山西省大同一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析

2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（ ） A．2

B．4

C．

D．

2．如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（ ）

A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m＜1或m＞2

3．已知命题p、q，如果?p是?q的充分而不必要条件，那么q是p的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．已知双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，则C的渐近线方程为（A．y=±2x B． C．y=±4x D．

5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m?α，n∥α，则m∥n；

②m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

③若α∩β=n，m∥n，则m∥α，且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β其中正确的命题是（ ） A．① B．② C．③④ D．②④

6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣

7．下列叙述中正确的是（ ）

A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件 B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”

）

1

C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02≥0” D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数” 8．直线y=a与函数y=x3﹣3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，+∞）

22

9．已知圆的方程为x+y﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 10．已知f（x）=ex+2xf′（1），则f′（0）等于（ ） A．1+2e B．1﹣2e C．﹣2e D．2e 11．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（ ） A．相交 B．相切

C．相离 D．以上答案均有可能 12．如图，已知椭圆

+

=1内有一点B（2，2），F1、F2是其左、右焦点，M为椭圆上的

动点，则||+||的最小值为（ ）

A．4 B．6 C．4 D．6

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

13．已知函数f（x）=x3+ax2，曲线y=f（x）在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，则切线方程为 ． 14．已知

的左右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于x轴的直

线与双曲线左支交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则双曲线的离心率为 ． 15．已知点E，F，M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，AD，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF和MN所成的角为 ．

16．已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任意一点，AP是△AF1F2的外角平分线，且

2

=0，则点P的轨迹方程为 ．

三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．

18．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

（1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

3

2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（ ） A．2

B．4

C．

D．

【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．

【解答】解：根据题意抛物线方程化为：x=可知焦点F（0，

），准线方程y=﹣

=．

，

2

，

∴焦点到准线的距离是故选：C．

2．如果方程

表示双曲线，那么实数m的取值范围是（ ）

D．﹣1＜m＜1或m＞2

A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】由于方程

表示双曲线，可得（|m|﹣1）（m﹣2）＞0，解出即可．

【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（|m|﹣1）（m﹣2）＞0，

解得﹣1＜m＜1或m＞2．

故选：D．

3．已知命题p、q，如果?p是?q的充分而不必要条件，那么q是p的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据逆否命题的等价性即可得到结论． 【解答】解：∵?p是?q的充分而不必要条件，

∴根据逆否命题的等价性可知，q是p的充分而不必要条件， 故选B．

4

4．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）

A．y=±2x B． C．y=±4x D．

【考点】双曲线的简单性质． 【分析】运用离心率公式，令c=到结论．

【解答】解：双曲线的离心率为则=

，令c=

t，a=2t，则b=

x， ，

=t，

t，a=2t，则b=

=t，再由渐近线方程，即可得

则双曲线的渐近线方程为y=

即为y=±2x，

故选A．

5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m?α，n∥α，则m∥n；

②m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

③若α∩β=n，m∥n，则m∥α，且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β其中正确的命题是（ ） A．① B．② C．③④ D．②④ 【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】本题中四个选项涉及的命题是在线面关系的背景下研究线线、线面位置关系．①②两个选项是在线面平行、面面垂直的背景下研究线线平行与垂直，③④两个选项是在面面相交、平行的背景下研究线线平行与垂直，分别由线面平行、面面垂直的性质进行判断得出正确选项．

【解答】解：①选项中的命题是不正确的，因为直线m，n可能不在同一个平面内，故不是正确命题；

②选项中的命题是正确的，因为m⊥α，n⊥β，m⊥n成立时，α，β两平面的关系一定是相互垂直，故是正确选项；

③选项中的命题是不正确的，因为α∩β=n，m∥n时，可能m在α内，或m在β内，故不是正确选项；

④选项中的命题是正确的，因为m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面一定平行，可得α∥β，是正确选项． 故选D．

6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

5

A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．

故选：B．

7．下列叙述中正确的是（ ）

A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件 B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B” C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02≥0” D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数” 【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】A．根据充分条件的定义进行判断 B．根据椭圆的定义进行判断．

C．根据含有量词的命题的否定进行判断． D．根据逆否命题的定义进行判断．

【解答】解：A．当m=2时，两直线方程为“l1：2x+3y+4=0与l2：2+3y﹣2=0”此时两直线平行，即“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件正确． B．若A2+By2=1表示椭圆，则A＞0，B＞0，且A≠B，则“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”错误．

C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02＜0”，故C错误，

D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，故D错误， 故选：A

6

8．直线y=a与函数y=x3﹣3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，+∞） 【考点】利用导数研究函数的极值．

3

【分析】先求出函数与x轴的交点，然后利用导数求出函数的极值，结合函数y=x﹣3x的图象与y=a的图象，观察即可求出满足条件的a． 【解答】解：y=x3﹣3x=x（x2﹣3）=0 解得方程有三个根分别为，0， y'=3x2﹣3=0解得，x=1或﹣1 f（1）=﹣2，f（﹣1）=2

3

画出函数y=x﹣3x的图象与y=a

观察图象可得a∈（﹣2，2） 故选A．

9．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．

222

【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）+（y﹣4）=5， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10， 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2

=4

，且AC⊥BD， =20

．

四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4

故选B

10．已知f（x）=ex+2xf′（1），则f′（0）等于（ ） A．1+2e B．1﹣2e C．﹣2e D．2e 【考点】导数的运算．

【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，继而求出f′（0）的值．

7

【解答】解：由f（x）=ex+2xf′（1）， 得：f′（x）=ex+2f′（1）， 取x=1得：f′（1）=e+2f′（1）， 所以，f′（1）=﹣e．

故f′（0）=1﹣2f′（1）=1﹣2e， 故答案为：B． 11．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（ ） A．相交 B．相切

C．相离 D．以上答案均有可能 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得：

=

=半径，进而得到答案．

【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．

设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d． 而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|． 又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=由抛物线的定义可得：

=

=半径．

，

所以圆心M到准线的距离等于半径， 所以圆与准线是相切． 故选：B．

12．如图，已知椭圆

+

=1内有一点B（2，2），F1、F2是其左、右焦点，M为椭圆上的

动点，则||+||的最小值为（ ）

A．4 B．6 C．4 D．6

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】借助于椭圆的定义把|两边之差小于第三边得答案． 【解答】解：|

|+|

|=2a﹣（|

|﹣|

|）≥2a﹣|

|=8

﹣2

=6

，

|+|

|转化为2a﹣（|

|﹣|

|），结合三角形中的

8

当且仅当M，F2，B共线时取得最小值6． 故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

32

13．已知函数f（x）=x+ax，曲线y=f（x）在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，则切线方程为 3x+y+1=0 ．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义和两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，b，即可求出切线方程．

2

【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=3x+2ax， ∵曲线在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0， ∴曲线在点P处的切线斜率k=﹣3， 即k=f′（﹣1）=3﹣2a=﹣3，

32

解得a=3，此时f（x）=x+3x， 此时b=f（﹣1）=﹣1+3=2， 即切点P（﹣1，2），

则切线方程为y﹣2=﹣3（x+1）， 即3x+y+1=0

故答案为：3x+y+1=0． 14．已知

的左右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于x轴的直

线与双曲线左支交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则双曲线的离心率为 ． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．

【解答】解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°， ∴AF2=2AF1，又|AF2|﹣|AF1|=2a． ∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，

又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a+4c=16a，∴

2

2

2

=3．

∴e==，

故答案为：．

15．已知点E，F，M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，AD，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF和MN所成的角为 90° ．

9

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】取BC中点O，连綀MO、NO，则EF∥MO，从而∠MON是异面直线EF和MN所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF和MN所成的角． 【解答】解：取BC中点O，连綀MO、NO，

∵E，F，M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，AD，BB1，B1C1的中点， ∴EF∥MO，∴∠MON是异面直线EF和MN所成的角（或所成角的补角）， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为虎添翼， 则MN=MO==，ON=2， ∴MN2+MO2=NO2， ∴∠MON=90°．

∴异面直线EF和MN所成的角为90°． 故答案为：90°．

16．已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任意一点，AP是△AF1F2的外角平分线，且

=0，则点P的轨迹方程为 x+y=8 ．

2

2

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】根据等腰三角形“三线合一”，得到|MP|=|F2P|，从而|PF1|+|PF2|=|MF1|，结合椭圆的定义可得|MF1|=2a，运用中位线定理，即可得到动点P的轨迹对应的图形． 【解答】解：椭圆x2+2y2=8，即为可得a=2

， =0，可得

⊥

，

+

=1，

延长F1A和F2P交于M，连接OP，

可得|MP|=|F2P|，即有|PF1|+|PF2|=|AM|+|AF2|=|MF1|， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=4， ∴|MF1|=4，

10

由中位线定理可得|OP|=|MF1|=2，

因此，点P的轨迹是以点O为圆心，半径为2的圆x2+y2=8．

22

故答案为：x+y=8．

三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．

【分析】分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可．

【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a； 2

x﹣2x的最小值为：﹣1； ∴﹣1＞a，即a＜﹣1；

2

命题q：存在x∈R，使x+2ax+2﹣a=0； 即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；

2

∴△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；

∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假； ∴若p真q假：

，解得﹣2＜a＜﹣1；

若p假q真：，解得a≥1；

∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．

18．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

（1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x，从而写出函数表达式； （2）求导V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），由导数可得在x=时函数V（x）有最大值． 【解答】解：（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，

所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x， 则无盖方盒的容积V（x）=（a﹣2x）2x，0＜x＜； （2）∵V（x）=（a﹣2x）2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜； ∴V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），

11

∴当x∈（0，）时，V′（x）＞0； 当x∈（，）时，V′（x）＜0； 故x=是函数V（x）的最大值点， 即当x=时，方盒的容积V最大．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证； （2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：

方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求； 方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求． 【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD．

因为PC?平面PCD，故PC⊥BC． （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

12

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积由VA﹣PBC=VP﹣ABC，

，得

．

． ，

．

故点A到平面PBC的距离等于． 20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论． 【解答】（1）解：由题意设椭圆的标准方程为

由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a+c=3，a﹣c=1， ∴a=2，c=1 ∴b2=a2﹣c2=3 ∴椭圆的标准方程为

；

，

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

13

则

又

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0 解得：

，且均满足3+4k2﹣m2＞0

当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾； 当

时，l的方程为

，直线过定点

所以，直线l过定点，定点坐标为

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/p287.html