利润问题：一元二次方程含答案

练习2：利润问题（一元二次方程应用）

1、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元．销售量相应减少10个．

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含x的代数式表示）（4分）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大

利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）

答案：（1）10?x，500?10x； （2）设月销售利润为y元，

由题意y??10?x??500?10x?， 整理，得y??10?x?20??9000． 当x?20时，y的最大值为9000，

220?50?70．

答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元．

2.某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）． ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式；

⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？ （1）每个面包的利润为（x-5）角，卖出的面包个数为160-20（x-7）=300-20x （2）y=（x-5）（300-20x） 其中5≤x≤15 （3）y=-20x2+400x-1500， 当x＝ 400

?2×(?20)

＝10时，y最大，此时最大利润y=500（角）．

3、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每

件的销售价

（元/件）可看成是一次函数关系：

与每件的销售价

之间的函数关系式（每天的销售

1.写出商场卖这种服装每天的销售利润

利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（

），而销售的件数是（

+204），那么就能得

到一个 与之间的函数关系，这个函数是二次函数.

要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 解：（1）由题意，销售利润

=（

与每件的销售价之间的函数关系为

=－3

2

－42）（－3＋204），即 + 8568

（2）配方，得

=－3（－55）2+507

∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.

4、（2010贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示. (1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式是 ．（3分） (2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之间的函数表达式；（4分） (3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?（3分）

（1）设出一次函数的一般表达式m=kx+b，将（0，100）（100，0）代入得：

100＝b

0＝100k+b ，

解得：k=-1，b=100， 即m=-x+100（0≤x≤100），

故答案为：m=-x+100（0≤x≤100）；

（2）解：每件商品的利润为x-50，所以每天的利润为： y=（x-50）（-x+100）

∴函数解析式为y=-x2+150x-5000=-（x-75）2+625；

（3）∵x=-b 2a =- 150

2×(?1) =75，

∴在50＜x＜75元时，每天的销售利润随着x的增大而增大

5、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．

(1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

解：(1)依题意设y=kx+b，则有 所以y=-30x+960(16≤x≤32)．

(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32)(x-16) =30( =-30

+48x-512)

+1920．

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

6、每件商品的成本是120元，在试销阶段发现每件售价（m元）与产品的日销售量（x件）始终存

在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。

每件售价m元 每日销售x件 130 70 140 60 150 50 165 35 170 30 ⑴用含m的代数式分别表示出每个产品的利润： , 产品的日销售量： ； (2) 为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（m元）与日销售量（x件）之间的数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可以达到最佳值1600元。请你做营销策划员，m的值应为多少？

.解：若定价为m元时，售出的商品为 ［70－（m－130）］件

列方程得

?70?(m?130)??(m?120)?1600

2m?320m?25600?0 整理得

(m?160)2?0

∴m1＝m2＝160

答：m的值是160

练习题

1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量销售价

（元）满足一次函数：

（件）与每件的

与每

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润

件的销售价间的函数数关系式.

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

2.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元．

（1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

（1）由题意得：45+ 260?240 10

×7.5=60（吨）；

（2）由题意： y=（x-100）（45+ 260-x 10 ×7.5）， 化简得：y=- 3

4

x2+315x-24000；

（3）y=- 3

4

x2+315x-24000=- 3

4

（x-210）2+9075． ∵x≥220，

∴当x=220时，y最大=9000

答：该经销店要获得最大月利润，售价应定为每千克220元？此时最大利润是9000元．

6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；

方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；

方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。

问：①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 解：经销商甲的进货成本是=

=480000（元）

①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元）

若选方案2，得转让款1200 240=288000元，可进购B品牌服装 套，一年

内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。

②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套 元，可进购B品牌服装

套，全部售出B品牌服装后得款 出

A

品

牌

服

装

后

得

款

元，此时还剩A品牌服装（1200-x）套，全部售600

（

1200-x

）

元

，

共

获

利

，故当x=600套时，可的最

大利润330000元。

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