常微分方程的求解 实验六

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y'|t?0?0.2。

clc clf

[t,x]=ode23('exf',[0,pi],[0.1;0.2]); y=x(:,1) dy=x(:,2)

plot(t,y,'r',t,dy,'b')

【实验结果】 1.

'''''x=y，x=y=x?y=x2.先将高阶微分方程转化为一阶微分方程。令1212，

即原微分方程转化为：

3

??x?x2?' x?x?tx+1?2t??212

写成矩阵形式为：

'???01??x1??0?x1'x??'?=???+?（?1-2t）?x??1?t???x2??1??2? ?01??0? =??x+?（?1-2t）?1?t??1?'1?01??0?xdot???x+?（?1-2t）放入函数exf.m中，命令如下：1?t1????[t,x]=ode23('exf',[0,pi],[0.1;0.2])其中[t,x]中求出的x是按列排列，故用ode23求出x后只要第一列，即为y。 1） 将导数表达式的右端写成exf.m函数文件：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t); 2） 主程序如下：

clc clf

[t,x]=ode23('exf',[0,pi],[0.1;0.2]); y=x(:,1) dy=x(:,2)

plot(t,y,'r',t,dy,'b')

4

3） 运行结果如图：

三、 【实验总结】

1. 对于高阶常微分方程，需要先将它转化为一阶常微分方程组，即状态方程，所以求解常微分方程时，需要先用学过的知识对方程进行降阶处理； 2. 运用数值解法求解微分方程时需要建立模型的函数文件，然后运用MATLAB中函数调用的知识在主程序中调用子程序，最终解出微分方程的解；

3. 微分方程有数值积分解也有解析解，两者有各自优缺点，不同的求解方法

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适用于不同的场合，具体方程可以将两者互相对比，画出对比的图形； 4. 求解常微分方程的一般步骤：改写原方程为矩阵形式?建立模型函数文件?解微分方程?用图形显示。

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