概率论习题集

第一章 随机事件及其概率

一、选择题：

1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是： （ ） A．AB?AC B．A(B?C) C．ABC D．A?B?C 2．设B?A 则 （ ） A．P(A?B)=1-P（A） B．P(B?A)?P(B)?(A)

C． P(B|A) = P(B) D．P(A|B)?P(A)

3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A与B一定独立 A．P(A?B)?P(A)P(B) B．P（A|B）=0 C．P（A|B）= P（B） D．P（A|B）= P(A)

4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则 P(AB)为： （ ） A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a

5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是 （ ）

A．A与B互不相容 B．A与B相互独立 C．A与B互不独立 D．A与B互不相容

6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A?B，则一定成立的关系式是（ ） A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．p(B|A)?1 D．p(A|B)?1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A．(A?B)?B?A B．(A?B)?B?A C．(A?B)?B?A D．(A?B)?B?A

8．设事件A与B互不相容，则有 （ ） A．P（AB）=p（A）P（B） B．P（AB）=0

C．A与B互不相容 D．A+B是必然事件

9．设事件A与B独立，则有 （ ） A．P（AB）=p（A）P（B） B．P（A+B）=P（A）+P（B） C．P（AB）=0 D．P（A+B）=1

10．对任意两事件A与B，一定成立的等式是 （ ） A．P（AB）=p（A）P（B） B．P（A+B）=P（A）+P（B） C．P（A|B）=P（A） D．P（AB）=P（A）P（B|A）

11．若A 、B是两个任意事件，且P（AB）=0，则 （ ） A．A与B互斥 B．AB是不可能事件 C．P（A）=0或P（B）=0 D．AB未必是不可能事件

12．若事件A、B满足A?B，则 （ ） A．A与B同时发生 B．A发生时则B必发生 C．B发生时则A必发生 D．A不发生则B总不发生

13．设A、B为任意两个事件，则P（A-B）等于 （ ） A． P(B)?P(AB) B．P(A)?P(B)?P(AB) C．P(A)?P(AB) D．P(A)?P(B)?P(AB) 14．设A、B、C为三事件，则AB?BC?AC表示 （ ） A．A、B、C至少发生一个 B．A、B、C至少发生两个 C．A、B、C至多发生两个 D．A、B、C至多发生一个

15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(A|B)+P(AB)=1. 则下列各式正确的是（ ） A．A与B互不相容 B．A与B相互独立 C．A与B相互对立 D．A与B互不独立

（A?B?C）?（ ）16．设随机实际A、B、C两两互斥，且P（A）=0.2，P（B）=0.3，P（C）=0.4，则P.

A．0.5 B．0.1 C．0.44 D．0.3

17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ） A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．3/4

18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为 （ ）

A．1?p1?p2 B．1?p1p2 C．1?p1?p2?p1p2 D．2?p1?p2

19．每次试验的成功率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。 A．(1?p)2 B．1?p2 C．3(1?p) D．以上都不对

20．射击3次，事件Ai表示第i次命中目标（i=1.2.3）.则表示至少命中一次的是 （ ） A．A1?A2?A3 B．S?A1A2A3 C．A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 D．A1A2A3

二、填空题：

1.若A、B为两个相互独立的事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P（AB）= . 2. 若A、B为两个相互独立的事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P（A+B）= . 3. 若A、B为两个相互独立的事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(A?B)= . 4. 若A、B为两个相互独立的事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(AB)= . 5. 若A、B为两个相互独立的事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(AB)= . 6. 若A、B为两个互不相容事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(A?B)= . 7. 若A、B为两个互不相容事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(A?B)= . 8. 若A、B为两个互不相容事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(AB)= . 9. 若A、B为两个互不相容事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(BA)= . 10. 若A、B为两个互不相容事件，且P（A）= 0.3，P（B）= 0.4，则P(BA)= .

11. 若A、B为两个事件，且P（B）= 0.7，P(AB) = 0.3，则P(A?B)= .

12. 已知P（A）= P（B）= P（C）= 1/4，P（AB）= 0，P（AC）= P（BC）= 1/6，则A、B、C至少发生一个的概率为.

13. 已知P（A）= P（B）= P（C）= 1/4，P（AB）= 0，P（AC）= P（BC）= 1/6，则A、B、C全不发生的一个概率为.

14. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，P(BA)= 0.4，则P（A+B）= . 15. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，P(BA)= 0.6，则P（A+B）= . 16. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P（A+B）= . 17. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P（AB）= . 18. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P(AB)= .

19 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P(AB)= . 20. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P(AB)= .

三、判断题：

1. 概率为零的事件是不可能事件。 2. 概率为1的事件是必然事件。 3，不可能事件的概率为零。 4. 必然事件的概率为1。

5. 若A与B互不相容，则P（AB）= 0。 6. 若P（AB）= 0，则A与B互不相容。 7. 若A与B独立，P(AB)?P(A)?P(B)。 8. 若P(AB)?P(A)?P(B)，则A与B独立。 9. 若 A与B对立，则P(A)?P(B)?1。 10. 若 P(A)?P(B)?1，则A与B对立。 11. 若A与B互斥，则A与B互斥。 12. 若A与B独立，则A与B独立。 13. 若A与B对立，则A与B对立。

（A）=P（BA）14. 若A与B独立，则P。

（A）=P（AB）15. 若A与B独立，则P。

16. 若A与B互斥，则P。 （A+B）= P（A）+P（B）17. 若P，则A与B互斥。 （A+B）= P（A）+P（B）18. 若A与B互斥，则P。 （A）= 1- P（B）19. 若A与B互斥，则P（A?B）= 1。 20. 若A与B互斥，则P（AB）= 0。

四、计算题：

1．一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次

才取得合格品的概率。

2．有10个袋子，各袋中装球的情况如下：（1）2个袋子中各装有2个白球与4个黑球；（2）3个袋

子中各装有3个白球与3个黑球；（3）5个袋子中各装有4个白球与2个黑球。任选一个袋子并从中任取2个球，求取出的2个球都是白球的概率。

3．临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应

者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%，现用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的千分之四，求：（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率。（2）试验结果呈阴性反应确实未患癌症的概率。

4．在桥牌比赛中，把52张牌任意地分发给东、南、西、北四家，求北家的13张牌中： （1）恰有A、K、Q、J各一张，其余全为小牌的概率。（2）四张牌A全在北家的概率。

5．在桥牌比赛中，把52张牌任意地分发给东、南、西、北四家，已知定约方共有9张黑桃主牌的条

件下，其余4张黑桃在防守方手中各种分配的概率。（1）“2—2”分配的概率。（2）“1—3”或 “3—1” 分配的概率。 （3）“0—4” 或“4—0” 分配的概率。

6．某课必须通过上机考试和笔试两种考试才能结业，某生通过上机考试和笔试的概率均为0.8，至少

通过一种测试的概率为0.95，问该生该课结业的概率有多大？

7．从1~1000这1000个数中随机地取一个数，问：取到的数不能被6或8整除的概率是多少？

8．一小餐厅有3张桌子，现有5位客人要就餐，假定客人选哪张桌子是随机的，求每张桌子至少有

一位客人的概率。

9． 甲、乙两人轮流射击，先命中者获胜，已知他们的命中率分别为0.3，0.4，甲先射，求每人获胜

的概率。

10．甲、乙、丙三机床所生产的螺丝钉分别占总产量的25%，35%，40%，而废品率分别为5%，4%，2%，

从生产的全部螺丝钉中任取一个恰是废品，求：它是甲机床生产的概率。

11．三个学生证放在一起，现将其任意发给这三名学生，求：没人拿到自己的学生证的概率。

12．设10件产品中有4个不合格品，从中取2件产品，求：（1）所取的2件产品中至少有一件不合

格品的概率。（2）已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率。

13．10个考签有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，求：

（1）丙抽到难签的概率。（2）甲、乙、丙都抽到难签的概率。

14．甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时射击，并假定中靶与否

是独立的，求：（1）两人都中的概率。（2）至少有一人击中的概率。

15．袋中装有3个黑球、5个白球、2个红球，随机地取出一个，将球放回后，再放入一个与取出颜色相同的球，第二次再在袋中任取一球，求：（1）第一次抽得黑球的概率；（2）第 二次抽得黑球的概率。

4．设随机变量X的概率密度为f(x)?Ae内的概率；（3）X的分布函数。

?x，???x???，求：（1）系数A；（2）X落在区间（0，1）

?1?,0?x?15．设随机变量X在[0,?]上服从均匀分布，即概率密度为f(x)???，

??0,其他求：（1）随机变函数Y?sinX的概率密度；（2）X的分布函数。

?2x,0?x?16．设随机变量X的概率密度为f(x)?? ，

0,其他?求：（1）X的分布函数。（2）Y?X2的概率密度。

7．设连续随机变量X的分布函数F(x)?A?Barctanx,???x???，

求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的概率密度。

?A?Be?2x,x?08．设随机变量X的分布函数为F(x)??

x?0?0,求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的概率密度。

?0,x?0?9．设随机变量X的分布函数为F(x)??Ax2,0?x?1

?1,x?1? 求：（1）系数A的值。（2）X的概率密度函数。

10．设X在区间[2，6]上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，，用Y表示观测值大于3的次数，

求：（1）Y的概率密度分布；（2）P{Y?2}。

11．袋中有2个白球与3个黑球，每次从其中任取1个球后不放回，直到取得白球为止，求：（1）取

球次数X的概率分布；（2）X的分布函数。

12．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现有4颗子弹，求命中后尚余子弹

数X的概率分布及分布函数。

13．从五个数1，2，3，4，5中任取3个数x1，x2，x3，求：（1）X?max{x1，x2，x3}的概率分布；（2）

P{X?4}。

14．直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可以向左或向右移动一步，向左的概率为p，

向右的概率为q=1-p，每步保持定长L，求：（1）三步后质点位置X的概率分布；（2）P{x?0}。

15．对某一目标进行射击，直到击中为止，如果每次射击命中率为p，求：（1）射击次数X的概率分

布；（2）X的分布函数。

16．设随机变量X~B(n,p),即X的概率函数为

kkn?kP{X?k}?CnPq,k?0,1,2,?,n;q?1?p

求：（1）k为何值时，P{X?k}最大；（2）最大值是多少。

17．设随机变量X~P(?)，即X的概率函数为

k! 求：（1）k为何值时，P{X?k}最大；（2）最大值是多少。

18．设随机变量X的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 P(xi) P{x?k}??ke??,k?0,1,2,?;??0

3 0.1 0.1 0.2 0.25 0.2 0.15

求：（1）X的分布函数；（2）Y?X2的概率分布。

19．设随机变量X的概率函数为 P{X?k}? 求：Y?sin(1,k?1,2,?,n,?， 2k?2X)的概率分布。

20．若随机变量X ~ B（3，0.4），即X的概率分布为P{X?k}?C3k0.4k0.63?k,k?0,1,2,3

1 求：（1）X的分布函数；（2）Y?X(3?X)的概率分布。

2

第三章、多维随机变量极其分布

一、选择题：

1．若两个随机变量X与Y相互独立同分布，且P{X = -1} = P{Y = -1}=P{X = 1}= P{Y = -1}=1/2，则下列各式成立的是 （ ） A．P{X = Y} = 1/2 B．P{X = Y} = 1

C．P{X + Y = 0} = 1/4 D．P{X Y = 1} = 1/4

2．设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z = max (X,Y)的分布函数为 （ ） A．max{FX(z),FY(z)} B．FX(z)?FY(z)

C．FX(z)?FY(z) D．1?[1?FX(z)][1?FY(z)]

3．设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z = min (X,Y)的分布函数为 （ ） A．max{FX(z),FY(z)} B．FX(z)?FY(z)

C．FX(z)?FY(z) D．1?[1?FX(z)][1?FY(z)]

344．设X，Y是两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max(X,Y)?0}=

77（ ）

165340A． B．C． D．

497749?1/?,x2?y2?15．若随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ，则X与Y的随机变量

0，其它?A．独立同分布 B．独立不同分布C．不独立同分布 D．不独立也不同分布 ?1,0?x?1,0?y?16．若随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ，则X与Y的随机变量

0,其他?（ ）

A．独立同分布 B．独立不同分布C．不独立同分布 D．不独立也不同分布

?6e?(2x?3y),x?0,y?07．若随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ，则X与Y的随机变量

0,其他?（ ）

A．独立同分布 B．独立不同分布C．不独立同分布 D．不独立也不同分布 8．若X与Y独立且都在[0，1]上服从均匀分布，则服从均匀分别的随机变量是 A．（X ，Y） B．X + YC．X2 D．X - Y

19．设随机变量（X，Y）的可能取值为（0，0）、（-1，1）、（-1，2）与（1，0）相应的概率分别为，

2c115，，，则c的值为 （ ） c4c4cA．2 B．3C．4 D．5

121210．若X与Y独立，且P{X?0}?，P{X?1}?，P{Y?0}?，P{Y?1}?，则以下正确的是

33335A．P{X?Y}? B．P{X?Y}?1C．P{X = Y}=0 D．均不正确

92)，则Z = X +Y仍服从正态分布，且有 11．设X与Y 相互独立，且X~N(?1,?12),Y~N(?2,?222A．Z~N(?1?2,?12??2) B．Z~N(?1??2,?12??2)

22C．Z~N(?1??2,?12?2) D．Z~N(?1?2,?12?2)

12．若X与Y均相互独立且服从标准正态分布，则Z = X + Y （ ） A．服从N（0，2） B．服从N（0，1） C．服从N（0，2） D．不一定服从正态分布 13．若X与Y独立，且X ~ N（0，1），Y ~ N（1，1），则 （ ）

11A．P{X?Y?0}? B．P{X?Y?1}?

2211C．P{X?Y?0}? D．P{X?Y?1}?

2214．已知X ~N（1，4），Y?aX?b,要使Y ~ N（0，1），则 （ ）

111A．a?2,b??2 B．a??1,b?2C．a?,b??1 D．a?,b?

2221100215．若总体X?N(1,2)，且统计量Y?aX?b?a??Xi?b?N(0,1)，则有（ ）

100i?1A． a=-5, b=5 B．a=5, b=5C． a=0.2, b=0.2 D．a=-0.2, b=0.2

16．设随机变量X服从正态分布X~N（0，1） Y=2X-1，则Y~ （ ） A．N（0，1） B．N（-1，4）C．N（-1，1） D．N（-1，3）

17．已知随机变量X服从正态分布N（2，22）且Y=aX+b服从标准正态分布，则 （ ） A．a = 2 , b = -2 B．a = -2 , b = -1 C．a = 1/2 , b = -1 D．a = 1/2 , b = 1

18．若X~N（1，1）密度函数与分布函数分别为f(x)与F(x) ，则 （ ） A．P(X?0)?P(X?0) B．P(X?1)?P(X?1) C．f(x)?f(?x) D．F(?x)?1?F(x)

19．设X~N(?,?2)，则随?的增大，概率P{X????} （ ）

A．单调增加 B．单调减少C．保持不变 D．增减不定

20．设随机变量X~N(?,?2)，且P{X?c}?P{X?c}，则c= （ ） A．0 B．?C．? D．?/? 21．设随机变量?~N（0，1），?=2?+1 ，则 ?~ （ ） A．N（1，4） B．N（0，1） C．N（1，1） D．N（1，2）

122．若随机变量X~N(2,22)，则D(X)= （ ）

2A．1 B．2C．1/2 D．3

二、填空题：

1. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = -1} = P{Y = -1}= P{X = 1}= P{Y = 1} = 1/2，则P{X = Y} = .

2. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = -1} = P{Y = -1}= P{X = 1}= P{Y = 1} = 1/2，则P{X +Y = 0} = .

3. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = -1} = P{Y = -1}= P{X = 1}= P{Y = 1} = 1/2，则P{X > Y} = .

4. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = -1} = P{Y = -1}= P{X = 1}= P{Y = 1} = 1/2，则P{X ?Y } = .

345. 设随机变量X与Y相互独立且P{X?0,Y?0}?,P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max(X,Y)?0}= 。

77?122?,x?y?16. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??? ，则随机变量X的边缘分布密度为

?其他?0,fX(x)= 。

?122?,x?y?17. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??? ，则随机变量Y的边缘分布密度为

?其他?0,fY(y)= 。

8. 若随机变量X与Y独立，其概率密度分别为

?e?y,y?0?2x,0?x?1fX(x)??,fY(y)??，则（X、Y）的联合概率密度为 = 。

0,其他0,y?0???cxy,0?x?y?19. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则C = 。

?0,其他?ce?(2x?3y),x?0,y?010. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则C = 。

0,其他??6e?(2x?3y),x?0,y?011. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则X的边缘概率密度为

0,其他?fX(x)= .

X????1,U??1，??1,U?1， ?1，U??1，Y???1，U?1求：（X，Y）的联合概率分布。

第四章、随机变量的数字特征

一、选择题：

?0,x?11．设随机变量X的分布函数为F(x)???x4,0?x?1 ，则EX= （ ）

??1,x?1A．?1x4dx B．?11004x5dxC．?104x4dx D．?10x4dx????1xdx

2．设X是随机变量，x0是任意实数，EX是X的数学期望，则 （ ）

A．E(X?x0)2?E(X?EX)2 B．E(X?x20)?E(X?EX)2

C．E(X?x0)2?E(X?EX)2 D．E(X?x20)?0

3．已知X~B(n,p)，且EX=2.4，EX=1.44，则参数n,p的值为 （ ） A．n= 4，p= 0.6 B．n= 6，p= 0.4 C．n= 8，p= 0.3 D．n= 24，p= 0.1

4．设X是随机变量，且EX?a，EX2?b，c为常数，则D（CX）=（ ） A．c(a?b2) B．c(b?a2)C．c2(a?b2) D．c2(b?a2)

5．设随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a，b的值为A．a= 0，b= 6 B．a= 1，b= 5 C．a= 2，b= 4 D．a= -3，b= 3

6．设?服从指数分布e(?)，且D?=0.25，则?的值为 （ ） A．2 B．1/2C．4 D．1/4 7．设随机变量?~N（0，1），?=2?+1 ，则 ?~ （ ） A．N（1，4） B．N（0，1） C．N（1，1） D．N（1，2）

8．设随机变量X的方 差DX =?2，则D(aX?b)= （ ） A．a?2?b B．a2?2?bC．a?2 D．a2?2

9．若随机变量X的数学期望EX存在，则E[E(EX)] = （ ） A．0 B．EXC．(EX)2 D．(EX)3

10．若随机变量X的方差DX存在，则D[D(DX)]= （ ） A．0 B．DXC．(DX)2 D．(DX)3

11．设随机变量X满足D（10X）=10，则DX= （ ） A．0.1 B．1C．10 D．100

12．已知X1，X2，X3都在[0，2]上服从均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)= （ ） ） （

A．1 B．2C．3 D．4

13．若X1与X2都服从参数为1泊松分布P（1），则E(X1?X2)= （ ） A．1 B．2C．3 D．4

14．若随机变量X的数学期望与方差均存在，则

A．EX?0 B．DX?0C．(EX)2?DX D．(EX)2?DX

115．若随机变量X~N(2,22)，则D(X)= （ ）

2A．1 B．2C．1/2 D．3

16．若X与Y独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y）= （ ） A．9 B．15C．21 D．27

17．设DX = 4，DY = 1，?XY= 0.6，则D(2X-2Y) = （ ） A．40 B．34C．25.6 D．17.6

18．设X与Y分别表示抛掷一枚硬币n次时，出现正面与出现反面的次数，则?XY为（ ） A．1 B．-1C．0 D．无法确定

19．如果X与Y满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ ） A．X与Y独立 B．?XY= 0C．DX-DY = 0 D．DX?DY=0

20．若随机变量X与Y的相关数?XY=0，则下列选项错误的是 （ ）

A．X与Y必独立 B．X与Y必不相关C．E (XY ) = E(X) ?EY D．D (X+Y ) = DX+DY

二、填空题：

1. 设X表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则EX2= . 2. 若随机变量X ~ B（n, p），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = ，P = .

213. 若随机变量X 服从参数为p的“0—1”分布，且DX = 2/9，DX?,EX?，则EX = .

924. 若随机变量X在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = ,b = . 5. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则EX2= .

6. 若随机变量X 服从参数为?泊松分布 X~P(?)，且EX = 1，则DX = . 7. 若随机变量X 服从参数为?指数分布X~e(?)，且EX = 1，则DX = .

8. 若随机变量X 服从参数为2与?2的正态分布X~N(2,?2)，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = . 9. 若X是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D（2X - 3）= . 10. 若X是一随机变量，D（10X）= 10，则DX = .

X2X1?1)= 2，D(?1)?，则EX = . 11. 若X是一随机变量，E(22212. 若随机变量X 服从参数为n与p的二项分布X ~ B（n, p），EX = 2.4，DX = 1.44，则p{X?1} = .

113. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ N(2,22)，则D(X)= .

214. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e（2），则E(X?X2)= .

?2x,0?x?115. 若随机变量X的概率密度为 f(x)?? ，则EX =，DX = .

0,其他??0，y?016. 若随机变量X的分布函数为F(x)???y3,0?y?1 ，则EX =.

??1,y?117. 若随机变量X1与X2都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则E(X1?X2)= .

18. 人的体重是随机变量X，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y，则EY = . 19. 若X与Y独立，且DX = 6，DY = 3，则D（2X-Y）= .

20. 若随机变量X与Y独立，则X与Y的相关系数为R（X，Y）= 。

三、判断题：

1. 对任意两个随机变量X与Y都有E（X+Y）= EX + EY 。 2. 若X是连续随机变量，则有D（X+Y）= DX + DY 。 3. 若随机变量X与Y独立，则有D（X+Y）= DX + DY 。 4. 若随机变量X与Y独立，则有E(XY)?EX?EY。 5. 若随机变量X与Y独立，则有D(XY)?DX?DY。

6. 若X与Y是两个随机变量，且有E（X+Y）= EX + EY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 7. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 8. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有CoV（X，Y）= 0 。 9. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有?XY?0。 10. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有CoV（X，Y）= 0 。 11. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有D（X+Y）= DX + DY 。 12. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有E(XY)?EX?EY。 13. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有X与Y独立。 14. 若X与Y独立，则?XY?0。

15. 若X与Y独立，则CoV（XY）= 0 。

16. 若X与Y是两个随机变量，且D（X+Y）= DX + DY，则X与Y独立。 17. 对于任意的随机变量X都有?XY?0。 18. 对于任意的随机变量X都有EX?0。 19. 对于任意的随机变量X都有DX?0。

20. 若随机变量X的期望与方差均存在，则???0， 有P{X?EX??}?1?DX?2 。

四、计算题：

1．设随机变量X服从参数为p的0—1分布，即 P{X?0}?q,P{X?1}?p;p?q?1 求：数学期望EX与方差DX。

2．设随机变量X服从参数为n、p的二项分布，即 P{X?k}?Ckkn?knpq,k?0,1,2,?,n;求：数学期望EX与方差DX。

k3．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即 P{X?k}????k!e,k?0,1,2,?;??0

q?1?p

求：数学期望EX与方差DX。

4．设随机变量X服从参数为p的几何分布，即 P{X?k}?pqk?1,k?1,2,?;q?1?p 求：数学期望EX与方差DX。

?1,a?x?b?5．设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即 f(x)??b?a

?其他?0,求随机变量X的数学期望与方差。

??e??x,x?06．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即f(x)??x?0?0, 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。

(??0)

7．设随机变量X服从参数为?,?2的正态分布N(?,?2)，即f(x)? 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。

1?,x?1?28．设随机变量X的概率密度为f(x)???1?x

?0,x?1?1e?2??(x?u)22?2,???x???

求随机变量X的数学期望EX与方差DX。

19．设随机变量X的概率密度为f(x)?e?x,???x??? 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。

2

?e?x,x?0?2XE(X?e) 设随机变量X服从参数为1的指数分布，即 求f(x)??10．

?0,x?0

11．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即P{X?k}?且E???X?1??X?2????2，求参数λ.

?kk!e??,k?0,1,2???;??0

12．设随机变量（X,Y）在以（0,1），（1,0），（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求：（1）

（X,Y）的联合概率密度；（2）E（X+Y）。

13．设二维随机变量（X,Y）的数学期望、方差及相关系数分别为 EX = EY =0，DX = DY = 2，R(X,Y)=

0.5， 求：（1）E（X +Y）;（2）D（X +Y）.

14．设随机变量（X，Y）的联合概率分布为

Y X 0 1 0 0.25 0.125 1 0.125 0.5

求：（1）cov(X,Y)；（2）R(X,Y).

115．设（X，Y）服从二维正态分布，且X?N(1,32),Y?N(0,42),R(X,Y)??

2XY设 Z?? ，求：EZ与DZ.

32

X2X1?1)?2,D(?1)?,EX?0 ， 求EX. 16．设随机变量X的数字特征满足：E(222

17．设连续随机变量X的概率密度为

?ax?b,0?x?11 且DX? ， f(x)??18?0,其他求：参数a , b及数学期望EX.

18．如果随机变量X服从正态分布N，且EX = 3，DX = 1，求P{-1≤X≤1 }。 （?，?2）（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

19．已知随机变量X服从参数为n,p的二项分布B(n,p），且EX =2.4，DX =1.44，求：P（X≤1）。

20．已知X与Y是两个随机变量，且EX?2，EX2?20；EY?3，EY2?34；（RX,Y）?0.5

（X?Y）（X?Y）求：（1）E；（2）D.

五、证明题：

1. 证明：D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y).

X?EX2. 若随机变量X的数学期望EX与方差DX均存在，令 X*? 称为X的标准随机变量，证明：

DXEX*?0,DX*?1.

第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一定有 （ ）

A．P{?1?X?1}?0.9 B．P{0?x?2}?0.9 C．P{?1?X?1}?0.9 D．P{0?x?2}?0.9 2．设X1,X2,?X9相互独立， EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9)，根据切比雪夫不等式， ???1有 （ ）

19A．P{?xi?1??}?1?? B．P{?xi?1??}?1???2

9i?1i?1?29C．P{?xi?9??}?1?? D．P{?xi?9??}?1?9??2

?2i?1i?1993．若X1、X2、?X1000为独立同分布的随机变量，且Xi~B(1,p)i?1、2?1000 即都服从参数为p的

0-1分布，则（ ）不正确

100011000A．Xi?P B．?Xi~B(1000、P) ?1000i?1i?1C．P{a??Xi?b}??(b)??(a)

i?11000D．P{a??Xi?b}??[i?11000b?1000pa?1000p]??[]

1000p(1?p)1000p(1?p)1，根据切比雪夫不等式，X的方差必16满足 （ ）

111A．DX? B．DX?C．DX? D．DX?1

164215．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足P{X?1??}?，根据切比雪夫不等

16式，则?应满足 （ ）

11 A．??4 B．??4C．?? D．??

44

二、填空题：

11. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?，根据切比雪夫不

4等式，?应满足。

12. 若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1， P{X?1?1}?，根据切比雪夫不等式，DX

4应满足。

2、?9，根据切比雪夫不等式，则???0有 3. 设X1,X2,?,X9相互独立，且EXi?1,DXi?1,i?1、4．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足P{X?1?2}?P{?Xi?9??}?。

i?192、?9，根据切比雪夫不等式， 4. 设X1,X2,?,X9相互独立，且EXi?1,DXi?1,i?1、19则???0有 P{?Xi?1??}?。

9i?1三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是相互独立

的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

2． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉

的重量超过10.2斤的概率.（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

3．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错误总数大

于120的概率。（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

4．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取25只，设他们的寿命是互相独立的，求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。 （附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

第六章、数理统计的基本知识

一、选择题：

1．若X1,X2,?,Xn是取自总体N(?,?2)的一个样本，?已知，?未知，则以下是统计量的是

（ ）

A．?(Xi?X)/? B．?(Xi?X)2/?2

2i?1i?1nnC．?Xi/? D．?(Xi?X)2/?

2i?1i?1n2n2．设总体X ~ N（0，1）X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，X与S2分别为样本均值与样本方差，

则以下不正确的是 （ ） A．nX~N(0,1) B．X/s~t(n?1)

n1C．?Xi2~x2(n) D．X~N(0,)

ni?113．设X1,X2,?,X10是取自总体N（0，1）的一个样本，Y1?(X3?X4?X5)2，

3101Y2??[Xi?(X6???X10)]2，Y3?X12?X22，则Y1?Y2?Y3~ （ ）

5i?6A．x2(3) B．x2(7)C．x2(9) D．x2(10)

24．若X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y9分别是取自总体N（1，4）和N（2，9）的样本，s12和s2分别是它2们的样本方差，则常数a= （ ）时统计量aS12/S2~F(9,8)

394A． B．2C． D．

249225．若X~x(n)，则E(X)= （ ）

A．3n B．2nC．n2?2n D．n2?n

6．设总体X的概率密度为f(x)，则X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，则有 （ ） A．min{X1,X2,?,Xn}的概率密度为f(x) B．X的概率密度为f(x) C．X与

2x?i相互独立 D．Xi的概率密度为f(x) i?1n7．若X1,X2,?,Xn是取自总体N(?,?2)的一个样本，则n(X??)/S~ （ ）

A．N（0，1） B．t(n)C．t(n?1) D．x2(n)

8．若X1,X2,X3,X4是取自总体X的一个样本，已知EX = μ，DX = σ2 未知，则下列样本函数中不

是统计量的是 （ ）

14A． X??Xi B．X1?X4?2?

4i?114142C．2?(Xi?X) D．?(Xi?X)2

?i?13i?1110029若总体X?N(1,2)，且统计量Y?aX?b?a??Xi?b?N(0,1)，则有（ ）

100i?1A． a=-5, b=5 B．a=5, b=5C． a=0.2, b=0.2 D．a=-0.2, b=0.2

10．若X1,X2,?,Xn是取自总体N(0,1)的一个样本，X与S2分别是样本均值与样本方差,则有 ( )A．X~N(0,1) B．nX~N(0,1) C．?Xi2~x2(n) D．X/s~t(n?1)

i?1n11． 设X1,X2,?,X8与Y1,Y2,?,Y9分别是取自总体N ( -1, 4 )与N（2, 5）的样本,且X与Y相互

2独立, S12与S2为两个样本方差,则服从F( 7, 9 )的统计量是 ( ) 22S125S124S25S12A．2 B．2C．2 D．2

5S24S25S12S2

二、填空题：

1n1. 若X1,X2,?,Xn是取自正态总体X~N(?,?)的样本，则X??Xi~。

ni?12X??~。 ?/nX??3. 若X1,X2,?,Xn是取自正态总体X~N(?,?2)的样本，则统计量t?~。

S/n1n224. 若X1,X2,?,Xn是取自正态总体X~N(?,?)的样本，则统计量??2?(Xi??)2~。

?i?1(n?1)S2225. 若X1,X2,?,Xn是取自正态总体X~N(?,?)的样本，则统计量??~。 2?2. 若X1,X2,?,Xn是取自正态总体X~N(?,?2)的样本，则统计量u?6. 若X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则???Xi2~。

2i?1n7. 若随机变量X与Y独立，且X ~ N（0，1），Y~x2(k)，则 Z?8. 若随机变量X与Y独立，且X~?2(k1),Y~?2(k2)，则Z?2X~。 Y/kX/k1。 Y/k21n9. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(?,?)的样本，样本均值X??Xi，则EX=。

ni?11n210. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(?,?)的样本，样本均值X??Xi，则DX=。

ni?11n2211. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(?,?)的样本，样本方差S?(Xi?X)2,则ES2。 ?n?1i?121n212. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(?,?)的样本，样本均值X??Xi，则EX=。

ni?1三、判断题：

1. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单样本，则和Y??Xi近似地服从正态分布。

i?1n2. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本，则X1与X2独立。 3. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本，则X1与X2同分布。

4. 若X1,X2,?,Xn是取自标准正态总体N（0，1），X与S2分别是样本均值与样本方差，则X~N(0,1) 5. 若X1,X2,?,Xn是取自标准正态总体N（0，1），则?Xi2~?2(n)。 X与S分别是样本均值与样本方差，

2i?1n6. 若X1,X2,?,Xn是取自标准正态总体N（0，1），X与S2分别是样本均值与样本方差，则X与S2独立。 三、证明题：

1n?21.设总体X~N(?,?)，证明：样本均值X??Xi~N(?,)。

ni?1n2

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