拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

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?目录

引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质1?

1．１拉普拉斯变换的定义?错误!未定义书签。

1．2拉普拉斯变换的性质?错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............ 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。３.1初值问题与边值问题?错误!未定义书签。

3.２常系数与变系数常微分方程 ............................. 错误!未定义书签。

3.3含 函数的常微分方程.................................... 错误!未定义书签。

3.4常微分方程组.............................................. 错误!未定义书签。３．5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 ..... 错误!未定义书签。３.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广............. 错误!未定义书签。

4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。

4.1齐次与非齐次偏微分方程.................................. 错误!未定义书签。

4.2有界与无界问题 ........................................... 错误!未定义书签。

5 综合比较，归纳总结 ............................... 错误!未定义书签。

结束语?错误!未定义书签。

参考文献 ........................................... 错误!未定义书签。

英文摘要?２1

致谢?错误!未定义书签。

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班 学 生 岳艳林

指导老师 韩新华

摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程(初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广)与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题)中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换;拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解

引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积,但是在物理、无线电技术等实际应用中,许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义,像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点,将函数进行适当改造,便产生了拉普拉斯变换[１]。

１ 拉普拉斯变换以及性质

１．1 拉普拉斯变换的定义

设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分0()st f t e dt +∞

-?(s 是一个复参量)在s 的

某一区域内收敛,则此积分所确定的函数可写为0()()st F s f t e dt +∞

-=?．我们称上式

为函数()f t 的Ｌa ｐlac ｅ变换式．记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的L ａpl ａce 变换（或称为象函数).

若()F s 是()f t 的L ａplac ｅ变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换(或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=［2].

Laplace 变换的存在定理

若函数()f t 满足下列条件:

1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续;

2?当t →+∞时,()f t 的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数0M >及0c ≥,使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数)．

则()f t 的L ａplac ｅ变换0

()st F f t e dt +∞

-?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在,

右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内，()F s 为解析函数[２].

1.2 拉普拉斯变换的性质

⑴线性性质 若αβ，是常数,11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,

则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=，

1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=.

⑵微分性质 若[()]()L f t F s =，则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.

一般，12'(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----=---???--.

⑶积分性质 若[()]()L f t F s =,则01[()][()]t

L f t dt L F s s

=?. ⑷位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =-->. ⑸延迟性质 若[()]()L f t F s =,又0t <时()=0f t ，

则对于任一非负实数τ，

有[()]()s L f t e F s ττ--=,或1[()]()s L e F s f t ττ--=-[2]．

⑹相似性性质 若[()]()L f t F s =，则1[()]()s L f at F a a =. ⑺卷积性质 若11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =,

则11212[()()]()()L f t f t F s F s *=,

其中112120()()()()t f t f t f f t d τττ*≡-?称为)(1t f 与)(2t f 的卷积[３］.

由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中,常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式,可以把它展开成部分分式,再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]：

表一：拉普拉斯变换函数表

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤

像其他方法求解微分方程一样,应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤,其一般步骤[4]如下:

1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换,然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为ｓ的代数方程；

２、解象函数的代数方程,得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数;

原函数

象函数

原函数

象函数

1

s 1

()n t n 为整数

1

!+n s

n

t e λ

λ

-s 1

at t

sin 1

s

a arctan

t ωsin

2

2ωω

+s

t ωcos

22ω+s s

t sh ω 2

2ωω

-s

t ch ω

2

2ω

-s s

t t ωsin

2

22)

(2ωω+s s

t t ωcos

2

222

2)(ωω+-s s

)(t δ 1

)2(t

a erfc

s

a e s

-1

3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。

流程图法[5]如下:

图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图

拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换,可以方便地对线性控制系统进行分析、研究,可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程[1]。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。

３ 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用

3.1 初值问题与边值问题

例：求解初值问题''''43,(0)(0)1t y y y e y y -++===［２].

解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

2'1[()(0)(0)]4[()(0)]3()1

s Y s sy y sY s y Y s s --+-+=

+， 结合初始条件,有21[()1]4[()1]3()1s Y s s sY s Y s s --+-+=+, 整理展开成部分分式,有22266711131()(1)(3)412(1)43

s s Y s s s s s s ++==?+?-?+++++． 由拉普拉斯变换函数表1

1[]t L e s λλ-=-,可知11[]1t L e s --=+,131[]3

t L e s --=+． 由拉普拉斯变换函数表11![]n n n L t s -+=,并结合位移性质[()]()t L e f t F s λλ-=+, 可知121[](1)

t L te s --=+， 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 微分方取拉普拉取拉普解代原函数 象函数 微分方象函数的

1337131()[()][(72)3]4244

t t t t t y t L Y s e te e t e e ------==+-=+-。 例:求解边值问'''0,(0)0,(2)1y y y y π-===[２]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换,有

,0)()]0()0()(['2=---s Y y sy s Y s

结合初始条件，有,0)()]0()(['2=--s Y y s Y s

整理展开成部分分式,有),1111(21)0(1

)0()('2'+--=-=s s y s y s Y 由拉普拉斯变换函数表,]1[1t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L =--.]11[1t e s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 .sinh )0())(0(2

1)]([)(''1t y e e y s Y L t y t t =-==-- 为了确定)0('y ,将条件1)2(=πy 代入上式可得,2sinh 1)0('π=

y 所以,方程的解为.2sinh sinh )(π

t t y = ３.2 常系数与变系数常微分方程

例:求解常系数微分方程2)1(,0)0(,02'''===+-y y y y y [2]． 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,0)()]0()([2)]0()0()(['2=++---s Y y s sY y sy s Y s 结合初始条件,有,0)()]([2)]0()(['2=+--s Y s sY y s Y s

整理展开成部分分式,有,)1()0(12)0()(2

'2'-=+-=s y s s y s Y 由拉普拉斯变换函数表,]![

11n n t s n L =+-并结合位移性质),()]([λλ+=-s F t f e L t 可知.])

1(1[21t te s L =-- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为,)0()]([)('1t te y s Y L t y ==- 为了确定)0('y ,将条件2)1(=y 代入上式可得,2)0('e y =

所以，方程的解为.22)]([)(11--==

=t t te te e

s Y L t y 例:求解变系数微分方程 ''''0020,(0)1,(0),(ty y ty y y c c ++===为常数）［２].

解:设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，,0][][2]['''=++ty L y L ty L

即,0][4][]['''=++ty L y L ty L 亦即,0)()]0()([2)]0()0()(['2=--+---

s Y ds

d y s sY y sy s Y s ds d 两边积分可得,0)()]0()([2)]0()()(2[2=--++--s Y ds

d y s sY y s Y ds d s s sY 结合初始条件，有,0)(]1)([2]1)()(2[2=--++--s Y ds

d s sY s Y ds d s s sY 整理可得,11)s (2+-=s Y ds d 两边积分可得,arctan )(c s s Y +-=

欲求待定系数ｃ,可利用0)(lim =∞→s Y s ,所以从2π=c ，s

s s Y 1arctan arctan 2)(=-=π， 由拉普拉斯变换函数表,sin 1][arctan 1at t s a L =-可知.sin 1][arctan 1t t

s L =- 对方程两边同时求反演，可得方程的解为.sin 1)]([)(1t t

s Y L t y ==- 3．3 含δ函数的常微分方程

例：质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端,当物体在0t =时在x 方向受到冲击力()()f t A t δ=(t),其中A 为常数。若物体自静止平衡位置0x =处开始运动，求该物体的运动规律()x t ［２].

解:根据牛顿定律,有,)(''kx t f mx -=

其中kx -由胡克定律所得,是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以,物

体运动的微分方程为

.0)0()0(),0)(('''==≥=+x x t t f kx mx 且 这是二阶常系数非齐次微分方程,对方程两边取拉普拉斯变换，设,)]([)]([),()]([A t A L t f L s X t x L ===δ并考虑到初始条件,则得

,)()(2A s kX s X ms =+ 如果记,20m k =ω有.1)(202ω+?=s m A s X 由拉普拉斯变换函数表,sin ][221t s L ωωω

=+-可知.sin 1]1[002021t s L ωωω=+- 对方程两边同时取反演，从而方程的解为.sin )(00

t m A t x ωω= 可见,在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是

,0ωm A 角频率是,0ω称0ω为该系统的自然频率(或称固有频率）。 ３.4 常微分方程组

例:求解三维常微分方程组

'''''''''0,0,(0)1,(0)(0)(0)(0)(0)00,x x y z x y y z x y z x y z x y z z ?-++=?+-+=======??++-=?

[2] 解:设)],([)(t x L s X =)],([)(t y L s Y =)],([)(t z L s Z =对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有 ??

???=-++=+-+=-+-.0)()1()()(0)()()1()(,0)()()()1(222s Z s s Y s X s Z s Y s s X s Z s Y s X s

解该方程组,整理展开成部分分式,有 ???

????+?+-?-=-+-==+?+-?=-+=.131231)2)(1()()(,131232)2)(1()(222222223s s s s s s s s Z s Y s s s s s s s s X 取其逆变换,可得原方程组的解

???????+-==+=.cos 31)2cosh(31)()(,cos 31)2cosh(32)(t t t z t y t t t x

3．5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用

形如)('1)1(1)(x f y a y a y a y n n n n =++???++--的方程称为n 阶常系数非齐次线性微分方程,这里n n a a a a ,,,1,21-???为常数，()f x 为连续函数。我们平时用到的()f x 主要有三种形式:()x f x e λ=,

212()()(())

x n n f x e p x p x p x p x p x λ==+++其中,

()sin ()cos f x x f x x λλ==、［6].

该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如:比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。

设)],([)()],([)(x f L s F t y L s Y ==为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到n n n n a s a s a s s F s Y ++++=

--111)()( ,下面结合ｆ(x ）的三种形式分别作介绍。

(1）x e x f λ=)(

此时,))((1

)(111n n n n a s a s a s s s Y ++++-=-- λ,

对其进行部分分式分解,令)

()(11121n n n n n n a s a s a s D Cs Bs s A s Y ++++++++-=---- λ， 则该齐次微分方程特解的形式与自由项ｆ(ｘ)有关，也就是说与变换项λ

-s A 有关;对应的齐次微分方程的通解由)

(11121n n n n n n a s a s a s D Cs Bs +++++++---- 决定，只要该项分母中不含有特解因子λ-s ，则特解只取决于

λ-s A ［7]。 若,0111≠++++=--λs n

n n n a s a s a s 则λλ=--*++++=-=s n n n n a s a s a s x Y s A )(1

)()(111 ，

即相应的拉普拉斯变换特解为].)(1[1)(111λλ=--*++++?-=s n n n n a s a s a s s x Y 对方程两边同时求反演,整理可得原微分方程的特解为)].([)(1s Y L t y *-*= 例：求解常系数线性齐次方程x e y y 2'''=-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零,

对方程两边同时取拉普拉斯变换,有.21)()(2-=-s s Y s s 整理展开成部分分式，有,2))(2(1)(22s s C Bs s A s s s s Y -++-=--=

此时,0)

(22≠-=s s s 则 ,2121]1[21])(1[1)(22111-?=-?-=++++?-===--*s s s s a s a s a s s x Y s s n n n n λλ 对方程两边同时求反演,整理可得原微分方程的特解为

x e s L s Y L t y 2112

1]2121[)]([)(=-?==-*-* 若,0)(])[(11111=++-=++++----==--m n m n m n s m

s n n n n b s b s s a s a s a s λλλ 令)

()()(11'

2'1'1'm n m n m n m n m n m b s b s D s C s B s A s Y --------++++++++-= λ, 同理,相应的拉普拉斯变换特解为

].)(1[)(1)(111λλ=----+*+++?-=s m n m n m n m b s b s s x Y 例:求解常系数线性齐次方程x e y y y y 2''''''485=-+-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零， 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有.21)()485(23-=-+-s s Y s s s 则,)1()2)(2(1)485)(2(1)(223---=-+--=s s s s s s s s Y 此时,0485223=-+-=s s s s

令,)1()

2()('

'3'-++-=s B s A s A s Y 则相应的拉普拉斯变换特解为

,)2(1]11.[)2(1])(1[)(1)(323111-=--=+++?-===----+*s s s b s b s s x Y s s m n m n m n m λλ 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

.21])2(1[)]([)(223

11x e x s L s Y L t y =-==-*-* (2）))()(()(221n n x x p x p x p x p x p e x f +++== 其中λ．

例:求微分方程x xe y y y 2'''65=+-的特解。

解:设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零, 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,)2(1)()65(22-=

+-s s Y s s 则,)3)(2()2(1)65()2(1)(222---=+--=

s s s s s s s Y 此时,06522=+-=s s s 令,6

5)2()(22+-++-+=s s D Cs s B As s Y ,21231)1)(2(121651)2()(442444444222222--=+--=---=-=+-=

-=+-=--=--=--=-*s s s s s

s s s s s s s s Y B As s s s s s s s s 相应的拉普拉斯变换特解为,)2(1)2(121)2(1)2()(3222----=--?-=-+=*s s s s s s B As s Y 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

).211()21(])

2(1)2(1[)]([)(2223211x xe xe xe s s L s Y L t y x x x +-=--=----==-*-* （3）x x f x x f λλcos )(sin )(==、

例:求解微分方程x y y y 2sin 54'''=++的特解[７]。

解:设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零, 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,42)()54(22+=

++s s Y s s 令,5

44)(22+-++++=s s D Cs s B As s Y ,65)14(2116)

14(2)14)(14()14(21425

42

)4)((42444222222--=--=+-+=+=++=+=+-=-=-=-=s s s s s s s s s s s Y B As s s s s 相应的拉普拉斯变换特解为),4

248(651)4(65)14(24)(2222+-+?-=+--=++=*s s s s s s B As s Y 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

112221()[()][8](8cos 2sin 2).4465

s y t L Y s L x x s s *-*-==?-=--++ ３.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广

对于n 阶常系数线性齐次微分方程()(1)'110n n n n y a y a y a y --++???++=满足以下两个引理[8]：

引理1 n 阶常系数线性齐次方程的解(积分曲线)具有平移不变性。也就是说，若y=y(x)为n 阶常系数线性齐次方程的一个解,则对任意的常数c,()y y x c =+也是n 阶常系数线性齐次方程的解。

引理２ 若),,(00y x x y y =为n 阶常系数线性齐次方程的一个解,),,(00y x x y y =经平移后变为),,0,(00y x x y y -=则),0,(00y x x y y -=也是n 阶常系数线性齐次方程的解。

下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程0''')3(=+++ry qy py y 满足在任意点的初始条件

200''100'00)(y ,)(,)(y x y x y y x y ===的解。

设方程的解为),,0,(),,(0000y x x y y x x y y -≡=这样，我们便将初值点平移到了00=-x x 点,于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。 令),t )(,0,()(000x x y x x y t y -=-=其中

.)0(y ,)0(,)0(,)0()

3(03()2(0'''0'0y y y y y y y ====）

设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到,0][''')3(=+++ry qy py y L 由拉普拉斯变换的导数性质)0()()](['f s sF t f L -=以及

高阶导数推广)0()0()0()0()()]([)1()2('21------???---=n n n n n n f sf f s f s s F s t f L 可得, .0)()]0()([)]0()0()([)]0()0()0()(['2'''23=+-+--+---s rY y s sY q y sy s Y s p y sy y s s Y s 结合初始条件，有

.0)(])([])([])([01

0022010023=+-+--+---s rY y s sY q y sy s Y s p y sy y s s Y s 整理可得].)()[(1

)(20100223y y p s y q ps s r qs ps s s Y ++++++++= 对上式两边同时取拉普拉斯逆变换,可得

}].)(){(1

[)]([2

010022311y y p s y q ps s r qs ps s L s Y L ++++++++=-- 进行变量还原,便得到所求初值问题的解为

).()(),0,(),,(00000x x y t y y x x y y x x y y -==-≡=

例：求解二阶常系数线性齐次方程0''=+y y ,该方程满足初始条件 '()1,()144y y ππ==-[

８］

解:首先转化初值条件).4)(()1,0,4()1,4,(π

π

π

-==-≡=x t t y x y x y y 其中

设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换,得到,0][''=+y y L 即.0)(]1)([2=++-s Y s s Y s

整理成部分分式,有.11111)(222+-+=+-=

s s s s s s Y 由拉普拉斯变换函数表,cos ][

221t s s L ωω=+-可知,cos ]1

[21t s s L =+- 由拉普拉斯变换函数表,sin ][221t s L ωωω=+-可知,sin ]11[21t s L =+- 对方程两边同时求反演,整理可得方程的解为.sin cos )]([)(1t t s Y L t y -==-

变量还原，得到原初值问题的解为

.cos 2)4sin()4cos(sin cos )()1,0,4()1,4,

(x x x t t t y x y x y y =---=-==-≡=ππππ

４ 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用

4.1 齐次与非齐次偏微分方程

例:求解齐次偏微分方程

????

?????==+∞<>=???==.3,

),,0(,02022y u x u y x y x y

x u x y [2] 解：对该定解问题关于ｙ取拉普拉斯变换,并利用微分性质及初始条件可得 ),,()],([s x U y x u L =

,)0,(),(][2x sU x u s x sU y

u L -=-=?? ,2][)]([][02x dx

dU s x

u x u sL x u y L y x u L y -=??-??=????=???= ,][22

2s x y x L = .3][2

00s U u L x x ==== 这样，原定解问题转化为含参数s 的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:

???

????==-=.3,22022

s U s x x dx dU s x 方程222s x x dx dU s =-可转化为22

2s

x x dx dU s =- 解此微分方程,可得其通解为,32

33c s x s x U ++=其中c 为常数。

为了确定常数ｃ，将边界条件203s U x ==代入上式，可得.32

s c = 所以,.33),(2233s s x s

x s x U ++= 由拉普拉斯变换函数表,1]1[1

=-s L 可知.][221x s x L =- 由拉普拉斯变换函数表,]![11n n t s n L =+-可知,2]3[23

331

y x s x L =-.3]3[21y s L =- 方程两边取反演,从而原定解问题的解为

.36)],([),(22

31

x y y x s x U L y x u ++==- 例：求解非齐次偏微分方程

????

?????==??=>>+??=??===.0,0,0),0,0((,0

0022222x t t u t u u t x g g x u a t

u 为常数），[2］ 解：对该问题关于t 取拉普拉斯变换，,并利用微分性质及初始条件可得 ),,()],([s x U t x u L =

,),(][20222U s t u u s s x U s t u L o

t t =??--=??==

,][s g g L =

,)],([][22

2222U dx d t x u L x x u L =??=??

.0][00====x x U u L

这样,原定解问题转化为含参数ｓ的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：

?????==-=-∞→=.0lim ,0,11022222U U s g a U s a dx

U d s x

方程s g a U s a dx U d 2222211-=-可转化为,1122222s g a U s a dx U d -= 解此微分方程，可得其通解为,),(321s g e c e c s x U x a s x a s ++=-其中为常数。21,c c 为了确定常数,,21c c 将边界条件0lim ,00==∞→=U U

s x 代入上式， 可得,,0321s

g c c -== 所以,.)1(),(333s a x x a s e s

g s g e s g s x U ---=-= 由拉普拉斯变换函数表,]![

11n n t s n L =+-可知.2][231t g s g L =- 由拉普拉斯变换函数表,]![

11n n t s n L =+-并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=-- 可知).()(2][231a x t u a x t g e s g L s a x

--=-- 方程两边取反演,从而原定解问题的解为

).()(22][)],([),(223311a x t u a x t g t g e s g s g L s x U L t x u s a x

---=-==--- (或)

???????>--<=.,)(22

;,2222a x t a x t g t g a x t t g 4．2 有界与无界问题

例：求解有界偏微分方程

????

?????=??===><

解:对该定解问题关于t 取拉普拉斯变换,记

),,()],([s x U t x u L =

,][20222U s t u u s U s t

u L t o x =??--=??==

,][2222dx U d x u L =?? ,0][0====x o x U

u L ).([s U u L l x l x φ====

这样，原定解问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题: 该方程的通解为,),(21x a s x a s e

c e c s x U -+=其中21,c c 是常数。 为确定常数21,c c ，将边界条件,00==x U

代入上式，可得,021=+c c 即;21c c -= 将边界条件)(s U

l x φ==代入上式,可得.)(21l a s l a s e c e c s -+=φ 因此.)(21l a s l a s e e s c c --=

-=φ 从而

.11)())(())(()()(),(4)3()3(4)()(33s a l x l a s x l a s s a l x l a s x l a s l a

s l a s l a s l a s l a s l a s x a s x a s l a s l a s x a s x a

s e e e e e e s e e e e e e e e s e e e e s s x U -+----+-------------+?????--=+-+-=--=φφφ

为了求(,)U x s 的拉普拉斯逆变换,注意到分母为,14s a l e

--所以逆变换(,)u x t 是周期为a l 4的关于ｌ的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式,其中s a

l e s 41)(--φ表明)(t ?是以a

l 4为周期的周期函数，即 ?----=-=a l s s a l s a l d e e e s t L 4044,)(111)

()]([ττ?φ?τ ?????===-==).

(,0,002222s U U U a s dx

U d l x x φ

由拉普拉斯变换函数表),(]1)

([41t e s L s a l ?φ=---

并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=-- 可知).()(]1)

([41a

x l t u a x l t e e s L s a x l s a l ----=?-----?φ 同理可知

).()(]1)

([41a

x l t u a x l t e e s L s a x l s a l +-+-=?-+---?φ).3()3(]1)

([341a x l t u a x l t e e s L s a x l s a l ----

=?-----?φ).3()3(]1)

([341a

x l t u a x l t e e s L s a x l s a l +-+-=?-+---?φ 方程两边取反演,从而原定解问题的解为

).3()3()3()3()()()()()],([),(1a

x l t u a x l t a x l t u a x l t a x l t u a x l t a x l t u a x l t s x U L t x u +-+------++-+------==-???? 其中)(a u 为单位阶跃函数，

即???><=.

0,1,0,0)(a a a u 例：求解无界偏微分方程

????

?????==>>-??=??==.0(),0,0x (,000222t x u u u t h hu x u a t u 常数），

为常数），（［2] 解:对该问题关于ｔ取拉普拉斯变换，记

),,()],([s x U t x u L =

,),(][0sU u s x sU t u L x =-=??=

,)],([][222222dx

U d t x u L x x u L -??=?? .][00

0s u U u L x x ==== 这样,原定界问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题: ???????===+-∞→=.(0lim ,,000

222为自然定解条件）U s u U U a h s dx U d x x 解此微分方程可得通解为

12(,)s h s h x x a a U x s c e c e ++-=+,其中1c ,2c 为常数。

为确定常数1c ，2c ,将边界条件s

u U x 00==代入上式,可得012u c c s +=; 将边界条件0lim =∞

→U x 代入上式,可得10c =. 因此，02u c s

=. 所以,0(,)s h x a u U x s e s

+-=. 从而110(,)[(,][]s h x a u U x t L U x s L e s +---==）， 由拉普拉斯变换函数表11[]1L s -=，可知100[]u L u s

-=。 由拉普拉斯变换函数表21212[]()2a s a t a L e erfc e d s t ννπ

+∞---==?, 可知2

1212[]()2x s a x

a t x L e erfc e d s a t ννπ-+∞

--==?． 如果令,2

)(22νπ

νd e t f t a x ?+∞-=显然(0)0f =, 由导数性质)0()()](['f s sF t f L -=可知'11()[]x s a f t L s e s --=?,

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