2009年全国高考陕西数学试题答案（理数）

2009年全国高考陕西数学试题答案(理数)

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

21．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 答案：A

2?0?x?1?，而函数f(x)?ln(1?x|的|)定义域为解析：不等式x?x?0的解集是

??1?

x?1?，所以M?N的交集是[0，1），故选择A

z?22.已知z是纯虚数,1-i是实数,那么z等于

（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案：D

解析：代入法最简单

3.函数f(x)?f?12x?4(x?4)的反函数为

f?1(x)?1212x?2(x?0)2(x)?1212x?2(x?2)2（A）

f?1 (B)

x?4(x?0)2

x?4(x?2)2(x)?f?1(x)?（C）答案：B

解析1：f(x)?解析2：f(x)? (D)

2x?4(x?4)?y?2,f2x?4(x?4)?y?2,f?1(x):y?4,x?2.逐一验证，知B正确。(x)?12x?2,x?22?1

x?y?4y?04.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学所截得的弦长为

22（A）3 （B）2 （C）6 （D）23 答案：D

解析：x?y?4y?0?x?（y?2）?4，?A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,?ON=3?弦长23

1

2222EJLANAOB

125.若3sin??cos??0,则cos??sin2?的值为

1052（A）3 （B）3 （C）3 (D) ?2 答案：A

解析：3sin??cos??0?cos??0?tan???1cos??sin2?213?103

?cos??sin?cos??2sin?cos?222?1?tan?1?2tan?2

(1?2x)20096.若

?a0?a1x???a2009x2009a1(x?R),则2?a222???a200922009的值为

（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2 答案：C

ar?(?1)Cr2009?rr2009?r2009解析：于

?12009?r?2ra1则

a1,a2Kar都能表示出来，则2?a222???a200922009等

(?1)C2009，再利用倒序相加法求得。

7.“m?n?0”是“方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C

解析：m?n?0说明b?a?0

??????????ABC8.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则科网????????????PA?(PB?PC)22等于

?444?49 （B）

（A）

3 （C）3 (D) 9

答案：A

2

?????????解析：PA?2PM?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,?????????????????????2??????22????4????4PA?(PB?PC)?PA?PH?(?AM)?AM???AM??3399

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

C3A4?7224

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

C3C2[A4?A3]?1082143

共有，180个数

10．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

2232(A)6 (B) 3 (C) 3 (D) 3

答案：B 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体

V?2?11?[?322?2]?12?2?23

高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，

?x?y?1??x?y??1?2x?y?2y11．若x，y满足约束条件?，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小IBG1I1F1值，则a的取值范围是

143(?4,0](?2,4)?1?4(A) （，2 ） (B) （，2 ） (C) (D) 2答案：B

解析：根据图像判断，目标函数需要和x?y?1，2x?y?2平行， 由图像知函数a的取值范围是（?4，2 ）

3

D1-2-1101234GRSH1C112．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意 的

x1,x2?(??,0](x1?x2)*，有

(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0.

则当n?N时,有

(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B) f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D) f(n?1)?f(n?1)?f(?n) 答案：C

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修?选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

Sa?a?13．设等差数列n的前n项和为n,若6?S3?12limSnn2,则

n??? .

答案：1

?a6?12?a1?5d?12?a1?2SSnn?1n?1解析：?????Sn?n(n?1)?n??lim?lim?1?22n??nn??s?12a?d?12d?2nnn??1?3

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8

15．如图球O的半径为2，圆

O1O1 是一小圆，

O1O?2?2，A、B

A O B 是圆

O1?AO1B上两点，若A，B两点间的球面距离为3，则= . ?答案：2 16．设曲线

y?xn?1(n?N)*在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为

4

xn,令

an?lgxn，

则

a1?a2???a99的值为 .

答案：-2

解析：点（1，1）在函数y?xy?xn?1nn?1(n?N)的图像上，（?1，1）为切点，*的导函数为y'?(n?1)x?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)nn?11298991??...???lg??22399100100令y=0得切点的横坐标：xn?

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中

?A?0,??0,0???a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg?2）的图象与x轴的2?3交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为

x?[M(,?2).

?(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当

M(2?3122，求f(x)的值域.

,?],?2)17、解（1）由最低点为得A=2. ?T?由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2得2=2，即T??，

M(2?3,?2)2sin(2?2?3??)??2,即sin(4?3??2?T?2???2

??)??1由点

4?在图像上的?2,k?Z

故3???2k?????2k??11?6

,故f(x)?2sin(2x?

??(0,?2),????6?又

)6 ,]?x?[?（2）

2x?122,?],　　　　?2x??6?[?7?36

2x???当

6=2，即

x??6时，f(x)取得最大值2；当

?6?7?6

5

x??2时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

即

18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱AC?AA1?3ABC?A1B1C10中， AB=1，

B1 A1 C1 ，∠ABC=60.

；

A1C(Ⅰ)证明：

AB?A1C（Ⅱ）求二面角A——B的大小。 A C

18.（本小题满分12分） 解答一（1）证： ?三棱柱

?AB?AA1ABC?A1B1C1B 为直三棱柱，

3,?ABC?600?在?ABC中，AB?1,AC,由正弦定理

?ACB?30

0??BAC?90即AB?AC

0AB?平面ACC1A1,又

A1C?平面ACC1A1即AB?A1C

（2）解如图，作由三垂线定理知

AD?A1C交

A1C于点D点，连结BD，

BD?A1C

??ADB为二面角A?AC1?B的平面角

Rt?AA1C中，AD?AA1?ACA1CABAD?63?3?36?62在

Rt?BAD中,tanADB=??ADB=arctan63

,即二面角A?AC1?B的大小为arctanABC?A1B1C163

解答二（1）证?三棱柱

为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1

6

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?60，

0由正弦定理?ACB?30

0??BAC?90即AB?AC

0如图，建立空间直角坐标系，

A(0,0,0B),(1,C0,0)(01,A3,0),则 ?????????AB?(1,0,0),A1C?(0,3,3)?????????AB?A1C?1*0?0*3?0*(?3)?0?AB?A1C????m?AB?(1,0,0)(0,0,3) 为平面

AA1C(2) 解，如图可取设平面

A1BC的法向量

的法向量为n?(l,m,n)，

????????????BC?n?0,A1C?n?0,又BC?（?1，3，0）则

???l?3m?0???l???3m?3n?03m,n?m

不妨取m?1,则n?(3,1,1) cos?m,n??m?nm?n?23?1?1?0?1?0(3)?1?1?1?0?015522222?155

?二面角A?A1C?BD的大小为arccos

19．(本小题满分12分)

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如下：

? 0 0.1 1 2 3 a p

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

0.3 2a （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

??

的概率分布为

7

? 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 P ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件次，另外一个月被投诉0次”；事件则由事件的独立性得

P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]?0.3?0.09221A1表示“两个月内有一个月被投诉2

A2表示“两个月内每月均被投诉12次”

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20．（本小题满分12分）

f(x)?ln(ax?1)?1?x1?x,x?0?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17已知函数

，其中a?0

???若????求

f(x)在x=1处取得极值，求a的值； f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

f'(x)?aax?1?2(1?x)2?ax?a?2(ax?1)(1?x)2220. 解（Ⅰ）

2,

1?a?2?0,∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?解得a?1.

f'(x)?ax?a?2(ax?1)(1?x)22,（Ⅱ）

∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

(0,??)上，f'(x)?0,①当a?2时，在区间∴f(x)的单调增区间为(0,??).

②当0?a?2时，

2?aa2?aaf'(x)?0解得x?,由f'(x)?0解得x?,由

8

f(x)的单调减区间为（0，2-aa),单调增区间为（2-aa∴

，??）.

（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

x?2?aaf(2?aa)?f(0)?1,当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在

处取得最小值

综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??). 21．（本小题满分12分）

y22已知双曲线C的方程为a255?xb22?1(a?0,b?0)e?52，顶点到渐近线的距离为

，离心率

。

（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐

????????1AP??PB,??[,2]3近线上，且分别位于第一、二象限，若，

求?AOB面积的取值范围。

21．（本小题满分14分）

y22已知双曲线C的方程为ae?52,?xb22?1(a?0,b?0),

25.离心率

顶点到渐近线的距离为5

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，

????????1AP??PB,??[,2],3二象限.若求△AOB面积的取值范围.

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点

ab?255,即abc?255,(O,a)ax?by?0的距离为255，到渐近线

∴

a?b22

9

?ab25?,?c5??a?2,?5?c,???a2??b?1,222?c?a?b2y?2??x?1.c?5,?由? 得? ∴双曲线C的方程为4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x. 设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

m??n2(m??n)????????(,),1??由AP??PB得P点的坐标为1??

y2将P点坐标代入4?x?1,2mn?(1??n)4?122.化简得?2??)?2,?tan??

12,sin2??4.?2?,?tan(,sin??设∠AOB又|OA|??5

5m4|OB|?12125n?

12(??1?S?AOB?|OA|?|OB|?sin2??2mn?1)?1,??[,2],?3 1?)?1.

S(?)?(??记

189S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,334 由

当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当

8[2,].3 ∴△AOB面积的取值范围是

??183时，△AOB的面积取得最大值3.

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

y?kx?m(m,2m), 由{

y?2x 得A点的坐标为2?k2?k

10

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