一次函数专项复习讲义

一次函数专项复习讲义，知识点清楚，分类明确，精选的例题

一次函数专项复习讲义

专题：一次函数解析式的确定

确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式

例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式

例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7）， 求函数的表达式。

三、根据函数的图像，确定函数的解析式

例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．

求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

四、根据平移规律，确定函数的解析式

例4、如图2，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．（08年上海市）

五、根据直线的对称性，确定函数的解析式

例5、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。 练习：

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1、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求k、b的值。

3、如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（ ）

A、±3 B、3 C、±4 D、4

4、若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) (A)y=2x (B) y=2x－6 （C） y=5x－3 （D）y=－x－3

专题二：图象信息类之双一次函数图像

一、已知两条直线交点坐标的双一次函数图像问题

例1、已知如图1所示，直线l1表示某机床公司一天的销售收入与机床地的销售量的关系，直线l2表示该公司一天的销售成本与机床销售量的关系。请根据图像回答下面的问题： （1）、当x=1时，销售收入为 万元，销售成本为 万元， 利润（收入-成本）为 万元。

（2）一天销售 件时，收入成本与销售成本相等。 （3）直线l1对应的函数表达式是 。 直线 l2对应的函数表达式是 。 （4）你能写出利润w万元与销售量x件之间的函数关系吗？ 所以，2=2 k1，

所以，k1=1，即y1=x；

因为，直线l2经过点（0，1），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y2=k2x+1，

又因为，直线l2经过点（2，2）， 所以，2=2 k2+1，

所以，k2=0.5，即y2=0.5x+1；

所以，直线 l2的解析式为：y2=0.5x+1； 所以，

(1)、当x=1时，y1=x=1（万元）；y2=0.5x+1=1.5（万元）；

所以，当x=1时，销售收入为1万元，销售成本为1.5万元， 利润（收入-成本）为1-1.5=-0.5（万元）。

（2）仔细观察图像，发现当一天销售2件时，收入成本与销售成本相等。 （3）根据上面的解答，知道直线l1对应的函数表达式是y1=x；

直线 l2对应的函数表达式是y2=0.5x+1；

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（4）根据利润=收入-成本的原理，所以，w= y1-y2=x-（0.5x+1）=0.5x-1。

例2、如图2所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像。图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 ： (A) 2.5米 (B )2米 (C)1.5米 (D) 1米 分析：

直线OA上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（8，64）； 直线BA上的两个关键点，坐标分别为（0，12）和（8，64）； 并且直线OA是正比例函数，直线BA是一次函数，利用待定系数法分别求出函数的解析式，x的系数的差，就是甲乙的速度的差。

解：因为，直线OA经过点（0，0），所以，直线OA是正比例函数， 设y1=k1x，

又因为，直线l1经过点（8，64），

所以，64=8k1，

所以，k1=8，即y1=8x,也就是说甲的速度是每秒8米； 因为，直线BA经过点（0，12），不经过原点，所以，直线BA是一般地一次函数， 设y2=k2x+12，

又因为，直线BA经过点（8，64）， 所以，64 =8 k2+12，

所以，k2=6.5，即y2=6.5x+12；

所以，直线BA的解析式为：y2=6.5x+12, 也就是说乙的速度是每秒6.5米； 所以，甲乙的速度之差为8-6.5=1.5（米）。 所以，选择C。

二、已知两条直线交点的某一个坐标的双一次函数图像问题

例3、如图3所示，是甲、乙两个弹簧的长度y（厘米）与所挂重物x（kg）之间的函数关系图，当所挂重物的质量为1kg时，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 。 分析：

在这里，关键是理解图像交点坐标的意义，当弹簧挂重物的质量等于交点的横坐标时，两个弹簧的长度是相等。

从图像上看出，甲、乙两根弹簧图像的交点的横坐标为1， 此时，两根弹簧的长度是相等的，所以，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是0.

解：甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是0.

例4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其

中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，应付给出租车公司的月费用是y1、y2分别与x之间的函数关系图像(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：

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1. 每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合

算？

2. 每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相

同？

3. 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算 分析：本题是考查学生对一次函数图像的识图能力，和解释图像所反映的实际生活问题的意义的能力。在这里，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，除这个点外，所要支付的费用就不会再相等了。图像在上，就意味着多支付费用。只要理解了这些，本题的解答就显得那么的容易了。 此时，交点的横坐标成为了判断哪一种方式更合算的分界点。 解：

1）从图像上，可以看出，当x＞1500时，y1 ＞y2。 所以当每月行驶的路程在x＞1500千米的范围内时，租国营公司的车合算。

2、 从图像上，可以看出，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月

费用和付给出租车公司的月费用是相等的，所以每月行驶的路程等于1500千米时，租两家车的费用相同。

3、 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，因为2300＞1500，根据1）的意义可

以知道租国营公司的车合算。 例5、一条高速公路上，一辆轿车和一辆货车沿相同的路线从A地开往B地，所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系图像如图5所示，请你根据图像，回答下面的问题：

（1）货车比轿车早出发 小时；轿车追上货车时，行驶了 千米；A地到B地的路程是 千米。

（2）轿车追上货车时，轿车行驶了 小时。 （3）轿车比货车早到 小时。 分析：

（1）货车比轿车早出发的时间，从时间轴上的直线起点的差上找答案，货车的起点横轴上的坐标为0，轿车在横轴上的坐标为1，所以，坐标的差是1，也就是货车比轿车早出发1个小时；

轿车追上货车时，行驶的路程，就是看交点的坐标的纵坐标的值，看坐标在y轴的正半轴上所对应数值是150，因此，轿车追上货车时，行驶了150千米；

A地到B地的路程，就是图上点N的纵坐标300，所以，A地到B地的路程是300千；

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（2）货车行驶的路程与时间的函数关系是正比例函数，设y=kx， 根据图像，知道图像还经过（5，300）， 所以，300=5k，解得：k=60， 所以，函数的解析式为：y=60x， 设交点的坐标为（t，150），

所以，150=60t，解得：t=2.5，即货车行驶2.5小时，两车相遇,由于货车比轿车早出发1个小时,所以, 轿车追上货车时，轿车行驶了1.5个小时； （3）设轿车的函数关系式为：y=kx+b，

把x=1，y=0和x=2.5，y=150分别代入上式，得： k+b=0 ，2.5 k+b=150，

解得：k=100，b=-100，所以，函数的解析式为：y=100x-100， 当y=300时，300=100x-100，解得：x=4， 所以，轿车行驶全程用时间为：4（小时），

而货车走完全程所用的时间为5小时，所以，轿车比货车早到1个小时。 解：答案略。

三、隐藏两条直线交点坐标的双一次函数图像问题

例6、为迎接2008年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。如图5，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象。根据图象，解答下列问题：

（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式； （2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？（08年宜宾市）

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分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路 问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为： ①写出图像上能表示的关键点的坐标：

直线l1上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（60，10）； 直线 l2上的两个关键点，坐标分别为（20，0）和（40，10）；

②结合图像设出函数的解析式，把①中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。

③充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。 解：

因为，直线l1经过点（0，0），所以，直线l1是正比例函数， 设y1=k1x，

又因为，直线l1经过点（60，10）， 所以，10 =60 k1， 所以，k1=

11

，即y1=x； 66

因为，直线l2经过点（20，0），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y2=k2x+b，

所以，20 k2+b=0

又因为，直线l2经过点（40，10）， 所以，10 =40k2+b， 所以，k2=0.5，b=-10， 即y2=0.5x-10；

所以，长跑的函数解析式为：y

11

x,骑车的函数解析式为：y x 10 62

（2）因为，骑自行车的同学就追上了长跑的同学的意义就是两队相遇的意思，此时，坐标

的特点是实现了两个“同”，即此时函数的横坐标相同，对应的纵坐标相同，也就是求两个

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1 y x 6

函数图像的交点坐标，所以，联立两个解析式，得方程组： ，

y 1x 10 2

解得：x=30,y=5,即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。 例7、我边防局接到情报，近海处有一艘有一只可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速

派出快艇B追赶，如图7所示，在图8中，直线l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的函数关系。 根据图像回答下列问题：

（1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶的时间之间的函数关系？ （2）A、B哪个的速度快？ （3）15分钟内B能追上A吗？ （4）如果一直追下去B能追上A吗？

（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A

逃入公海前将其拦截？

分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为： ①写出图像上能表示的关键点的坐标： 直线l1上的两个关键点， 坐标分别为（0，0）和（10，5）； 直线 l2上的两个关键点， 坐标分别为（0，5）和（10，7）；

②结合图像设出函数的解析式，把①中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。 ③④

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解：

因为，直线l1经过点（0，0），所以，直线l1是正比例函数， 设y1=k1x，

又因为，直线l1经过点（10，5）， 所以，5 =10 k1，

所以，k1=0.5，即y1=0.5x；

因为，直线l2经过点（0，5），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y2=k2x+5，

又因为，直线l2经过点（10，7）， 所以，7 =10 k2+5，

所以，k2=0.2，即y2=0.2x+5；

所以，直线 l2的解析式为：y2=0.2x+5； 所以，

（1）因为t=0时，s=0是B船的最大特点，所以，直线l1表示B到海岸的距离与追赶的时

间之间的函数关系；

（2）A、B哪个的速度快，有三种方法来判断： 比较x的系数大小：

因为，B的x的系数是0.5，A的x的系数是0.2，所以，B的速度快； 比较等时间内增量的大小：

对于B来说，当时间t从0增到10时，对应的函数值从0增到5，增量为5； 而对于A来说，当时间t从0增到10时，对应的函数值从5增到7，增量为7-5=2， 所以，B的速度快； 比较图像的倾斜度：

仔细观察图像 不难看出B的倾斜度大， 所以，B的速度快； 评析：

比较x的系数大小，系数大的速度大；

比较等时间内增量的大小，增量大的，速度大； 比较图像的倾斜度，与x轴的夹角大的速度大。

（3）15分钟内B能追上A吗？这一问的意思，就是当t=15分时，求出对应的函数值，比

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较而者的大小。 解：当t=15时， y1=0.5x=0.5×15=7.5 y2=0.2x+5=0.2×15+5=8；

y1＜y2，所以，15分钟内B不能追上A；

（4）如果一直追下去B能追上A吗？这一问，实际上就是问你，这两条直线是否有交点的

问题，当然，也就是直线是平行还是相交的问题，只有当函数的x的系数相等时，直线是平行的，否则，就一定相交，在这里x的系数分别是0.2和0.5，所以，两条直线一定相交，所以，一直追下去B一定能追上A。

（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A

逃入公海前将其拦截？对于这一问，我们应该这样去理解，就是求出交点的坐标，比较交点坐标的纵坐标与12 的大小，如果交点坐标的纵坐标小于12，说明能拦截； 如果交点的纵坐标大于等于12，说明正好不能拦截。 因此，问题的关键，就转换成求直线的交点坐标问题了。 因为，y1=0.5x，y2=0.2x+5， 所以，0.5x=0.2x+5， 解得：x=

50502536，所以，y=0.5x=0.5×=＜=12， 3333

所以，照此速度，B能在A逃入公海前将其拦截。

希望以上的看法，能对同学们学习一次函数的知识有所帮助。

综合提高类

一次函数

1．在北方冬季，对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中CO2的总量进行检测，部分数据

2)的一次函数． (1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)根据有关资料推算，当该教室空气中CO2总量达到6.7m3时，学生将会稍感不适．请通过计算说明，该教室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适？

(3)如果该教室在连续使用45分钟时开门通风，在学生全部离开教室的情况下，5分钟可将教室空气中CO2的总量减少到0.1m3，求开门通风时教室空气中CO2平均每分钟减少多少立方米？

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2.一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进

（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数； （2）求出y与x之间的函数关系式；

（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过

程中需另外支出各种费用共1500元．

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式； （注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）

②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：

(1) 由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A 的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点B 、C 的位置，并写出他们的坐标：B 、C 归纳与发现：

(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象

限的角平分线l的对称点P 的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：

(3) 已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和

最小，并求出Q点坐标．

（第3题图）

4．今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开

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往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h，点B的纵坐标300的意义是_______________________； (2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位：km)与时间t(单位：h)的函数图象；

(3)若普通快车的速度为100km/h，

①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； ②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇； ．．．

③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔．．时间．

(第4题图)

...,Bn(n,yn) (n是正整数)依次为一5. 如图，点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),........

次函数y

11

...,An(xn,0) x 的图像上的点，点A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),........

412

(n是正整数)依次是x轴正半轴上的点，已知

AnBnAn 1 x1 a(0 a 1), A1B1A2, A2B2A3, A3B3A4,........,..,Bn为顶点的等腰三角形。 分别是以B1,B2,B3,.........

（1）写出B2,Bn两点的坐标；

（2）求x2,x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；

（3）当a(0 a 1)变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？ 若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由。

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6.

图1

图2

7.如图，已知直线y

3

x 1与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第3

O

一象限内作等腰RtΔABC, ∠BAC=90,且P(1,a)为坐标系中的一个动点. (1)求ΔABC的面积S ABC；

(2)证明不论a取任何实数，ΔBOP的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC和ΔABP的面积相等，求实数a的值.

专题：面积类问题

10、如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（ ）

A、±3 B、3 C、±4 D、4

如图，已知直线l1:y 2x 3，直线

l2:y x 5，直线l1、l2分别交x点，l1、l2相交于点A。 (1) 求A、B、C三点坐标； (2) 求△ABC的面积。

轴于B、C两

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