般根据“等式两边同时加上或减去相同的数，结果仍然是等式”这条性质化简原来的方程。例8在列出方程2x-22＝64以后，写出了解这个方程的第一步：2x-22+22＝64+22，使原方程化简成2x=86。这是学生能够看懂的。教学应让他们说说这一步在做什么以及为什么这样做，体会利用等式性质化简方程的意图。过去教材强调把ax看成“一个数”，目的是把ax作为被减数，应用加、减法中各部分的关系解方程。而新课程应用等式性质解方程，突出的是化繁为简的思想与方法。

解ax±bx＝c这样的方程，一般应用运算律和相应的计算化简方程。例9中方程的左边是x+3x可以改写成（1+3）x，方程x+3x=290可以化简成4x=290。这种改写在五年级上册用字母表示数时已经教学，现在只要计算1+3就能实现化简原来方程的目的。教学时还是应让学生说说这样改写的依据是什么、目的是什么。

解ax±b×c＝d这样的方程，一般按运算顺序先算出b×c的积，原来的方程就变成像例8里的方程，也就实现了化新为旧。例10列出的方程3x+95×3=540，

算出95×3的积，原方程就化简成3x+285=540。

通过上面的分析，应该看到解稍复杂的方程是很重要的知识与技能。如果不能正确地解稍复杂方程，就不能解答较复杂的实际问题。而解稍复杂的方程，如果能抓住化繁为简的转化思想，学生就能主动调整自己的认知结构，迅速形成解方程的能力。

2. 各道例题采用不同的教学思路，鼓励学生继续解转化后的方程。

例8让学生接着解2x＝86，求出x的值。这是因为他们具有解这种方程的能力。教材这样安排，目的是把转化思想与方法放在突出的位置上，促进新旧知识的衔接，有效地使用教学资源。检验方程的解已经在前面教过，例8要求学生检验，不仅是培养良好的习惯，还要通过“结果是正确的”，确认解稍复杂方程的“策略与方法是正确的”。 例9把原来的方程x+3x=290化简成4x＝290以后，安排学生先算出x的值，再算出3x表示的值。这是因为72.5米和217.5米是实际问题的两个答案。以前列方程解决的实际问题，一般只有一个答案，现在遇到有两个答案的情况，需要完整呈现解题过程，在解题步骤和书写格式上作出必要的规范。另外，这道例题在检验上也有拓展。列方程解决实际问题，不只是检验解方程是否正确，还要检验列出的方程是不是符合现实的数量关系。由于答案是通过解方程得到的，而方程是依据实际问题的数量关系列出的，所以人们通常把答案直接放到实际问题的数量关系里检验。这道例题给出的数量关系有两个，分别是颐和园占地（即陆地和水面一共占地）290公顷、水面面积是陆地面积的3倍。解题得到的水面面积和陆地面积符合这两个数量关系，才是正确的。教材就这样的检验，给出引导，要求在检验结果正确以后，再填写答句。

例10把列出的方程3x+95×3=540改写成3x+285＝540，这就把原方程化归成了例8教学的方程，把继续解方程和检验方程的解留给学生完成是很自然的安排。如果根据“速度和×时间＝总路程”，列出（x+95）×3＝540，则又是一种未见过的方程。可以让学生尝试着解这个方程，应用等式性质，等号两边同时除以3，先算出x+95＝180，再得出未知数的值。这样做，仍然应突出化简方程的思想方法。

3. 适量安排解方程的练习。

前面说过，例8～例10都有列方程和解方程两个教学内容，列出的方程必须正确求解，才可能得到正确的答案。因此，教材把解稍复杂的方程作为一个重要知识，安排必要的练习。练习二从第5题起配合例8的教学，第5题和第9题都是解方程，其中有像ax±b＝c的方程，与例题的方程是一样的。还有像x±a±b＝c和ax÷2=b的方程，用于解决加减两步计算的实际问题（如第11题）以及已知三角形的面积求高或底的问题（如第10题）。解这些方程，只要利用等式性质都能逐步化简，直到求出方程的解。练习三第1、4、8题都是解方程的习题，编排的方程与例9、例10的方程差不多。学生解ax±bx＝c、ax±b×c＝d这些方程应该比较顺手。

（六） 列方程解决较复杂实际问题的关键——找到相等关系

某个实际问题为什么选择列方程解答，或者为什么选择列算式解答，经常是由数量关系的特点所决定的。列算式解决实际问题，分析数量关系通常把已知条件作为一个方面，所求问题作为另一方面，着重沟通未知数量与已知数量的关系，利用已知数量组成的算式，解决所求问题。列方程的相等关系，把已知数量与未知数量“平等”联系起来，共同组成反映实际问题数量关系的等式。学生在列方程解答一步计算的问题时，已经初步有了这方面的体会，还要通过列方程解答两、三步计算的实际问题，进一步加强对相等关系的认识，提高寻找并利用相等关系的能力。

1. 灵活开展寻找相等关系的思维活动。 较复杂的问题之所以复杂，在于它的数量关系复杂。例8里大雁塔的高度“比小雁塔高度的2倍少22米”，其中既有倍数关系，又有相差关系，是两种关系的有序复合。例9里给出两个并列的条件：颐和园水面面积与陆地面积一共290公顷、水面面积大约是陆地面积的3倍，从“和”与“倍”两个角度分别揭示水面面积和陆地面积的关系。例10是四年级教学的相遇问题的逆向变式，涉及的数量比较多，包括客车行驶的速度与时间、货车行驶的速度与时间、两车行驶的总路程等。因此，寻找复杂问题的相等关系，要仔细梳理数量关系，分清事件发生与发展过程的主次和先后。

寻找相等关系没有固定的思维模式，三、四年级教学的解决问题策略，仍然是探索相等关系的可用资源。可以选择适宜的形式整理实际问题里的数学信息，正确理解题意。可以利用从条件向问题或者从问题向条件推理的经验，分析数量之间的关系。教材从实际问题的结构特点和学生的思维发展水平出发，灵活设计寻找相等关系的教学活动。

学生已经能够解决类似红花有10朵，求比红花朵数的2倍少4朵是多少朵的问题，对“几倍少几”这样的数量关系已有初步的理解。因此，例8要求学生找出“大雁塔与小雁塔高度之间有什么相等关系”，可以利用已有的倍数概念和相差概念，通过推理把“比小雁塔高度的2倍少22米”改写成数学式子“小雁塔高度×2-22”，从而得到相等关系“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”。为了突出相等关系，教材在它上面加了色块，让教学注意相等关系是怎样找到、怎样表达的，加强得出相等关系的过程。学生中有可能出现“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”这样的相等关系，也能列方程解题。事实上，人们大多喜欢依据“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”列方程解决问题。教学可以让学生知道应用“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”也能列出方程，但不必在相等关系的举一反三上花费力气。应提倡根据相等关系“小雁塔高度×2-22=大雁塔高度”，确定列方程解决问题。

例9列方程求颐和园的陆地面积与水面面积，设哪一个数量为x，另一个数量怎样表示，涉及如何合理利用两个并列的已知条件。为此，教材选择了线段图。通常先画表示一倍数（陆地面积）的线段，再画表示三倍数（水面面积）的线段，

显然设陆地面积为x公顷，把水面面积表示为3x公顷是很自然的。再根据陆地面积与水面面积相加的和是颐和园的总面积，就能找到解决这个问题的相等关系。

例10是相遇问题。四年级初步教学相遇问题时，曾经把画示意图作为解决问题的一种策略。学生已经能画线段图表示相遇问题的题意，也能理解相遇问题里的数量关系，会用一方行的路程加另一方行的路程求得双方行的总路程，或者用双方的速度和乘同时运动的时间求得两方行的总路程。教材充分利用这些教学资源，仍然让学生画线段图表示题意，既感受现在求一方速度的问题与原来求双方路程和问题的不同，又体现现在问题与原来问题在运动方式和数量关系上的相同点。从而利用求“路程和”的方法作为解决现在问题的相等关系。

2. 加强写出含有字母式子的练习，进一步把握数量关系，为列方程打基础。 含有字母的式子是方程的重要组成部分，根据相等关系列方程，需要写出含有字母的式子。学生是不是具有用字母表示数的意识，能不能写出含有字母的式子表示相关的数量，对列方程解决实际问题是至关重要的。因此，教材加强这样的练习。

练习二第6题写出表示梨树棵数的式子3x+15，表示鳊鱼尾数的式子4x-80，都是解答有关“几倍多几”或“几倍少几”等数量关系的实际问题所需要的基本技能。安排这样的练习，能进一步理解这些数量关系，养成顺着“梨树比桃树的3倍多15棵”“鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾”这些数量关系的表述进行思考，并转化成数学式子的习惯，从而选择最适宜的相等关系解决实际问题。所以说，这道习题既是单项练习，也是思路引导。

例9后面的“练一练”第1题是配合例题的专项练习，要求根据黄花x朵和红花朵数是黄花的3倍，先想到红花有3x朵，然后用式子x+3x（或4x）表示黄花和红花一共的朵数，用式子3x-x（或2x）表示红花比黄花多的朵数，发展按数量关系联想的能力。联想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和倍”或“差倍”问题的核心部分。

教材没有编排配合例10的单项练习，因为相遇问题的相等关系是两个积相加，与例9“和倍”问题有些相似。教学如有需要，也可以适量进行此类的练习。如，一辆汽车每小时行驶90千米，一辆摩托车每小时行驶x千米。两车分别从两地同时出发，相对而行，经过4小时相遇。相遇时两车一共行驶多少千米？汽车比摩托车多行多少千米？

3. 列方程解答有些变化的问题，拓展对相等关系的认识。

教材编排三道例题教学列方程解答两、三步计算的实际问题，学生不仅要能解答像例题那样的问题，还要能解答有些变化的问题，以达到小学阶段列方程解决实际问题的总体要求。如练习二第10、11、14题，练习三第6、7、11、12题等。既然这些习题编排在练习里，就要尽量让学生独立解答。当然给他们必要的帮助也是应该的。对学生的帮助一般在两方面进行：一方面是帮助寻找相等关系。如练习二第11题，可以鼓励学生整理条件与问题，得出邮票枚数变化的线索“原

来的枚数+又收集的24枚-送掉的30枚=剩下52枚”。练习二第14题可以通过列表或者画图，弄懂这张发票上购买了两种物品，一共用去25.10元：一种是文件夹，单价3.50元，数量1个；另一种是墨水，单价不知道，数量12瓶。上述的这些整理，有助于找到实际问题里的相等关系，有利于顺利列出方程。教材希望这些实际问题能够打开学生的思路：如果已知两个数量的和或差是多少，这里的和或差往往就是解题可以利用的相等关系。练习三第15题，学校舞蹈队为女同学购买上衣和裙子的问题，数量关系是（上衣价钱+裙子价钱）×购买套数=一共用的钱。已知一共用去1520元，求上衣价钱，或者求裙子价钱、购买套数，都可以根据这个相等关系列出方程。另一方面是进一步体会什么时候列方程、什么时候列算式解决问题。如练习二第10题，根据三角形的面积公式，如果已知三角形的底和高，可以列算式求面积；如果已知三角形的面积和底（或高）时，可以列方程求高（或底）。第16题给出了华氏温度与摄氏温度的换算公式，把已知的摄氏温度换算成华氏温度，只要列算式计算；把已知的华氏温度换算成摄氏温度，列方程解答比较方便。学生一旦获得这些体会，就不会把列算式与列方程绝然对立，而是把两种解题形式有机联系、灵活使用，形成解决问题的能力。

值得一提的还有单元《整理与练习》里的“探索与实践”，设计了在画图操作、探索规律、猜数游戏等活动中应用本单元教学的方程知识。第13题把给定的一条线段分成两段，使其中一段的长度是另一段的4倍。这是一个“和倍”问题，给定线段的长度是已知的“和”，可以测量得到。解决这个分割线段的问题，应该先列方程求出分成的两段各长多少厘米，然后画图。第14题连续的三个自然数中，每相邻两个数相差1，如果中间的数是x，那么它前面的数是x-1，后面的数是x+1；这三个数的和就是（x-1）+x+（x+1），化简得到3x。如果三个连续自然数的和是99，很容易先求得中间那个数是33，再求得相邻的两个数分别是32和34。写出字母表示的三个相邻自然数，要进行比较深入的数学思考，分析能力和概括能力都能得到很好的锻炼。 谈几点教学中要注意的几个问题。

三、几个注意点。

1、为什么要学习方程？

方程就是一种数学模型，是刻画现实世界中数量相等关系的数学模型。可以帮助人们更准确清晰地认识、描述和把握现实世界 2、如何处理形如a-x=b,a÷x=b这样的方程？

教材的目的是坚持用等式的性质来解。如例7，教材给出了根以往不同的方程。根据“今年的体重-去年的体重=25”可以列成方程 36-x=2.5，可以运用减法的性质来做，但还是可以利用等式的性质来解决，这样做既有利于中小学学习方程的衔接，也可以体会“同解变形”这一解方程的核心思想。但对于第6页7，如果列成36÷x=4，这一方程本质是分式方程，我们教材中是完全回避这个问题，不需要学生解决此类问题，遇到则要引导学生列出4x=36，在考核时也尽量避免。但不能列出20-12=x、16.8÷4=x这样的方程。因为后者仍然是过去列算式的思路，不利于学生体会数量间的相等关系，对以后的教学也是有弊无利的。 3、要不要把等量关系式写下来。

数量关系是学生思维成果的外显形式，往往不是唯一的，在解决问题的过程中要找到相对合理的，较重要的等量关系，如例7-10，教材安排每一题都是先引导学生根据题目中的条件和问题，找出等量关系，然后根据数量关系列方程解决实际问题。教材十分重视，教学中要多说，如果有时间，让学生练习时写下来也是可以的。

4、要引导学生通过列表，画图等手段辅助思考。 如例10，列方程解稍复杂相遇问题的例题。“相遇问题”是小学数学中延续很久的统内容之一。这一方面是因为它是很多日常生活问题较为典型的数学模型。教学中要求先根据题意把线段图填写完整，在找出题中的等量关系。这一问题一定要通过画图的手段帮助理解题意。

5、检验方法既要便于操作，又要合乎逻辑。

例7、8、10要求学生把方程的解代入原方程，检验求出的答案是否符合实际问题中的已知条件；例9主要引导学生用不同的检验的方法进行检验，其检验方法大致有两种：一是把求出的答案代入原方程进行检验；二是根据求出的答案，先检验水面面积加上陆地面积是否等于颐和园的占地面积，再检验水面面积是否等于陆地面积的3倍。教学时可以提出“这道题怎样检验？”的问题，引导学生通过讨论提出不同的检验方法，并对不同检验方法进行比较，体会每一种检验方法的不同思路。其实这些也是我们检验一般应用题的方法。

【第二单元：折线统计图】

一、教学内容：

例1、教学单式折线统计图。 例2、教学复试折线统计图。 练习四。

二、教材分析和教学建议

单式折线统计图能清楚地反映事物的数量和变化情况。复式折线统计图便于将两个事物的数量和变化情况进行比较。通过学习这部分知识，不仅要使学生掌握一些知识和技能，而更多地在于学会根据问题背景和数据特点选择合适的呈现方式，以及通过不同角度的数据分析获得更多有意义的结论，从而加深对统计活动过程的理解，逐步增强数据分析观念。

1．要让学生感受单式统计图与复式条形统计图在描述数据方面的特点。 例1，教材先用统计表和折线统计图同时呈现一个小学生从6岁到12岁身高情况统计表和统计图。说一说从图中了解哪些信息。引导学生主动观察给出的统计图，初步了解折线统计图的基本结构和表示数据的基本方法。接下来，用三组连续的问题引领学生更加充分地理解折线统计图所蕴含的各种信息、更加全面地

了解折线统计图表示数据的方法和特点。其中，第一组问题侧重引导学生弄清统计图的纵轴和横轴上标注的数量的含义，明确图中各点所表示的数据信息，尝试通过观察折线的整体状态和走势描述相关数量的增减变化情况。为了更好地表示统计表中的数据，纵轴上省略了0——110区间内的刻度，这也是制作折线统计图时常用的方法之一。让学生对此有所认识，便于提高实际读图的能力。第二组问题侧重引导学生更加细致地观察折线中每一部分的状态和走势，并把状态和走势与数量的增减变化更加紧密地联系起来。也就是线段越陡身高增长越快。第三组问题“侧重引导学生基于图中的信息进行一些简单的判断和预测，有利于他们进一步丰富分析数据的经验。提高利用数据发现和提出问题的能力。最后，教材还引导学生把折线统计图与相应的统计表进行比较，在比较中进一步突出折线统计图能够清楚地表示数量增减变化情况这一基本特点。

教学例题时，重点要放在引导学生读懂折线统计图、体会折线统计图的特点上。比较折线统计图与统计表时，不仅要让学生得出折线统计图能更清楚地看出气温的变化情况这一结论，还要让学生反思是如何从折线统计图上看出气温的变化情况的，以加深对折统计图的认识。

例2，教学复式折线统计图时，先给出两种保温杯中水温变化的数据，引导学生根据表中的数据描点、连线接着完成整体的复式折线统计图；在完成统计图中认识图例，以及横轴纵轴表示的意义。再通过三个不同角度的问题引导学生逐步认识复式折线统计图，并体会其特点。其第一个问题，进一步让学生明白图中两条不同的折线分别表示的是哪一组数据，认识图例，找到对应的点。并认识到这个方法是复式折线统计图表示数据的基本方法之一。相差的温度只要看同一纵轴上两个点的距离。

第二个问题主要是引导学生找到表示数据的点，这些点不在表格中横轴和纵轴的交点上，要自己来画一画，点一点。从而引导学生进一步理清统计图的纵轴和横轴上标注的数量的含义。要指导学生认真、细致地观察统计图，知道要回答这个问题，不必进行计算，只要看图中表示温度点的位置来确定。在交流中明确复式折线统计图的特点和优势。第三个问题引导学生根据统计图作出判断和推测。从中寻找其他的信息，鼓励学生进行更广泛的交流。 2．恰当控制教学要求，避免不必要的制图练习。

学生学习统计主要是为了学会用统计的方法去分析和解决问题，培养初步的统计观念。因此，不宜让相对繁琐的制表、绘图的操作干扰学习重点。教材侧重于让学生根据图中信息进行分析；练习四第4题要指导学生根据图上每一点的位置来判断哪个月最多，哪个月最少？认识到增长最快，下降最快的那一段折线陡一些。并联系实际谈谈原因。第5 题的图上没有标出折线上有关各点所表示的数据。因此，可以先让学生分别说说每架飞机在相应时刻的飞行高度，并在图上标出来，再分别讨论教材提出的几个问题。也可以让学生根据每条折线的形态，试着完整地描述每架飞机从起飞到降落的全过程，并从整体上对两架飞机的飞行情况进行评价。第6题可以先让学生根据提供的两组数据独立描点、连线完成相应的复式折线统计图，再通过交流和评点使学生进一步明确完成复式折线统计图的基本方法、技巧和需要注意的地方，以形成必要的技能。完成统计图后，重点要比较这两个城市的最高月平均气温和最低月平均气温。

（三）、 ☆本单元教学要求：描点，连线。至于第7题，由于教材版面不够，所以要不需要学生自制统计图。

【第三单元：因数与倍数】 一、教学内容：

例1、2、3认识因数和倍数。（实验教材四下） 例4、5认识2、5、3的倍数的特征。（实验教材四下） 练习五

例6认识质数和合数。（实验教材四下） 例7、8认识质因数和分解质因数。（新增） 练习六

例9教学公因数和最大公因数的认识。

例10教学求两个自然数的公因数和最大公因数。 例11教学求两个自然数的公倍数和最小公倍数. 例12教学公倍数和最小公倍数的认识。 练习七 整理与练习。

二、教材分析和教学建议

1、本单元的内容认识因数和倍数的含义，2、5、3倍数的特征，以及奇数与偶数、质数与合数等内容在四年级下册我们的学生已经学过。所以在本册书教学中可以结合本班情况复习旧知；这部分内容与四下实验教材相比有几点不同： （1）、实验教材是先认识倍数再认识因数，而修订版教材是先认识因数，再认识倍数。在认识公因数、公倍数时也是如此。是为了我们教学中更好的把握他们之间的关系。P46.12.如8和9 ，它们的最小公倍数是72，而这两个数的关系是他们公因数是1。

（2）、在找一个数的公因数时，（例2.）可以根据乘法算式理解因数和倍数，也可以根据除法算式来理解.为接下来学习分数作准备。实验教材上只安排根据除法算式认识因数。

（3）修订版教材把自然数原来的素数（质数）又称质数（素数），这是根据课程标准作出的修改。

（4）增加了认识质因数和分解质因数的内容。例7如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。这样可以使学生在学习质数和因数以后，进一步认识这两个概念之间的关系。

例8，分解质因数。教材安排了把30用几个质数相乘的形式表示出来。。。这样更容易学生理解。在“你知道吗”里，介绍了 “短除法”分解质因数，在阅读这篇材料后，如果学生愿意用“短除法”分解质因数是允许的。但是，不要求全体学生掌握和使用短除法。虽然这个多、快、好、省，但这不是我们课程的核心，核心的办法还是列举。 2、教学公因数和公倍数

（1）在现实的情境中教学概念，让学生通过操作领会公倍数、公因数的含义。

例9教学公因数和最大公因数，例11教学公倍数和最小公倍数，都是形成新的数学概念，都让学生在操作活动中领会概念的含义。

例9可以分四步组织学生的活动。第一步，先让学生“分别用边长6厘米、或边长4厘米的正方形纸片铺长18厘米宽12厘米的长方形，”通过交流“哪种纸片能将长方形正好铺满”引导学生具体感知公因数的含义。第二步，组织讨论“还有哪些边长是整理米数的正方形纸片也能铺满”这个长方形？使学生明确“只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就正好能铺满 ”这个长

方形。第三步，可以先让学生说一说1、2、3和6的共同特征，再告诉学生“ 1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，他们是12和18的公因数。第四步，让学生说一说4为什么不是12和18的公因数，以使学生加深对公因数含义的理解。

让学生在现实情境中，通过活动领悟公因数的含义，不仅体现在例题的教学中，还落实到练习里。第42页“练一练”在18的因数上画“△”，在30的因数上画“○”。从数表里数既画了“△”又画了“○”，体会它们既是18的因数，又是30的因数，是18和30的公因数。练习七第8题是与公因数有关的实际问题，可以先思考，再画图。裁出的正方形的边长既要是15的因数，也要是9的因数，因而最大正方形的边长是15和9的最大公因数。也可以先画图让学生通过画一画体会符合要求的正方形边长应该是15和9的公因数。（解答）。

例11教学公倍数和最小公倍数的含义，也通过“铺”的活动组织教学。与例9不同的是，例11用同一个正方形纸片分别去铺边长不同的正方形，是形成公倍数概念的需要。例题编写和练习编排与教学公倍数相似，这里不再重复。 （2）突出概念的内涵、外延，让学生准确理解概念。

概念的内涵是指这个概念所反映的一切对象的共同的本质属性。公因数是几个数公有的因数，公倍数是几个数公有的倍数，可见“几个数公有的”是公倍数和公因数这两个概念的本质属性。在因数、倍数的基础上教学公倍数、公因数，关键在于突出“公有”的含义。

教材用“既是??又是??”的描述，让学生理解“公有”的意思。 集合图能直观形象地显示公倍数、公因数的含义。第42页把15的因数与20的因数分别写到两个集合圈里，这两个集合圈有一部分重叠，在重叠部分里写的数既是15的因数也是20的因数，是15和20的公因数。先观察这个集合图，再填写第42页的集合图，学生能进一步体会公因数的含义。

（3）运用数学概念，让学生探索找两个数的最大公因数、最小公倍数的方法。

本单元教学的两个数的公因数、最大公因数和两个数的公倍数、最小公倍数。这些最基础的数学知识，在约分和通分时应用最多。只要这些基础知识扎实，即使遇到三个分数的通分，学生也能灵活处理。教材不编排例题教学短除法求最小公倍数和最大公因数，而是采用写出两个数的倍数或因数，找出它们的最小公倍

数或最大公因数的方法。这样安排的目的是，在运用概念解决问题的过程中，进一步加强数学概念的教学。

例10教学求8和12的最大公因数，几种方法中，教材呈现的第一种方法比较适宜多数学生。因为一个数的因数的个数是有限的，先写出两个数的全部因数，再找出最大公因数，操作不麻烦。第二种方法从小到大依次想较小数的因数，稍不留心就会遗漏某一个因数。例12两个数的最小公倍数，出现了多种解决问题的方法，这些方法的思路都出自公倍数和最小公倍数的概念，从6和9的公倍数、最小公倍数的意义引发出来。学生可能先分别写出6和9的倍数，再找出它们的公倍数和最小公倍数。也可能在9的倍数里找6的倍数，只要依次想出9的倍数（即9×1、9×2、9×3??的积），逐一判断是不是6的倍数，操作比较方便。尤其求两个较小数（不超过10）的最小公倍数时，更能显出这种方法的优点。当然，在6的倍数里找9的倍数，也是一种方法，但没有9的倍数里找6的倍数快捷。教材安排学生在交流中体会各种方法，首先是理解各种方法的共同点，都在寻找既是6的倍数、又是9的倍数，而且是尽量小的那个数。然后是理解各种方法的个性特点，从中作出自己的选择。

练习7第5题在初步学会求两个数的最大公因数之后安排，两个色块分别呈现最大公因数的两种特殊情况。左边的色块里，每组的两个数之间有倍数与因数关系，它们的最大公因数是较小的那个数。右边的色块里，每组两个数的最大公因数是1。练习7第12题是初步会求两个数的最小公倍数后安排的。左边色块里，每组的两个数之间也有倍数与因数的关系，它们的最小公倍数是较大的那个数。右边色块里，每组两个数的最大公因数是1，所以他们的最小公倍数时他们的乘积。这些特殊情况，在通分和约分时会经常出现。教学时可以按色块进行，先分别求出同一色块四组数的最小公倍数或最大公因数，再找出相同的特点，通过交流内化成求最小公倍数和最大公因数的技能。由于新教材不讲互质数，所以两个互质数的最小公倍数是它们的乘积、最大公因数是1，这些特殊情况，只能在具体对象中感受，不宜深入研究原因，更不要出结语让学生记忆。第14题让学生通过填表格、圈数据找到7:24，进一步引导学生思考“24”与6和8有什么关系，还可以怎样解答。可以求6和8的最大公因数。 三、教学注意点：

☆要不要讨论最小的偶数是几？

这一问题没有唯一答案。教材指的是非0自然数范围。如果包括0的自然数，那0就是2的倍数。。。。。0是任何自然数的的倍数。那我们的教学内容就没法讨论。如果扩展到负整数范围，0还是最小的偶数吗？

【第四单元 分数的意义和性质】

分数有多重含义（1）分数可以表示部分与整体的关系。（2）分数可以作为除法运算的结果。（3）表示两个整数之比。本单元在学生继三年级教材里初步认识了分数，其中三年级（上册）教材是一个物体（或图形）的几分之一、几分之几，（下册）教材是若干个物体组成的整体的几分之一、几分之几之后继续教学分数的意义，涉及的有关知识比较多。 一、教学内容：

例1教学分数的意义和分数单位；

例2、3教学分数与除法的关系，用分数表示除法的商； 例4教学用分数表示两个数量的关系。 练习八

例5、6教学真分数和假分数。

例7、例8教学把假分数化成整数或带分数， 例9、例10教学分数和小数的互化。 练习九

例11、例12教学分数的基本性质。 例13教学约分； 练习十 例14教学通分

例15教学分数大小的比较。 练习十一 整理与练习

编排的三道思考题都与本单元教学的知识直接有关，对理解分数意义和发展数感十分有益。

二、教材分析和教学建议

1、 教学分数的定义，重点是建立单位“1”的概念。

教学例1时，可以先让学生根据已有的知识经验用分数表示各图中涂色部分，再说说每个分数的实际意义。在学生交流时，教师要强调每个分数是把什么平均分的。在此基础上，指出：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1\。然后，让学生说说写出的各个分数分别是把什么看作单位“1”，把单位“1”平均分成了几份，表示的是这样的几份。由此，引导学生概括出分数的意义，联系分数的意义，再向学生说明：表示其中一份的数，叫做分数单位。 “练一练\，可以先让学生独立完成，再要求说说是怎样想的。

“练一练”写分数时，要看懂每幅图里把什么看成单位“1”，平均分成几份，几份涂了颜色。思考和交流都是围绕分数意义展开的。 练习八4.一节课的时间是

2小时，这种带单位的分数其实是把一个单位的时间3看做单位”1”。把1小时看做单位1.

2、在操作中感知“分数与除法的关系”，拓展对分数意义的理解。

从分数的定义来看，分数既可以理解为把1个单位（单位“1”）平均分成n份，表示m个这样的1份;也可以理解为把m个单位平均分成n份，表示这样的1份，即

m也可以表示m除以n的结果。换句话说，分数与除法的关系本质上是分数n意义的一部分，它在学生理解和建立分数概念的过程中具有不可替代的重要地位和作用。让学生以例1认识分数的意义难度不会太大，倒是理解分数与除法的关系时有可能产生较多的困惑。为此，本单元在例1之后紧接着，便教学分数与除法的关系。这也是本限额教材编排上的变化之一.

教学例2、3时，重点要让学生理解可以用分数表示除法计算的结果。

为了有效地突破难点，例题里安排三次分饼活动，让学生充分体验每人分得的块数。从丰富的感性材料中发现规律。第一次分饼活动，把1块饼平均分给4

1个小朋友，每人分得多少块？引导学生体验，每人分得不满一块，是每块饼的 ，

4求每人分得多少块还可以用除法算。在列出的算式里，被除数小于除数，商比1小，引出结果用

1来表示。第二个活动把3块饼平均分给4个小朋友。每人分得4

多少块？重点指导学生通过动手操作获得计算结果。可以让学生分小组活动，再启发学生说清楚每种分法的过程。如，一块一块地分，每人每次可分得这样一共要分3次，每人共分得3个

1块；像413块，即块。把3块合在一起分，只需要44113一次就可分完；而这一次每人分得3块的，也就是3个块，是块。接下来，

444把上面的问题改变为：把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？让学生仿照上面的做法、列出除法算式，并在操作中获得计算结果。在此基础上，引导学生观察、比较这三个等式。1÷4=

331，3÷4=和3÷5=，要求说说分数和除

454法有什么关系。在学生充分交流的基础上，再让学生用字母更简明地表示分数与除法的关系。最后通过“b可以是0吗？”这个问题的讨论，明确在整数除法中，除数不能为0；在分数中，分母也不能为0。两种表达形式，前一种具体详细，后一种概括简明，可以看成理解分数与除法关系的两个层次。

通过分数与除法关系的教学，一方面可以使学生丰富和深化对分数基本含义的理解，另一方面也能为他们自主探索求一个数是另一个数的几分之几的方法实际意义提供有效的支持，其承上启下的作用十分明显。

3、用分数表示同类两个数量的关系，扩展对分数意义的理解。

例4教学，和实验教材中相比，“求一个数是另一个数的几分之几”安排在学习分数与除法的关系之后，所以原来只要求学生联系分数的意义进行思考，不要求学生直接出示结果。而修订教材后要求根据分数与除法的关系，用除法计算。在教学例题中的问题，应让学生借助直观并联系分数与除法的关系进行思考。教学例4时，要让那个学生借助直观图想一想，很容易看出黄彩带与红彩带的

1一4样长。图画里一条红彩带平均分成4份，黄彩带的长相当于这样的1份。根据分数与除法的关系，列出算式，1÷4=

1。其实这里表示的应该是两个量的比。 “试4一试”是例题的延伸，红彩带仍旧平均分成4份，蓝彩带的长与红彩带里的3份同样长，是红彩带的

3313，列出算式3÷4=。从1÷4=，3÷4=学生初步体会4444到求一个数是另一个数的几分之几可以用除法来算。

（练习八第7题里的两个问题既不相同，但又有联系。求每人分得这袋糖的几分

1之几，要把这袋糖看成单位“1”，平均分成5份，如果写成算式是1÷5=。

52求每人分得几分之几千克，可以通过2÷5=（千克）计算，也可以通过每人分

512得2个千克，是千克的推理得到答案。在分别解答两个问题后，要进行比较，

55看到它们都是平均分的问题，都用除法计算；由于问题不同，两个除法算式的被除数不同。）

4、 以分数单位为新知识的生长点，教学真分数和假分数。

为了让学生理解真分数和假分数的意义，教材注意以分数单位为生长点，安排了操作和比较的活动，引导学生积极主动地参与学习。在教学时应注意：第一，通过涂色，有序地表示一些真分数和假分数，感受真分数到假分数的分数大小变

13441化。从、到，学生感受到表示的是4个，表示的份数正好是整个单位

44444111“1”；再到5个，由于1个圆只能表示4个，所以5个需要两个圆，这一

4445认识十分重要，不仅能直观感受的意义，而且有利于认识带分数以及假分数化

421013成带分数的方法。在此基础上，继续让学生涂色表示、和，感受真分数

555和假分数的实际意义。第二，加深对分数单位的认识。画图是对分数大小的直观感受，通过画图，学生可以清楚地认识到不同分数所含有的分数单位。第三，及时比较，对例题中的分数进行分类。学生可能根据分子与分母的关系大多分成三类，从分类的角度来说，是可以的。在此基础上，揭示真分数和假分数的概念。

5、 先特殊后一般，通过改写假分数，教学带分数。

例7、例8的教学，要注意引导学生在自主探索的基础上进行交流，交流中掌握把假分数化成整数或带分数的方法。教学例7时，关键要把握两点：一是让学生先独立思考把假分数化成整数的方法，再让学生交流是怎样想的。学生可能根据分数与除法的关系，用分子除以分母把假分数化成整数；也可借助画图进行思考；还可能根据分数的意义来想。但重点要让学生在理解的基础上，学会利用分数与除法的关系直接进行转化。二是在学习把假分化成整数之后，要组织学生观察能化成整数的假分数，让学生对能化成整数的分数的特点有明晰的认识，从而引发继续学习把假分数化成带分数的愿望。教学例8之前，先要讲清带分数的概念。及时说明，有些假分数的分子不是分母的倍数，它们可以写成整数和真分数合成

的数，由整数和真分数合成的数通常叫做帶分数；并借助直观的数轴让学生有意义地接受带分数的意义。教学例8时要启发学生根据对假分数、帶分数的理解，先自主探索把假分数化成带分数的方法。学生可能会结合画图；也可据假分数的意义直接推想，也可以用分子除以分母的方法进行转化，引导学生明确除得的商2是带分数的整数部分，余数3是带分数的分子，而分母不变。最后，要引导学生回顾例7、例8的探索过程，引导学生沟通假分数化成整数或带分数的一般方法，都可以用除法。

6、优化小数与分数相互改写的教学。

教学例9时，要注意利用教材提供的问题情境让学生产生把分数与小进行互化的心理需求，并放手让学生用自己的方法比较0.5与

3的大小。学生可以用估4算的方法比较，也可以把分数化成小数。至于如何把分数化成小数，要启发学生应用前面学习的分数与除法的关系进行思考，并在交流的过程 学生理解这种方法。教学“试一试”时，要突出用分子除以分母子的方法把分数化成小数。也要明确告诉学生：除不尽的保留三位小数，并用约等号表示近似值。教学例10时，可先让学生说一说三个小数分别是几位小数，再引导学生想一想：一位小数表示几分之几？两位小数 表示几分之几？三位小数呢？然后让学生联系各小数的实际意义，把它们改成相应的分数。“练一练”要鼓励学生根据每组中两个数的特点选择不同的比较大小：可以把题中的分数化成小数，也可以把题中的小数化成分数。

练习九第2题配合例6的教学。要通过描点、观察和交流，使学生观察到：真分数集中分布在0和1之间的这一段上，而假分数则分布在从1开始向右部分，进而体会到真分数都小于1，假分数等于或大于1。第7题，主要是让学生根据假

5分数和带分数的意义填写。如填写，要让学生理解是把单位“1”(从0到1之

311间的线段）平均分成3份，表示这样的5份。再如填写2.是把2和合起来。

333691215另外，直线上下的和1、和2、和3、和4和和5这五组数，要从每

33333组的两个数都用直线上同一个点表示，每组的两个数可以互相改写等方面理解同组的数大小相等。尤其要思考1、2、3、4、5分别化成

()的方法，第9题在比3较数的大小时，学生可以联系多种分数知识进行思考。要鼓励策略多样，如3和

1313，可以把3化成分母是4的假分数，也可以把化成带分数，再比较大小；442233又如和；可以根据大于1而小于1，比较出它们的大小。第15、16题

2323都要比较一个小数与一个分数的大小，从解决问题的策略上讲，先把分数化成小数，再比较两个小数的大小，或者先把小数化成分数，再比较两个分数的大小，都是可以的。要让学生体会哪种方法简便些。一般情况下，把分数化成小数这种方法好一些，因为接着比两个小数的大小很容易。如果把小数化成分数，接着比两个分数的大小，经常还要通分。而在这里通分还没有教。第16题还要要提醒学生时间用得多，说明做得慢；时间用得少，说明做得快。思考题的答案是：当

bba 大于b时，是真分数；当a小于或等于b时，是假分数；当a是b的因数

aab时，能化成整数。

a7、 精心安排探索分数基本性质的教学活动。

分数的基本性质是约分和通分的依据，比较几个异分母分数的大小往往先通分。根据知识间的联系，例11和例12教学分数的基本性质，按“呈现现象——发现规律——联系相关知识”的线索组织教学活动。

教学例11时，关键要把握两点：一要引导学生看图找出其中大小相等的分数，填写等式。二是在学生找大小相等的分数时，要适当引导学生观察数的分子与分母，体会有些分数的分子、分母虽然不同，但分数的大小是相等的。教学例12

1时，要注意放手让学生在操作中思考，还能得到哪些与：相等的分数？在此基

2础上，让学生观察例2 每组相等的两个分数，说说它们的分子、分母分别是怎样变化的。并交流各自的发现。结合学生的交流情况，引导概括分数的基本性质，并启发学生联系除法运算中除数不能为0、分数中分母不能为0的已有认识解释“0除外”的必要性。

第二步利用例12的经验观察例11等式中的三个分数的分子、分母是怎样变化的，体会这些分数相等的原因和例1/2一样。而且分子、分母乘或除以的数，除了2、4、8，还可以是3和其他的数。这样，对分数基本性质的感受就更丰富了。

第三步概括两道例题中分子、分母变化但分数大小不变的规律。在充分交流之后，阅读教材里的叙述，理解“同时”乘或除以“相同”的数这些规范的语

言，知道这个规律叫做分数的基本性质。联系除数不能是0，明白分数的分子、分母同时乘或除以的数不能是0，使得到的规律更严密。

在得出分数的基本性质后，教材还安排了一项活动：用整数除法中商不变的规律说明分数的基本性质，由于除法里的被除数和除数分别相当于分数的分子和分母，所以除法中商不变的规律和分数的基本性质是一致的。沟通这两个知识，有助于学生建立新的认知结构，进一步理解分数的基本性质。 8、 让学生把分数等值改写，理解约分和通分。

例13教学约分，分三步安排。首先看图写出送给小力几分之几，写出分数

6，1213、为理解约分的含义搭建认知平台。然后利用分数基本性质把他们写成相等26的分数。然后告诉学生：刚才的过程就是约分，并介绍约分的含义。接着教学约分的方法和书写格式。

关于约分的方法，示范了分步约分，也示范了一次约分，让学生从自己的实际出发，选择适宜自己的约分方法。还要注意约分的书写格式，分子和分母分别除以它们的公因数，得到的商（即新的分子和分母）应该写在适当的位置上。最

1后以为例教学最简分数，指出约分通常要约成最简分数。

2教学例14时，要把握两点：一是在问题呈现之后，要放手让学生充分利用已有的知识进行改写。二是学生改写之后，要让学生交流是怎样改写的，交流中让学生互相评议改写的结果是否正确，并理解改写的依据是分数的基性质。在此基础上，向学生指出：刚才的过程就是通分。并引导学生思考：什么叫通分？结合学生的交流，指出通分的要点是：第一，要把异分母分数改写成同分母分数；第二，通分前后分数的大小不能改变。然后，进一步指出：通分后几个分数相同的分母，叫做这几个分数的公分母。引导学生观察上面的分过程，讨论用哪个数作公分母比较简便，从而使学生形成共识：用原来几个分母的最小公倍数作公分母，比较简便。接下来，让学生做“试一试”，按要求完成填空，并在填空的过程中明确通分的步骤、方法和书写格式。学生做“练一练”时，要继续关注两点：第一，有没有用两个分数分母的最小公倍数作公分母；第二，通分的书写格式是否规范。

公分母是通分的关键。一般用两个分母的最小公倍数作公分母，这样比较简便。

学生经过“试一试”，应用通分的知识，能够掌握通分的步骤与方法。同时又考虑到“试一试”毕竟是学生第一次进行通分，所以在怎样表达两个分数的公分母、怎样应用分数的基本性质以及书写通分的过程和结果的一般格式等方面，都给予较具体的指导。

练习十思考题，答案：因为绿色三角形和红三角形、梯形等高，所以他们底的比就是它们面积的比。绿三角的面积是红三角的

9、要鼓励学生从不同角度比较分数的大小。

在三年级的教材里，已经教学借助图形比较同分母分数的大小和分子是1的异分母分数的大小。在本册教材“认识分数”时，比较了一个分数与一个小数的大小。所以说，学生已经有一些比较分数大小的经验。在此基础上，例15教学比较两个分数的大小，有两个显著的特点： 一是在现实情境中收集数学信息，

3把实际问题抽象成数学问题。看同一本故事书，小芳看了这本书的，小明看了

54这本书的。这两个分数都把一本故事书的页数看作单位“1”，分别平均分成

9345份和9份，看了其中的3份和4份。因此，比谁看的页数多，只要比较和

5927。梯形面积是红三角的。 55这两个分数的大小。二是先让学生独立解决问题，再交流方法，鼓励策略、方法多样化。可以联系分数的意义、通分和分数化成小数等方法。各种方法都很有特色，第一种方法数形结合，在相同的长方形里分别表示两个分数，直观看出哪个分数比较大。第二种方法及时应用学到的通分知识，把异分母分数化成同分母分数进行比较，运用了转化的策略。第三种方法以

11为中介，把两个分数分别与2234比较大小，间接得到和的大小关系，从中体验解决问题策略的多样性。

59比较分数大小的练习，安排很有层次。在巩固基础知识、掌握基本技能的基础上灵活运用知识，发展数感。“练一练”紧接例题，要求先通分，再比较分数的大小。这样安排有两个原因：一是能巩固通分的知识，形成通分技能，把分数

加、减计算需要的基础练扎实。二是这种策略、方法适用于比较分数大小的通常情况，用得比较多。2、根据分数意义直接比较。练习十一第6~14题都配合例15的教学，第6题用你喜欢的方法比较每组中分数的大小。第9题在使用常规比较方法的同时，留出了创新的空间。如比较

27112和的大小，从＞得到＜383837111310；比较与的大小，如果把它们都化成带分数，就只要比较与的大小。84343教师对这些有创意的方法要给予鼓励，但不作为基本方法要求全体学生都掌握。

1比较大小，能够发现一些规律： 如分子乘2的积仍小211于分母的分数比小，分母除以2的商小于分子的分数比大??这对发展数感

22第10题通过8个分数与

很有好处。

11思考题答案。先把和通分。可以通分母，

5418= 540110= 4409之间就有，如果把分母通的更大，两数之间的分数更多。

40也可以通分子。

13= 51513= 412两数之间就有

34， 1313☆注意点：本单元不涉及把带分数化成假 分数。

本单元只教学假分数化成带分数，不教学带分数化成假分数。因为小学教学里不进行带分数的四则计算，不需要带分数化成假分数。更主要的原因是，教学带分数是为了更好地理解假分数，因为假分数化成整数或带分数，容易感受假分数的分数值。体会数值的大小，是建立数概念不可缺少的。

【第五单元 分数加法和减法】

一、教学内容

分两段：

例1教学异分母分数加减法；

例2教学分数加减混合运算，整数加法的运算律推广到分数加法。 练习十二

二、教材分析和教学建议

1、 在现实的情境里体会计算异分母分数的加法和减法，要先通分。

在掌握了同分母分数加、减法的基础上，教学异分母分数加、减法，重点在先通分，把异分母分数转化成同分母分数后计算。教材把“先通分”不单看成法则，还看作策略，设计了“体验——迁移——总结”的教学线索。

教学例1时，重点要引导学生自主探索并理解异分母分数加法的计算方法。学生列出两个异分母分数相加的算式后，可以让学生用一张长方形纸折一折、涂

1111一涂，分别表示出这张纸的和。再让学生根据操作结果说说2+4 的得数，并

24331启发学生思考：你是怎样看出得数是的？把涂色部分看作时，原来的被看成

2441111了几分之几？想一想，计算2+4时，先要怎么做？由此，让学生想到计算2+4时，

先要把这两个分数转化成同分母的分数。学生完成教科书中的填空后，还可以进

11一步追问：把2+4转化成同分母分数的过程应用了什么知识？这个过程也叫什

么？想一想，计算异分母分数加法时，为什么先通分？从而使学生进一步明确算理。

“试一试”对学生是有挑战性的，先是把异分母分数加法的计算经验迁移到异分母分数减法中来。然后联系1可以写成分子、分母相等的分数的知识，计算1-4。计算结果能约分的要约成最简分数，也是以前没有遇到的情况。教材9要求验算两道减法的计算，除了确认或纠正计算外，还有两个目的：一是在验算

511-=时再进行一次异分母分数加法计算，从而巩固算法；二是让学生体会632459+=1，并应用到以后的计算中去。 999经过例1和“试一试”，对异分母分数加法和减法有了体验，教材通过“要注意些什么”引导学生思考和交流，及时总结算法，掌握新知识。

2、 通过三个分数的加法和减法，培养计算能力。

教学例2时，重点要抓住两个环节：第一，要指导学生根据题意，正确理解题中分数的实际意义，知道表示月季花和杜鹃花的面积的分数都是把花园的面积看作单位“1”，在求草坪面积占几分之几时则腰要把1当做被减数参加列式计算。第二。要鼓励学生自主探索分数加减混合运算的计算方法。通常情况下，学生可能按整数加减混合运算的顺序逐步通分，逐步计算。如果有学生能够很快找出三个分数的公分母，也可以采用一次通分的方法进行计算。

练习十二第5题配合例2的教学。可以看到，安排的纯计算题不多，这是因为对三个分数的加法和减法的教学要求是学生能正确地计算，只要两个异分母分数的加法和减法掌握得比较好，达到这样的要求并不困难，完全不需要大量的练习。但是有两点要提醒学生注意：如果最后的得数不是最简分数，应该约分；如果最后的得数是假分数，不必一定化成带分数。

在练习十二第14~18题里进一步培养计算技能，发展思维的灵活性，包括三方面内容。一个内容是应用加法运算律进行简便计算。第14题里有两道分数连加的题，要求都用两种方法计算： 一种方法是按异分母分数加法的一般算法计算，另一种方法是应用加法运算律计算。从中体会两种算法的得数相同，后一种方法的计算简便，并研究计算简便的原因。从而得到两点收获：一是确认整数加法的运算律，对分数加法同样适用；二是为第16题的简便计算作充分的准备。第二个内容是体会减法的性质。第15题中同组两道题的运算顺序不同，得数相同。说明一个数减两个数的和，可以用被减数逐个减这两个数。反之，一个数连续减两个数，可以用被减数减两个减数的和。在整数减法和小数减法中，都让学生体验过这样的规律。现在再次体验，可以加强感受。但暂时不要求应用于简便计算。。

4、把计算和实际问题相结合，提高计算兴趣。

练习十二、17、18等题，把实际问题引入相应的分数计算，使学生感受到解决问题的需要，进一步体会分数加减法应用价值。如17?18，平时教师们最喜欢出这样的。要注意区别实际情境中每个的分数含义。

1171--= 3515☆三、注意点：怎样处理分数连加、连减和加减混合式题的计算？ 课程标准中求公倍数，公因数的时候要求两个数不超过10，但在这一单元有所突破，会出现8和10,10和15这样的数。例2试一试这里的运算涉及到三个异分母的分数相加减，教学时主要引导学生逐步通分进行计算，不要求学生一次对三个分数进行通分，因为求三个数的最小公倍数和三个分数的通分都没有学习。如果有学生这样做，也是允许的。

【第六单元 圆】

圆是小学数学里最后教学的一个平面图形，也是教学的唯一一个曲线图形。本单元在教学圆的基础知识的同时，还通过化曲为直、等积变形这些方法与手段，进一步发展转化的策略和推理能力。 一、 教学内容

教材分三段：例1、例2教学圆的认识； 例3认识扇形，弧，圆心角。（新增） 练习十三

例4、例5教学圆的周长。

例6教学已知周长求直径（或半径）。 练习十四

例7、例8、例9教学圆的面积。

例10教学已知面积求直径（或半径）。（新增） 例11教学有关圆的组合图形的面积。 练习十五

在这里我主要介绍教材的主要变化。 二、主要变化。

作为一种最常见也是最基本的曲线图形，圆的内涵是十分丰富的。学生对圆的特征的认识不能仅仅局限于圆的半径、直径以及半径和直径的关系等较为直观的层面，还在不同形式的活动中形成更多、更有价值的感捂。和修订前的教材相比，这部分内容主要由以下几个值得关注的变化。

一是进一步丰富圆周率的教学内容。在介绍圆周率的含义，以及中外数学家在圆周率研究方面的杰出思想和贡献之前，教材先用较长的篇幅安排了两项操作活动。第一项活动先让学生照样子在正方形内画一个最大的圆，思考“正方形的周长是圆直径的几倍”：再要求他们在圆内画一个顶点都在圆上的六边形，并进一步思考“六边形的周长是圆直径的几倍”。由于上述几个图形中，正方形的周长是圆直径的4倍，正六边形的周长是圆直径的3倍，而圆的周长应该大于正六边形的周长且小于正方形的周长，所以学生在活动中可以初步认识到“圆周长大约是其直径的3倍多一些”“比4倍少一些”。第二项活动则引导学生通过实验操作以及相关的数据比较，再次确认“圆周长总是其直径的3倍多一些”。上述活动的价值不仅在于帮助学生建立一种圆周长与圆直径关系的猜想，而且渗透了研究圆周率的基本数学思想，从而有助于学生更好地体会圆周率的丰富内涵，感受圆的无限魅力。“你知道吗”内容也比以前更客观。（）阿基米德发现圆周率比刘徽更早500年。

练习十三在练习基础知识的同时，让学生进一步体会圆，开展数学思考，发展空间观念。如第3题，在画圆时体会大小不同的圆可以有共同的圆心。第5题能体会一个正方形内可以画出许多个大小不同的圆，并启发学生思考：要画的圆与正方形有什么关系？然后让学生在尝试操作中慢慢体会，最后通过交流明确，圆的大小与它的半径有关，其中最大的那个圆的直径与正方形边长相等。第7题在方格纸上平移圆心，圆也随之平移，体会圆心的位置决定圆的位置。第8题1、2要让学生通过测量和比较，认识到：通一个圆内的所有线段中，直径最长。第3题可以让学生照图示的方法动手做一做，再分别解释这样做的道理。其中，右图所示的方法实质是把表示直径的线段平移到直尺上。图上介绍的也是测量直径长度的几种常用方法。

二是增加了认识扇形的教学内容。在教学圆的基本特征之后，教材通过例3首先呈现了处于同样大小圆中但圆心角分别是锐角、钝角和直角的三个不同的扇形，要求学生认真观察这些图形，并试着说说它们的共同特点，初步认识到这些图形都是由圆的两条半径和一段曲线围成的，都有一个顶点在圆心的角。在此基础上，告诉学生“这些图形都是扇形”，同时结合直观图具体介绍“弧”和“圆心角”的含义，帮助学生进一步明确对扇形的认识。最后，组织学生讨论“同一

个圆中，扇形的大小与什么有关”，启发他们从大小的角度继续完善对扇形的认识。圆心角越大，扇形面积越大。上述过程，突出了扇形与它所在的圆的关系，突出了圆心角和半径决定扇形大小的认识，有利于学生在认识扇形的同时，加深对圆心、半径等概念的理解。

练一练1.判断哪些图形是扇形，进一步丰富对扇形概念的认识。由圆的两条半径和一段曲线围成的，都有一个顶点在圆心的角。这样的图形是扇形。所以2和3不是扇形。第2、3题看扇形的圆心角各是什么角，分别是多少度？初步感受圆心角有可能等于或大于180°。

其次，结合对分数的认识，自主探索简单扇形的面积计算方法。练习十五13题。可以通过作辅助线的方法，发现百合和玫瑰分别大约占4分之1，牡丹大约占2分之1。先算出圆的面积，再分别算出每个扇形的面积。

三是介绍用含有丌的式子表示相关计算结果的方法。在教学应用圆的面积公式解决实际问题时，教材针对学生第一次接触含有平方数的混合运算式题这一情况，先提醒他们“计算3，14×52时，要先算5的平方是多少”。3，14×25 =78.5在学生各自完成上述式题的计算之后，接着介绍用含有丌的式子表示计算结果的方法。S=πr2=π×52=25π这样做，不仅可以减少不必要的计算环节，使学生能够更加专注于解决问题的方法，而且有利于培养他们的数感和符号意识。在修订教材中，除非一定要算出结果，如得数保留两位小数等要求，这个时候要把的数算出来，其他时候都可以用含有π的式子来表示圆周长，圆面积的计算结果。

【第七单元 解决问题的策略】

转化是一种重要而又最为常见的解决问题的策略。学生在此前的各类数学活动中曾经多次运用这一策略解决问题，具有较为丰富的经验和体会。本单元深入体验转化，用于解决实际问题。 一、 教学内容

编排2道例题、一个练习，把教学分成两段进行。

例1，回顾以前进行的转化，从策略层面上认识它，体会转化的价值。 例2，利用转化的策略解决一些实际问题，发展思维的开放性和灵活性。

练习十六

二、教材分析和教学建议

学生在此前的各类数学活动中曾经多次运用转化这一策略解决问题，具有较为丰富的经验和体会。考虑到上述具体学情，教材在安排这一内容时，1、引导学生联系已有的知识经验，感受转化策略的意义和价值。例1教学时，要先引导学生仔细观察图形，感知每个图形的形状特点，为运用转化的策略作好铺垫。其次，要让学生充分交流自己是怎样想的。有的学生可能提出数方格计算面积后再比较的方法。也有学生会想到运用转化的策略进行思考。教师可防守让学生在方格纸上将每个图形分别转化成长方形，并说说转化的具体方法。在此基础上，教师可直接提出问题“回顾一下，我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？”可以让学生独立思考，然后交流。在学生交流之后，可进一步启发学生说说运用转化策略解决这些问题的过程有什么共同点，体会都是把一个新问题转化成和它有联系的、比较熟悉或比较简单的问题。

2、从数形结合的角度丰富对转化的认识。教学例2时，可以先让学生说说这道算式有什么特点。明确几个加数的分子都是1，分母分别是几个2相乘的积，然后让学生独立计算。一般情况下学生会先通分，再计算。在此基础上，教师可直接提出“能不能转化成更简单的算式”，把正方形看作单位1，引导学生把分数填入正方形图中，认识到图中涂色部分的大小表示的就是算式的和，用1减去空白部分的大小就得到涂色部分的和。因此可以将原算式转化成1-1进行计算。16然后引导学生回顾解决问题的过程，有什么体会？进一步感受到有些复杂的算式可以转化成简单的算式。可以把数的计算转化成图形问题来解决，从数形结合的角度丰富对转化的认识。练习中也安排了数形结合的问题。

练习十六7.从1开始的几个连续奇数的和，可以转化成正方形的面积计算方法来算。有几个数相加，正方形的边长就是几。如1+3+5+7=42 =16

3、选择一些典型的实际问题，让学生逐步加深对转化的认识，提高转化策略解决问题的能力。可用转化策略分析和解决的实际问题有很多，教材侧重选择了其中较为典型的两类，即：图形的等积转化或等长转化、连加式题的等值转化。练一练1,2练习十六1、2、3对于这两类问题，一方面其转化前的复杂、繁琐与转化后的简单、便利能形成鲜明的对照，这种对照有利于学生感受转化的意义：另

一方面，这两类问题也蕴含着丰富的变化，针对具体问题实施转化时所运用的具体方法乃至技巧也各有特色。因而，解决这些问题既能适应学生体验策略、应用策略和形成策略的认知心理，又有利于启发他们融会贯通地把握相应的数学思想和方法。

练习十六12题，花坛的面积是正方形的面积加上四个四分之三的圆（也就是三个圆）的面积。13题，涂色正方形周长和是40厘米，也就是4a+4b=40厘米。整个大正方形的周长正好是4a+4b也就是40厘米，解出周长是10厘米，因而面积是10×10=100（平方厘米）

思考题答案：最大正方形的周长是（27+19）×2=92（cm）

以上就是我对于五年级下册教材的个人解读，不当之处请谅解。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p3ao.html