2017-2018学年广东省广州市广雅中学高一（上）期中数学试卷

2017-2018学年广东省广州市广雅中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）设集合M={0，2，x}，N={0，1}，若N?M，则x的值为（ ） A．2

B．0

C．1

D．不能确定

2．（5分）已知集合A={x|x2+mx+1=0}，若A∩R=?，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜2

B．m＞﹣2 C．﹣2≤m≤2 D．﹣2＜m＜2

3．（5分）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）

A． B． C．

D．

4．（5分）设函数f（x）=A．18 B．﹣

C． D．

则f（）的值为（ ）

5．（5分）设X0是方程ln（x+1）=的解，则X0在下列哪个区间内（ ） A．（1，2） B．（0，1） C．（2，e） D．（3，4）

6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A．y=﹣x2 B．y=2﹣|x| C．y=|| D．y=lg|x| 7．（5分）函数f（x）=2

的大致图象为（ ）

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A． B． C． D．

8．（5分）已知a=

，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a

9．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．[﹣1，） B．[1，2] C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）

10．（5分）已知a=log428，b=log535，c=log642，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c

11．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个

B．15个

C．16个

D．18个

12．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则使＜0的x的取值范围为（ ）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） （1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

13．（5分）若函数f（x）=（m﹣1）xa是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）+m（其中a＞0，a≠1）的图象恒过定点A的坐标为 ． 14．（5分）已知函数

三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演

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C．（﹣∞，﹣1）∪

= ．

算步骤．

15．（10分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣+．

（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值． 16．（10分）化简计算． （1）

；其中（a＞0，b＞0）．

（2）2log525+3log264﹣8ln1． （3）3

+4

． ．

（4）log49﹣log212+10

17．（12分）为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y（升）与时间t（分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y与t的关系为y=（）

（a为常数），如图．

（1）求容积y与时间t之间的函数关系式．

（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 18．（5分）函数f（x）=log

（4x﹣2x）的单调递减区间为 ．

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19．（5分）定义（fx）?（gx）=，若（fx）=，

g（x）=|x﹣1|，则函数h（x）=f（x）?g（x）在[，2]的单调性是 ．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可）

五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．（10分）已知函数f（x）=loga（x+2）﹣loga（2﹣x），a＞0且a≠1． （1）求函数f（x）的定义域．

（2）若f（x）=loga（x+t）有且仅有一实根，求实数t的取值范围．

21．（14分）定义在R上的非负函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x）f（y）=f（xy）且f（0）=0，f（﹣1）=1，当y＞1，都有f（y）＞1． （1）求f（1）的值，并证明f（x）是偶函数． （2）求证：f（x）在（0，+∞）上递增．

（3）求满足f（x﹣x2）＜1成立的x的取值范围． 22．（14分）已知函数（1）求实数t的值；

（2）若f（1）＞0，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围； （3）若

是定义域为R上的奇函数．

且[1，+∞）上最小值为﹣2，求m的值．

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2017-2018学年广东省广州市广雅中学高一（上）期中数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）设集合M={0，2，x}，N={0，1}，若N?M，则x的值为（ ） A．2

B．0

C．1

D．不能确定

【分析】由集合N是集合M的子集，则元素0和1都在集合M中，求出x即可． 【解答】解：M={0，2，x}，N={0，1}， 若N?M， 则0∈M，1∈M， ∴x=1， 故选：C．

【点评】本题考查集合间的关系以及列举法表示集合，属于基础题．

2．（5分）已知集合A={x|x2+mx+1=0}，若A∩R=?，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜2

B．m＞﹣2 C．﹣2≤m≤2 D．﹣2＜m＜2

【分析】推导出A=?，从而△=m2﹣4＜0，由此能求出实数m的取值范围． 【解答】解：∵集合A={x|x2+mx+1=0}，A∩R=?， ∴A=?，

∴△=m2﹣4＜0， 解得﹣2＜m＜2．

∴实数m的取值范围是﹣2＜m＜2． 故选：D．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

3．（5分）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）

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A． B． C．

D．

【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断． 【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应， A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义． 故选：C．

【点评】本题的考点是函数的定义，考查了对函数定义的理解以及读图能力．

4．（5分）设函数f（x）=A．18 B．﹣

C． D．

则f（）的值为（ ）

【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=f（2）=22+2﹣2=4， 则f（故选：D．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

5．（5分）设X0是方程ln（x+1）=的解，则X0在下列哪个区间内（ ） A．（1，2） B．（0，1） C．（2，e） D．（3，4）

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，

）=f（）=1﹣=．

【分析】构造函数f（x）=ln（x+1）﹣，判断函数的单调性，利用函数零点的判断条件即可得到结论．

【解答】解：构造函数f（x）=ln（x+1）﹣，

则函数f（x）在x∈（0，+∞），且函数单调递增也是连续函数， ∵f（2）=ln3﹣1＞0，f（1）=ln2﹣2＜0，

∴f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间为（1，2）， 即方程的解x0所在的求解为（1，2）， 故选：A．

【点评】本题主要考查函数零点所在区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．

6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A．y=﹣x2 B．y=2﹣|x| C．y=|| D．y=lg|x|

【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析选项中四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比较后可得答案．

【解答】解：对于A，y=﹣x2是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；

对于B，y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；

对于C，y=||是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；

对于D，y=lg|x|是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意． 故选：D．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解题的关键．

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7．（5分）函数f（x）=2的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

【分析】将解析式变形为f（x）=，根据指数函数的图象进行选择．

【解答】解：解析式变形为f（x）=，0＜＜1，

函数f（x）=2所以A正确； 故选：A．

的大致图象为函数y=向右平移个单位得到的；

【点评】本题考查了指数函数的图象以及图象的平移；属于基础题．

8．（5分）已知a=

，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a 【分析】利用指数函数的单调性即可判断出． 【解答】解：∵∴b＞c＞a． 故选：A．

【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．

9．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．[﹣1，） B．[1，2] C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析，原不等式等价于

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，

，解可得m的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，

则f（1﹣m）＜f（m）?，

解可得：﹣1≤m＜， 则m的取值范围为[﹣1，）； 故选：A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意不能忽略函数的定义域．

10．（5分）已知a=log428，b=log535，c=log642，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c

【分析】利用对数的运算性质及对数的换底公式比较大小． 【解答】解：∵a=log428=log4（4×7）=1+log47， b=log535=log5（5×7）=1+log57， c=log642=log6（6×7）=1+log67， 且

∴c＜b＜a． 故选：B．

【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础题．

11．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）

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，

A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

【分析】由※的定义，a※b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可．

【解答】解：a※b=12，a、b∈N*，

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个， 所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选：B．

【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．

12．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则使＜0的x的取值范围为（ ）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） （1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

【分析】根据题意，由函数f（x）为奇函数，可以将

＜0变形为xfC．（﹣∞，﹣1）∪

（x）＜0；结合函数的奇偶性与单调性分析可得x∈（0，1）时，有f（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，有f（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，有f（x）＜0，而xf（x）＜0?析可得答案．

【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则＜0，

f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（1）=0，则x∈（0，1）时，有f（x）＜0，

第10页（共20页）

或，分

＜0?＜0?xf（x）

当x∈（1，+∞）时，有f（x）＞0，

又由函数为奇函数，则当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，有f（x）＜0， xf（x）＜0?

或

，

分析可得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0， 则x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）； 故选：D．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将转化为xf（x）＜0．

二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

13．（5分）若函数f（x）=（m﹣1）xa是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）+m（其中a＞0，a≠1）的图象恒过定点A的坐标为 （3，2） ．

【分析】根据幂函数的定义先求出m的值，结合对数函数过定点的性质进行求解即可．

【解答】解∵f（x）=（m﹣1）xa是幂函数是幂函数， ∴m﹣1=1解得m=2， ∴g（x）=loga（x﹣2）+2，

当由x﹣2=1，得x=3，此时g（3）=loga（3﹣2）+2=loga1+2=0+2=0， ∴g（x）的图象恒过定点A（3，2）． 故答案为：（3，2）．

【点评】本题主要考查幂函数和对数函数的性质，利用幂函数和对数函数的定义是解决本题的关键．

14．（5分）已知函数【分析】由题意得a+lg

= 4 ．

=1，从而代入﹣a再整体代入即可．

+5=6，

第11页（共20页）

＜0

【解答】解：∵f（a）=a+lg

当x∈（1，+∞）时，有f（x）＞0，

又由函数为奇函数，则当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，有f（x）＜0， xf（x）＜0?

或

，

分析可得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0， 则x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）； 故选：D．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将转化为xf（x）＜0．

二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

13．（5分）若函数f（x）=（m﹣1）xa是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）+m（其中a＞0，a≠1）的图象恒过定点A的坐标为 （3，2） ．

【分析】根据幂函数的定义先求出m的值，结合对数函数过定点的性质进行求解即可．

【解答】解∵f（x）=（m﹣1）xa是幂函数是幂函数， ∴m﹣1=1解得m=2， ∴g（x）=loga（x﹣2）+2，

当由x﹣2=1，得x=3，此时g（3）=loga（3﹣2）+2=loga1+2=0+2=0， ∴g（x）的图象恒过定点A（3，2）． 故答案为：（3，2）．

【点评】本题主要考查幂函数和对数函数的性质，利用幂函数和对数函数的定义是解决本题的关键．

14．（5分）已知函数【分析】由题意得a+lg

= 4 ．

=1，从而代入﹣a再整体代入即可．

+5=6，

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＜0

【解答】解：∵f（a）=a+lg

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