2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第13讲 直线与圆的方程

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第13讲 直线与圆的方程

一．课标要求：

1．直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；

2．圆与方程

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．命题走向

直线方程考察的重点是直线方程的特征值有关问题，可与讨论中确定圆的方程。

预测2013年对本讲的考察是：

（1）2也会是一个出题方向；

（2

三．要点精讲

1．倾斜角：一条直线L向上的方向与角，范围为 0, 。

290k=an ;当直线的倾斜角等于900

过两点p1(x1,y1),p2≠x2)的直线的斜率公式:k=tan

y2 y1

x1＝x2，则直线

x2 x1

p1p2900）。

4

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程

圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x a) (y b) r(r 0)。特殊地，当a b 0时，圆心在原点的圆的方程为：x y r。

圆的一般方程x y Dx Ey F 0，圆心为点(

2

2

2

2

22

2

2

DE

, ，半径2

r

D2 E2 4F22

，其中D E 4F 0。

2

二元二次方程Ax Bxy Cy Dx Ey F 0，①、

2

2

x2项y2项的系数相同且不为0，即A C没有xy项，即B=0；③、D2 E2 4AF 0。

四．典例解析

题型1：直线的倾斜角 例1．图中的直线l1、l2、l3k1、k2、k3，则（ ） A．k1＜k2＜k3 Bk1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D

解析：直线lα1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3

＞k1，故应选D点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。 例2．过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴

的正半轴于A、B两点，求PA·|PB|的值最小时直

线l的方程。

解析：依题意作图，设∠BAO＝ ，

12

则PA ， ，PB sin cos x

PA·PB

，

244

2

sin cos sin cos sin2

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

当sin2 1，即 45 时PA·|PB|的值最小，此时直线l的倾斜角为135°， ∴斜率kl tan135 1。

故直线l的方程为y 1 1 · x 2 ，即x y 3 0。

点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。 题型2：斜率公式及应用

x y 2 0

y

例3．（1）设实数x，y满足 x 2y 4 0，则的最大值是___________。

x 2y 3 0

（2）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、BA、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。

（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。 （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

解析：（

yy 0 xx 0

表示点（x，y其中A值是

3

。 2

值即为

y

x

（2）＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以

8182

， x1x2

又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝

log8x1log8x2

＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

log82log82

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

kOC

log2x13log8x1log2x23

log8x2 ,kOD 。 x1x1x2x2

由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

将其代入

log8x1log8x2

，得x13log8x1＝3x1log8x1. x1x2

由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为（3，log8）.

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，

考查运算能力和分析问题的能力。

1 cos2x 8sin2x

例4．当0 x 时，函数f(x) 的最小值是（ ）

sin2x2

A．2 B

D．43

C．4

y看作点A（0，5与点

k 4，由图象知k的最

但将问题转化为直线题型3例5 解析：（1）将y

1

3

展开括号后合并， x 2 移项、

4

53

（2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程y 1 x 2 ，故它们为直线上的

24

两点。

由两点式方程得：

y 1x 2

50 2 12

即

y 1x 2

3 22

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

355x 知：直线在y轴上的截距b 422

10

又令y 0，得x

3xy

故直线的截距式方程 1

32

（3）由y

点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例6．直线l经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程。

解析：设所求直线l

∵直线l过点P（-5，-4）， 又由已知有

1，即4a 5b ab

1

ab 5，即ab 10， 2

解方程组

即8x 5

（1 （2（3b；令y 0得出x轴上的截距a。

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 题型3：直线方程综合问题

例5．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 答案：B

解析一：由y=10－

22

x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）33

所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，

y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。

解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。

对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有

176 6

=91（个） 2

点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。

例6．已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。 （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－

3的直线与曲线M相交于A、B两点。

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C

（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线lM的方程为y2=4x.

解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，

所以|x

.

y 由 2 y解得x1 所以A|AB|=x1+x2+2=

16。 3

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|

AB|

且|AC

|=|AB

|，即

162 22

(3 1) (y 23) ( 3

1216 ( 1)2 (y 2 ()2. 3 3

由①－②得42+（y+2

2324

）2=（）2+（y－），

33

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

解得y=－

143

。 9

但y=－

143

不符合①， 9

所以由①，②组成的方程组无解。

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。

y 3(x 1),

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由 得y=2，

x 1.

即当点C的坐标为（－1，2又|AC|2=（－1－

3）时，A、B、C三点共线，故y≠23。

222843y212

）+（y－）=+y，

3933

）2=28+4y+y2，

|BC|2=（3+1）2+（y+2|AB|2

当∠

即|256y2 ， 9

即y256y2 ， 9

当|即y<－

10

时，∠CBA为钝角。 3

2562843y

y2 28 43y y2， 993

又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即

即y

2

4422

3y 0,(y 0。 33该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角。

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

y

10323

或y (y 23)。 39

解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－

5228

）+（y+）2=（）2。

333

圆心（

528

, ）到直线l：x=－1的距离为， 333

23

）。 3

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB过点A且与AB垂直的直线方程为y

23 (x 33令x=－1

）。 过点B令x=－1 y又由 x

10323

或y>39

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－

（y≠2

3）。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了―注重学科

知识的内在联系‖.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型4：圆的方程

例7．（1）已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

求△ABC外接圆的方程。

分析：如果设圆的标准方程(x a) (y b) r，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是(x a) (y b) r 因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是

2

2

2

2

2

2

①

(4 a)2 (1 b)2 r2, a 1,

222

(6 a) ( 3 b) r, 可解得 b 3,

r2 25. ( 3 a)2 (0 b)2 r2.

所以△ABC的外接圆的方程是(x 1) (y 3) 25。

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，所以先求AB、BC2

2

），线段BC3的中点为(2∵

kAB ∴AB

1

y 1 (x2

BC∴△半径r

2

2

故△ABC外接圆的方程是(x 1) (y 3) 25．

点评：解法一用的是―待定系数法‖，解法二利用了圆的几何性质。

（2）求过A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程．现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可以比较一下哪种方法简捷。

解析：设圆的方程为x y Dx Ey F 0

2

2

①

因为三点A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

42 12 4D E F 0 D 2

62 ( 3)2 6D 3E F 0，解得 E 6。

F 15 ( 3)2 02 3D 0 E F 0

所以，圆的方程是x y 2x 6y 15 0。 圆心是坐标（1，－3

），半径为r

2

2

5。 点评：―待定系数法‖是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。

例8．若方程x y 2(m 3)x 2(1 4m)y 16m 9 0。 （1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当m在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。

解析：（1）由x y 2(m 3)x 2(1 4m)y 16m

即 m|2

2

2

4

2

2

2

4

（2m 1)（m为参数）。 迹方程。

(

20

x 4)为所求圆心轨7

DE

, ，半径22

点评圆心为点(

r

D2 E2 4F22

，其中D E 4F 0。

2

题型5：圆的综合问题

例9．如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（a b 0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

解析：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有 sinACB

a b

。 2R

其中R是△ABC的外接圆的半径。 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。

由切割线定理，得：OC OA·OB ab 所以 OC

2

，即点C的坐标为

，0时，∠

点评：

对一起到例10O′在抛物线（1）当（2值的θ值。

解析：00000的半径|O′A|=

2

x0 (y0 p)2，⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0

代入得x2－2x0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p为定值。

（2）∵M(x0-p，0) ，N(x0+p，0)

∴d1=

p2 (x0 p)2

，d2=

p2 (x0 p)2

，则

d12+d22=4p2+2x02，

44

d1d2=4p x0，

22

4p2 2x0d2

d12d2d1

∴+===2

44d1d2d1d24p x0

22

(2p2 x0)

4p x

4

4

=2

2

4p2x0

4p x

4

40

≤2

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网

1

2

4p2x0

2 2px

2

20

=22。

当且仅当x02=2p2，即x2p，y0=p时等号成立，∴

d1d2

+的最大值为22。 d2d1

此时|O′B|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又O′M=O′N， ∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=

1

∠MO′N=45°。 2

点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。

五．思维总结

抓好―三基‖，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。

本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各.这就要求我们必须重视对―三基‖的学习和掌握，互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。

在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：

（1范围；

（2―‖造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的―截距相等‖―‖―在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）‖―零截距‖，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；

（3―无斜率‖，从而造成丢解.或讨论两直线的

（4）首先最终解决几何问题。这种思想

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p384.html