课程论文：弹塑性力学广义变分原理

《弹塑性力学中的广义变分原理》

课程论文

题目：广义变分原理在结构力学中的应用

姓名：储迅易

专业：工程力学

学号：131310040008

老师：邵国建

河海大学力学与材料学院

2014年4月1日

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文

1 摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。

本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问题。

关键字：变分法 弹性力学变分原理 柱体的扭转问题

1 概述

变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。1872年Betti 提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。

我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，-位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。

2 变分法

变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

在函数论中，自变量x 对应着另一变量y ，则变量y 称为自变量x 的函数()y x 。假如自变函数()y x 对应着另一个函数

[]()y x ∏，则[]()y x ∏称为泛函。泛函是函数的函数，是

函数的广义函数。

自变函数()y x 的变分()y x δ所引起的泛函的增量，即： [][]

()()()y x y x y x δ?∏=∏+-∏ 类似地，其可展开为线性项和非线性项

[][]max

(),()(),()L y x y x y x y x y δβδδ?∏=+

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文

2 其中L 是对()y x δ的线性泛函项，而β是非线性泛函项，是()y x δ的同阶或高阶微量，

当()y x δ0→时max

0y δ→，同时β也趋近于零，这时泛函的增量等于()y x δ的线性部分[](),()L y x y x δ，叫做泛函的变分，用δ∏来表示。

[][][]

0()()()(),()y y x y x y x L y x y x δδδδ→∏=?∏|=∏+-∏= 所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分()y x δ来说是线性的。

求泛函

2

1'(,,)x x F x y y dx ∏=? 在边界条件11,22() ()y x y y x y ==下的极值。

δ∏=0的条件是：

'

()0F d F y dx y ??-=?? 这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程——微分方程。

3 弹性力学中的变分原理

3.1广义势能泛函和广义余能泛函

关于位移和应变（两类变量）的广义势能泛函：

[]21*

122d d ()d d ()()d T T T T T T

B B B B ΩΩΩ

∏=-Ω-Ω+Ω

--?????????????A f u AE u p u E n A u -u ?εεεε

在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。

关于位移和应力(包括边界1B 上的约束力p )的两类变量广义势能泛函：

[][]21

21*

1

2212(,)d d [()]d d ()()d ()d d ()()d T T T T T T B B T T T T T T B B B B

B B ΩΩΩ

Ω∏=Ω-Ω--Ω--??=--Ω--???????????

???????????u a f u a E u p u E n u -u E u a f u p u E n u -u ??σσσσσσσσσσ

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文

3

用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner ）：两类变量广义变分原理）弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函取驻值。

二类变量广义余能泛函：

1

2

2(,)()d [()]d d [()]d T T B B V B B Ω

Ω

Γ=Ω++Ω

---??????????T u E f u p u E n p u ?σσσσ

对于线弹性体有

1

2

*1

22

()d [()]d d [()]d T

T T B B B B Ω

ΩΓ=

Ω++Ω

---??????????T u a E f u p u E n p u ?σ,σ

σσσ

二类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能取驻值。

三类变量的广义势能泛函：

[]2

1

*

3(,,)()d d [()]d d ()()d T T T

B B U B B

εσεσεσΩ

Ω

Ω

∏=∏=Ω-Ω--Ω--?????????????T T u f u E u p u E n u -u ?

也称该H-Z 泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数σ,ε,u ,它们都是独立的。

三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理）：弹性力学的精确解应使上述的广义势能

3∏取驻值。

三类变量的广义余能原理：

1

2

3()d [()]d [()]d [()]d T T

T T

B B U B B

Ω

Ω

??Γ=-Ω+Ω??

--??????????E +f u E n u E n -p u ?σεεσσσ

在三类变量的广义余能中有三类自变函数σ,ε,u ,它们都是独立的。三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有方程和边界条件。

3.2各种变分原理综述

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文

4

4 待定边界泛函的变分问题

4.1 泛函为x y y x F x x d ),,(2

1?'的边界待定的变分原理 设泛函

?'=∏21d ),,(x x x y y x F 泛函的积分限1x 及2x 都可以是待定的，也可以一个1x 为已给，而另一个2x 为待定的。

在一般情形下，端点),(22x y 不是独立的，它可以沿某一已给曲线如

)(22x f y = （4-1）

而移动。于是，有222δ)(δx x f y '=

极值条件

+'??-??=∏?21d δ)](d d [δx x x y y F x y F 0δ])([22='

??'+'??'-=x y F x f y F y F x x 从上式很容易看到，)(x y 满足欧拉方程还不能使∏δ达到零，除非在端点2x x =上还满足补充条件

)( 0)(2x x y F x f y F y F =='

??'+'??'

- （4-2） 所以，欧拉方程 0)(d d ='

??-??y F x y F （4-3） 只有在始点定点条件

)(11x y y =， （4-4）

终点待定条件（4-1）式和补充条件（4-2）式在一起时，泛函的极值问题，才有充分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数1c 和2c ，第三个条件用来决定待定的端点坐标2x 。

补充条件（4-2）式是一个函数)(x y 的斜率)(x y '和已知端点曲线)(x f 的斜率)(x f '之间的关系，我们称（4-2）式为交换条件（或贯截条件）。一般说来，满足定点条件（4-4）式的欧拉方程（4-3）式的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成),(1c x y y =。在利用了待定端点条件(4-1)式和补充条件（4-2）式之后，总能确定1c 与2x 这两个待定量，而在这样决定的一条曲线上，泛函必为极值。

如果边界点),(11y x 也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线)(11x g y =上移动，则在这一待定始点),(11y x 上有下面的交接条件

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文 5 )( 0)(1x x y

F y g F =='??'-'+

4.2 泛函?''2

1d ),,,,(x x x z y z y x F 的边界待定的变分原理问题 设泛函

?''=∏2

1d ),,,,(x x x z y z y x F 上限2x 是待定的，变分为

+'??+'??+'??'-'??'

-=∏===222δ|δ|δ][δ222z z F y y F x z F z y F y F x x x x x x ?'??-??+'??-??2

1d }δ)](d d [δ)](d d {[

x x x z z F x z F y y F x y F 按222δδδz y x ，，之间关系不同，有下列各种情况：

（1）z y z y x δδδδδ222，，，，都是独立的

这是最一般情况，由0δ=∏给出欧拉方程

0)(d d ='??-??y F x y F ，0)(d d ='

??-??z F x z F （4-5） 同时给出2x x =处的边界条件

0][2='??'-'??'

-=x x z F z y F y F ，0|2='??=x x y F ，0|2

='??=x x z F （4-6） 于是可以利用欧拉方程（4-5）式，和极值曲线通过固定点),,(111z y x 的条件和2x x =处的边界条件（4-6）式这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和2x 的待定值。

（2）边界点),,(222z y x 可以沿某一曲线)()(2222x g z x f y ==，任意移动 0δ=∏给出相同的欧拉方程

0)(d d ='??-??y F x y F ，0)(d d ='

??-??z F x z F （4-7） 同时给出2x x =处的补充边界条件

0])()([2

='??'-'+'??'-'=x x z F z g y F y f F （4-8） 这也代表极值曲线和已给端点曲线)()(2222x g z x f y ==，之间的交接条件。当从欧拉方程（4-7）式求解极值曲线时，它必须满足：①在1x 处通过固定点),,(111z y x ；②在2x 点满足)()(2222x g z x f y ==，；③在2x 点满足交接条件（4-8）式。

（3）边界点),,(222z y x 可以沿某一曲面0),,(222=z y x ?任意移动 由0δ=∏给出欧拉方程

0)(d d ='??-??y F x y F ，0)(d d ='

??-??z F x z F （4-9） 同样，也给出了极值曲线和曲面0),,(222=?z y x 的交接条件

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文 6 ???

????='????????-'??='????????-'??+'-'??'-==0][0])([21x x x x z F z y y F z F z x z F z y F y F （4-10） 当从（4-9）式中解出极值曲线时，其端点条件为：①在1x 处通过固定点),,(111z y x ；②在2x 点满足0),,(222=?z y x ；③在2x 点满足交接条件（4-10）式。

不论那种情况，在待定端点2x 上有三个独立的边界条件必须得到满足，在这个变分问题中，欧拉方程式（4-9）式有四个积分常数，其中两个由),,(111z y x 的固定边界条件决定，还有两个积分常数和2x 值共有三个待定量由（4-10）两式与0),,(222=?z y x 等三个2x 处的边界条件决定的。

当然，如果1x 点也是可以移动的待定边界，其处理过程与上面所讨论的完全相似，这里就不再重复。

4.3 泛函?'''2

1d ),,,(x x x y y y x F 的边界待定的变分原理问题 对泛函

?'''=∏2

1d ),,,(x x x y y y x F 的极值问题，如果假定21x x ，已给不变，边界条件为待定的情况，如果边界1x 已给，为固定边界，且有

1

111)()(y x y y x y '='=， 而2x 为待定的问题，这时∏的变分可以写成

+''

'??+''??-'??+''??'+''??''-'??'-=∏===222δ|δ)](d d [δ)](d d [δ222y y F y y F x y F x y F x y y F y y F y F x x x x x x ?''??+'??-??21d δ)](d d )(d d [22x x x y y F x y F x y F

如果y y y x δδδδ2

22，，，'都是独立的，0δ=∏给出 欧拉方程：

0)(d d )(dx d 22=''??+'??-??y

F x y F y F 补充边界条件：

?????

??????=''??=''??-'??=''??'+''??''-'??'-===00)](d d [0)](d d [222x x x x x x y F y F x y F y F x y y F y y F y F 补充边界条件和固定边界条件加在一起，可以决定由解欧拉方程的极值曲线),,,,,(24321x c c c c x y y =中的五个待定量24321x c c c c ，，，，。

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文

7 一般说来，2

22δδδy y x '，，并不都是独立的，它们可能有各种各样的联系。 （1）），（22y x 点可以在曲线

)(22x y ?= （4-11）

上任意移动，于是有

222δ)(δx x y ?'= 得+'''??+''??''-''??-'??'-Φ'+=∏==22δ|δ]})(d d )[({δ22y y

F x y F y y F x y F y F x x x x ?'

'??+'??-??2

1d δ)](d d )(d d [22x x x y y F x y F x y F 0δ=∏时，给出欧拉方程和有关边界条件

0|]})(d d )[({2='

'??''-''??-'??'-Φ'+=x x y F y y F x y F y F （4-12） 02

=''??=x x y F

（4-13）

求解欧拉方程时，在2x x =端，仍有三个条件（4-11）式和（4-12）、（4-13）式。

（2）)(22y x ，点可以在曲线

)(22x y ?= （4-14）

上任意移动，而且)(22y x ，点上的极值曲线的端点斜率2

2)(y x y '='为2x 的另一函数 )(22

x y φ=' （4-15） 这里应该注意，)(2x φ并不一定等于)(2x ?'，也包括了)()(22x x ?'=φ的情况，于是有

222

222δ)(δ)(δx x y x x y φ'='?'=， 消去2

2δδy y '，得 +''??''-φ'-''??-'??'-?'+=∏=2δ})()](d d )[({δ2

x y F y y F x y F y F x x ?'

'??+'??-??21d δ)](d d )(d d [22x

x x y y F x y F x y F 当0δ=∏时给出欧拉方程和边界条件

0})(])[

({2=''??''-φ'-???

? ??''??-'??'-?'+=x x y F y y F dx d y F y F （4-16） 所以，求解欧拉方程时，在2x x =端，仍有三个条件，即（4-14）、（4-15）和（4-16）式。

（3）在)(22y x ，点上，也可以存在着某一种2

22y y x '，，之间的关系 0),,(2

22='?y y x （4-17） 于是，2

22δδδy y x '，，之间有关系 0δδδδ22

2222=''???+???+???=?y y y y x x 设02

≠'???y ，则有 2222222δδδy y y x y x y '??

???

?-'??????-='

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