分式线性映射
更新时间:2023-08-26 22:34:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第二节 分式线性映射一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、小结与思考
一、分式线性映射的概念az b w (ad bc 0, a , b, c , d均为常数.) cz d称为分式线性映射.小知识
说明:
1) ad bc 0的限制,保证了映射的 保角性.
dw ad bc 否则, 由于 2 0, 有w 常数. dz (cz d )那末整个z平面映射成 w平面上的一点.2
az b dw b ( 3) w z ( d )( a ) bc 0 cz d cw a 则, 逆映射仍为分式线性的 , az b 故又称w 为双线性映射. ~~~~~~~~~~ cz d分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合:
1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z称为: 平移 整线性 反演3
( A, B复常数) az b a b 当c 0时,w w z Az B cz d d d d ad a( z ) b a bc ad 1 c c 当c 0时,w d c c cz d c( z ) c 1 bc ad a A B (A B ) cz d c caz b 1 w 由 1 cz d , 2 和w A 2 B cz d 1 复合而成 .4
事实上,
二、几种简单的分式线性映射(为方便起见, 令w平面与z平面重合)1. w z b 平移映射
在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
的方向平移一段距离b 后, 就得到w.(z) (w)
w
b
o
z5
2. w az , (a 0) 旋转与伸长(或缩短)变换i i z re , a e 事实上, 设
那末 w r e i ( ) , 因此, 把z先转一个角度(z) (w)
再将 z 伸长(缩短)到 倍后, 就得到 w.
w
z
o6
1 3. w 反演变换 z此映射可进一步分解为
1 w1 , w w1 z
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:z w1 w
关键:
在几何上如何由 z ® w1 ?
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式
OP OP r 2 ,那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O.8
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂线 TP 与 OP交于 P , 那么 P与 P 即互为对称点 .
.T
OP T ~ OTP.P
C
P . . o
r
OP : OT OT : OPOP OP OT 2 r 2
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z ri
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
z关于单位圆对称w1 w1 .
.z
关于实轴对称
o
. w
w10
三、分式线性映射的性质1.一一对应性
1 例如: 映射 w 将z 映射成 w 0, z即当z 时, w 0.
1 1 如果把 w 改写成 z , z w可知当 w 时, z 0.
结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.11
2.保角性
1 (1)
考察 w z 1 因 w 2 ,所以除去z 0与z ,映射是共形的 . z若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 1 的交角, 等于它们在映射 w 下所映成的通过 z 圆点的两条象曲线的交角. 1 那么映射 w 在 z 处是共形的. z12
1 同理 : 映射 z 在 w 处是共形的. w 1 所以映射 w 在 z 0处是共形的. z 综上所述知:
1 映射 w 在扩充复平面上是处处是共形的. z(2) 考察 w f ( z ) az b (a 0)因为 f ( z ) a 0, 所以当z 时,映射是共形的 .
1 若令 , , z a b 13
则 w az b 成为
a b 1 0 a
在 0处解析, 且 ( ) 0
因而
a b
在 0处共形,
即 : w az b在z 处共形. 综上所述: 映射 w az b在扩充复平面上是处处共形的.
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对 应的,且具有保角性14
3. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 特殊地,直线可看作是半径为无穷大的圆周.
1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点z0经平移旋转伸缩而得到
象点 w0 .所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.15
1 2) 映射 w z若z平面上圆方程为: a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 1 令 z x iy , w u iv , z 1 u v u iv 有 即 x 2 2, y 2 x iy u v u v2代入z平面圆方程得其象曲线方程:
d (u2 v 2 ) bu cv a 0.所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.16
3) 分式线性映射
az b w f (z) (ad bc 0) cz d 1 因为映射由w , w az b (a 0) 复合而成. z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性. 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果
有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.17
4. 保对称性 对称点的特性设 z1 , z2是关于圆周C
z. z 0 z1. .
.
z2
C : z z0 R的一对对称点 ,从z0作 的切线, 切点为z . 显然z0 z2是 的割线.2 因为 z z0 z2 z0 z1 z0 R ,2
所以 z z0 R.即 : z 在 C上, 且 的切线就是C的半径.18
因此 与C正交. 反之, 设 是经过z1 , z2且与C正交的任一圆周 ,C
z. z 0 z1. .
.
z2
显然过 z1与 z2的直线是 的特殊情形(半径为无穷大), 其必与C正交,因而必过z0 .又因 与C在交点z 处正交,
因此 C的半径 z0 z 就是 的切线.19
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