分式线性映射

第二节 分式线性映射一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、小结与思考

一、分式线性映射的概念az b w (ad bc 0, a , b, c , d均为常数.) cz d称为分式线性映射.小知识

说明:

1) ad bc 0的限制，保证了映射的 保角性.

dw ad bc 否则, 由于 2 0, 有w 常数. dz (cz d )那末整个z平面映射成 w平面上的一点.2

az b dw b ( 3) w z ( d )( a ) bc 0 cz d cw a 则, 逆映射仍为分式线性的 , az b 故又称w 为双线性映射. ~~~~~~~~~~ cz d分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：

1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z称为： 平移 整线性 反演3

( A, B复常数) az b a b 当c 0时，w w z Az B cz d d d d ad a( z ) b a bc ad 1 c c 当c 0时，w d c c cz d c( z ) c 1 bc ad a A B (A B ) cz d c caz b 1 w 由 1 cz d , 2 和w A 2 B cz d 1 复合而成 .4

事实上，

二、几种简单的分式线性映射(为方便起见, 令w平面与z平面重合)1. w z b 平移映射

在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)

的方向平移一段距离b 后, 就得到w.(z) (w)

w

b

o

z5

2. w az , (a 0) 旋转与伸长(或缩短)变换i i z re , a e 事实上, 设

那末 w r e i ( ) , 因此, 把z先转一个角度(z) (w)

再将 z 伸长(缩短)到 倍后, 就得到 w.

w

z

o6

1 3. w 反演变换 z此映射可进一步分解为

1 w1 , w w1 z

欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:z  w1 w

关键:

在几何上如何由 z ® w1 ?

对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以

圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式

OP OP r 2 ,那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O.8

作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂线 TP 与 OP交于 P , 那么 P与 P 即互为对称点 .

.T

OP T ~ OTP.P

C

P . . o

r

OP : OT OT : OPOP OP OT 2 r 2

1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z ri

1 i w w1 e , r

从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点

z关于单位圆对称w1 w1 .

.z

关于实轴对称

o

. w

w10

三、分式线性映射的性质1.一一对应性

1 例如: 映射 w 将z 映射成 w 0, z即当z 时, w 0.

1 1 如果把 w 改写成 z , z w可知当 w 时, z 0.

结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.11

2.保角性

1 (1)

考察 w z 1 因 w 2 ,所以除去z 0与z ,映射是共形的 . z若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 1 的交角, 等于它们在映射 w 下所映成的通过 z 圆点的两条象曲线的交角. 1 那么映射 w 在 z 处是共形的. z12

1 同理 : 映射 z 在 w 处是共形的. w 1 所以映射 w 在 z 0处是共形的. z 综上所述知:

1 映射 w 在扩充复平面上是处处是共形的. z(2) 考察 w f ( z ) az b (a 0)因为 f ( z ) a 0, 所以当z 时,映射是共形的 .

1 若令 , , z a b 13

则 w az b 成为

a b 1 0 a

在 0处解析, 且 ( ) 0

因而

a b

在 0处共形,

即 : w az b在z 处共形. 综上所述: 映射 w az b在扩充复平面上是处处共形的.

定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对 应的，且具有保角性14

3. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.

1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点z0经平移旋转伸缩而得到

象点 w0 .所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.15

1 2) 映射 w z若z平面上圆方程为: a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 1 令 z x iy , w u iv , z 1 u v u iv 有 即 x 2 2, y 2 x iy u v u v2代入z平面圆方程得其象曲线方程:

d (u2 v 2 ) bu cv a 0.所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.16

3) 分式线性映射

az b w f (z) (ad bc 0) cz d 1 因为映射由w , w az b (a 0) 复合而成. z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性. 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果

有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.17

4. 保对称性 对称点的特性设 z1 , z2是关于圆周C

z. z 0 z1. .

.

z2

C : z z0 R的一对对称点 ,从z0作 的切线, 切点为z . 显然z0 z2是 的割线.2 因为 z z0 z2 z0 z1 z0 R ,2

所以 z z0 R.即 : z 在 C上, 且 的切线就是C的半径.18

因此 与C正交. 反之, 设 是经过z1 , z2且与C正交的任一圆周 ,C

z. z 0 z1. .

.

z2

显然过 z1与 z2的直线是 的特殊情形(半径为无穷大), 其必与C正交,因而必过z0 .又因 与C在交点z 处正交,

因此 C的半径 z0 z 就是 的切线.19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p31i.html