华师大九年级(下)数学导学案 3

九年级（下）?

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数学导学案?

（华东师大版）?

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九年级数学备课组???

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二〇一四年二月?

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九年级下册数学导学工作计划

一、 指导思想：

深入推进和贯彻《初中数学新课程标准》的精神，以学生发展为本,以改变学习方式为目的，以培养高素质的人才为目标，培养学生创新精神和实践能力为重点的素质教育，探索有效导学的新模式。

二、学生基本情况

所带九年级学生上学期成绩不理想，两极分化严重。个别学生不重视学习，学习习惯较差，学习积极性有待提高。少数学生自制能力较差，对自己要求不严，甚至自暴自弃。这些都需要针对不同情况采取相应措施，耐心教育。 三、 教材分析：

九年级数学（华师版），具有如下几个特点：

1、教材注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2、教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与一次函数的学习联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。

3、教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。

4、 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。

四、 导学目标：

1、通过学习交流、合作、讨论的方式，积极探索，激发学生的学习兴趣，改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确地数学价值观，使学生的情感得到发展。

2、掌握二次函数的基本概念、利用二次函数解决实际问题、理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，平行投影和中心投影，三视图。掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。

3、经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践又反过来作用于实践。通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象，会用归纳、演绎、类比进行简单地推理。围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，围绕初中数学“四大块”主要内容进行专题复习，适时的进行分层导学，面向全体学生、培养全体学生、发展全体学生。

五、导学安排 周次 1 2—4 5—6 7 8--13 14--17 18

授课内容 二次函数复习 圆 几何的回顾 样本与总体 初中数学总复习 模拟训练 机动 1

六、导学工作措施

1、认真学习钻研新课标，通盘熟悉初中数学教材及导学目标，认真备好每一堂课，精心制作总复习计划；

2、认真上好每一堂课，抓住关键点，分散难点，突出重点，在培养能力上下工夫； 3、注重课后反思，及时的将一节课的得失记录下来，不断积累导学经验；加强学校教师与家长、社会的联系，共同努力提高学生的学习成绩；

4、积极与其他教师沟通，加强教研教改，提高导学水平；经常听取学生良好的合理化建议；

5、注重导学中的自主学习、合作学习、探究学习等学习方式的引导；认真开展课内、课外活动，激发学生的学习兴趣。

2

2014年2月17日

第二十七章 二次函数

27.1 二次函数

导学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 导学过程： 一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) BC长(m) 面积y(m2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x) (0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10)???????????(1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

3

y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)????????(2) 三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。 2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1 2．练习第1，2题。 五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 教后反思：

27.2 二次函数的图形和性质 27.2.1二次函数y=ax2的图象和性质

导学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是导学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是导学的难点。 导学过程：

一、提出问题

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例

例1、画二次函数y=ax2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

4

x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y ? 9 4 1 0 1 4 9 ? (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为： 它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括 函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何?

(XAyB；XC0，XD>0，yC

其次，让学生填空。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。 思考以下问题：

5

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a

让学生讨论、交流，达成共识，当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：p7练习1、2、3、4。

六、小结： 1．如何画出函数y=ax2的图象? 2．函数y＝ax2具有哪些性质? 3．谈谈你对本节课学习的体会。 教后反思：

27.2 二次函数的图形和性质

27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象与性质（1）

导学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。 重点难点：

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数 y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系是导学重点。

正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系是导学的难点。 导学过程：

一、提出问题 1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

导学要点

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。 2．说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表：

6

x y＝x2 y＝x2＋1 ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? 18 ? 19 8 9 2 3 l ? 0 2 8 18 ? 3 9 19 ? (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数 y＝2x2的函数值大1。

引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 导学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 导学要点

1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数 值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得 最小值，最小值y＝－2。

11

问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关

33系?

7

11

要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：

3311

函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标

3311

不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。

331

问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

31

[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]

3 问题11：这个函数图象有哪些性质?

1

让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增

3大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。 四、练习：p10练习1、2、3。 五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系? 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质? 作业优化设计：

1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2； (2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， 111

y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2

222

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 1

你能说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?

2

1

3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛

211

物线y＝x2＋2和y＝x2－2?

22

111

4．试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质。

222教后反思：

27.2 二次函数的图形和性质

27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象与性质（2）

导学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是导学的重点。

8

难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是导学的难点。 导学过程： 一、提出问题

11

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：

22 (1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗? 导学要点

1．让学生完成下表填空。 x y＝2x2 y＝2(x－1)2 ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 导学要点

1．引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：

y＝2x2 y＝2(x－1)2 开口方向 对称轴 顶点坐标 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：

函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同； 函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 导学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象； 2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 导学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

9

2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。 问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗? 导学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：

当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。

11

问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关

33系?

11

(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到

33的。)

1

问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

31

(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。

31

问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?

3

导学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：

当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。 四、课堂练习：练习1、2、3。 五、小结：

1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。 六、作业： 作业优化设计

1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y＝4x2与y＝4(x－3)2 11

(2)y＝(x＋1)2与y＝(x－1)2

22

111

2．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2。

444 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

1

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－1/4x2的图象得到函数y＝－(x＋

4

10

1

2)2和函数y＝－(x－2)2的图象?

4

(4)分别说出各个函数的性质。

3．已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x＋1)2和函数y＝4(x－1)2的图象，

(4)分别说出各个函数的性质．

4．二次函数y＝a(x－h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系? 教后反思：

27.2 二次函数的图形和性质

27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象与性质（3）

导学目标：

1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点：

重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是导学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是导学的难点。 导学过程：

一、提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移1个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的) 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

二、试一试

你能填写下表吗? 开口方向 对称轴 顶 点 y=2x2 的图象 向上 y轴 (0，0) 向右平移 1个单位 y=2(x－1)2 向上平移 1个单位 y=2(x－1)2＋1的图象 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

11

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 三、做一做

问题4：你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?

导学要点：

1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

11

问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进

33一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

11

(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再

33向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

四、课堂练习：P15练习1、2、3、4。

对于练习第4题，提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即 y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11 五、小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 六、作业设计：

111

1．巳知函数y＝－x2、y＝－x2－1和y＝－(x＋1)2－1

222(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

11

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2－1和抛

221

物线y＝(x＋1)2－1；

2

1

(4)试讨论函数y＝－(x＋1)2－1的性质。

2

2．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；

(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；

3．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 4．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系? 教后反思：

12

27.2 二次函数的图形和性质

27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象与性质（4）

导学目标：

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 重点和难点:

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点

坐标是导学的重点。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别 bb4ac－b

是x＝－、(－，)是导学的难点。

2a2a4a导学过程：

一、情景创设

由前面的知识，我们知道，函数y?2x的图象，向上平移2个单位，可以得到函数

22y?2x2?2的图象；函数y?2x的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y?2(x?3)22

的图象，那么函数y?2x的图象，如何平移，才能得到函数y?2(x?3)?2的图象呢？ 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

15

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

22吗?

151

[因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线

222x＝1，顶点坐标为(1，－2)]

15

5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

22二、实践与探索

例1．通过配方，确定抛物线y??2x?4x?6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

解y??2x?4x?6=-2（x-1）2+8

222213

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表：

回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．（2）描

点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点． 探索 对于二次函数y?ax?bx?c，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你

完成填空：对称轴，顶点坐标．

它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y?a(x?h)+k中k的值；左

右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确

定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数y?a(x?h)+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称

轴和顶点坐标吗？

例2．已知抛物线y?x?(a?2)x?9的顶点在坐标轴上，求a的值．

分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0． 四、课堂练习

1．当a?0时，求抛物线y?x?2ax?1?2a的顶点所在的象限．

2. 已知抛物线y?x?4x?h的顶点A在直线y??4x?1上，求抛物线的顶点坐标． 五、小结

通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 六、作业设计 1．填空：

(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

5

(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；

2(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______； 1

(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；

2

(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．

2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。 3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x (3)y＝－2x2＋8x－8

1

(4)y＝x2－4x＋3

2

22222224．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。 教后反思：

14

27.2 二次函数的图形和性质

27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象的应用

导学目标：

1．会通过配方求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大值或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 重点和难点：

重点：会通过配方求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大值或最小值；

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 导学过程： 一、提出问题

问题1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于 x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。

围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y＝x(20－2x)即 y＝－2x2

＋20x

配方得y＝－2(x－5)2＋50

所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。 因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。

所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。

问题2、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 导学要点

(1)学生阅读问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx)

1

即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－)2＋225

2

11

因为x＝时，满足0≤x≤2。 所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。

22

所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。

2215

二、情景创设

例5、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题：

(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?

(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。 6－3x

让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等式组

2

??x＞0

?6－2x，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取值范围应该是??2＞0

0＜x＜2。

(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题。 三、实践与探索

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5； （2）y??x?3x?4．

分析 由于函数y?2x?3x?5和y??x?3x?4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数y?2x?3x?5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y?2x?3x?5有最低点，即函数有最小值．

2因为y?2x?3x?5=2(x?)?2222222343492，所以当x?时，函数y?2x?3x?5有最小

48值是?49． 82（2）二次函数y??x?3x?4中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线y??x?3x?4有最高点，即函数有最大值．

2因为y??x?3x?4=?(x?)?223225， 4所以当x??2532时，函数y??x?3x?4有最大值是

42回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，

a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数y?x?2x?3的最大值或最小值．

2

16

例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表： x（元） y（件） 130 70 150 50 165 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。 四、作业设计

在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值． 教后反思：

27.3

求二次函数的关系式

导学目标：

1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 重点和难点：

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、

y＝ax2＋bx＋c的关系式是导学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是导学的难点。 导学过程： 一、创设情境

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交ABAB

于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

2因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式。

17

二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m， 所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可以得到：

?4a＋2b＝0.8? ?16＋4b＝0

1a＝－5

解这个方程组，得4

b＝5

???

14

所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。

55

问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图

象相同?

问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎书 例 。

三、课堂练习：P21 练习1、2、3。 四、综合运用

例6、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。

例7、一个二次函数的图像经过点(0，1)、(2，4)、（3,10），三点，求这条二次函数的解析式。

18

五、小结

二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 六、作业设计

1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。

2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

13

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x

22轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。 教后反思：

27.3 实践与探索（1）

导学目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。 重点和难点：

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题

导学过程：

一、情景创设

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ 二、实践与探索

19

练习

在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？ 小结

确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：y?ax?bx?c(a?0)，给出三点坐标可利用此式来求．

（2）顶点式：y?a(x?h)?k(a?0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

2220

27.3 实践与探索（2）

导学目标：让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．学会用数学的意识。

重点和难点：

重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题 导学过程： 一、情景创设

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决． 二、实践与探索

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物

价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

b24ac?b2)?（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y?a(x?的形式，写出顶点坐2a4a标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。 解 （1）根据题意，得y?(x?30)[60?2(70?x)]?500??2x?260x?6500(30≤x

≤70)。（2）y??2x?260x?6500??2(x?65)?1950。

顶点坐标为（65，1950）。经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950

元。

例2、某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

X（十万元） y 0 1 1 1．5 2 1．8 ? ? 222（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告

费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广

告费的增大而增大？

21

?c?1?2解 （1）设二次函数关系式为y?ax?bx?c。由表中数据，得?a?b?c?1.5 。

?4a?2b?c?1.8?1?a???10?3123?解得?b?。所以所求二次函数关系式为y??x?x?1（2）根据题意，得

5105??c?1??S?10y?(3?2)x??x2?5x?10。

（3）S??x?5x?10??(x?)?252265。 4由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大。 三、巩固练习：

1、p26练习题1、2。

2、某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？ 四、小结

确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：y?ax?bx?c(a?0)，给出三点坐标可利用此式来求．

（2）顶点式：y?a(x?h)?k(a?0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． 教后反思：

27.3 实践与探索（3）

导学目标：

（1）会求出二次函数y?ax2?bx?c与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数y?ax2?bx?c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 重点和难点：

重点：（1）会求出二次函数y?ax?bx?c与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数y?ax?bx?c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 难点：了解二次函数y?ax?bx?c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 导学过程：

2222222

一、情景创设

给出三个二次函数：（1）y?x?3x?2；（2）y?x?x?1；（3）y?x?2x?1．它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数

222y?ax2?bx?c的图象寻找方程ax2?bx?c?0(a?0)，不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)的解？

二、实践与探索

例1．画出函数y?x?2x?3的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x?2x?3?0有什么关系？ （3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？ 解：

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）． （2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程x?2x?3?0的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0． 三、回顾与反思

（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一

元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，

再根据交点的坐标写出不等式的解集． 例2．

（1）已知抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3，当k=时，抛物线与x轴相交于两点． （2）已知二次函数y?(a?1)x?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，则a=． （3）已知抛物线y?x?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且

222222?2??2?17，则k的值是．

分析 （1）抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3与x轴相交于两点，相当于方程

2

23

2(k?1)x2?4kx?2k?3?0有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数y?(a?1)x?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程

2(a?1)x2?2ax?3a?2?0的两个实数根相等，即⊿=0．

（3）已知抛物线y?x?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程x?(k?1)x?3k?2?0的两个根，又由于???2222?17，以及

?2??2?(???)2?2??，利用根与系数的关系即可得到结果．

例3．已知二次函数y??x?(m?2)x?m?1，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数y??x?(m?2)x?m?1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程?x?(m?2)x?m?1?0有两个不相等的实数根，即⊿＞0． （2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程?x?(m?2)x?m?1?0有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0，③x1?x2?0．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程?x?(m?2)x?m?1?0有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0 四、作业设计：

1、函数y?mx?x?2m（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 2。、已知二次函数y?x?ax?a?2．

（1）说明抛物线y?x?ax?a?2与x轴有两个不同交点； （2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）； （3）a取何值时，两点间的距离最小？ 教后反思：

2222222224

本章小结与复习

导学目标：

（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。 （3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。 （5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。 （7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 导学重点和难点：

重点：能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

难点：会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 导学过程：

一、知识结构图：

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。 二、复习题组

m1．已知函数y?mx2?m，当m=时，它是二次函数；当m=时，抛物线的开口向上；当m=

时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．

2．抛物线y?ax经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为． 3．抛物线y?(k?1)x?k?9，开口向下，且经过原点，则k=．

4．点A（-2，a）是抛物线y?x上的一点，则a=； A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线y?x上的是．

5．若二次函数y?x?bx?c的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为． 三、例题探究

例1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售

222222

25

利润为多少？

例2阅读下面的文字后，解答问题． 有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、、，求证：这

个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法 辨认的文字．

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能

请说明理由；

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完 四、小结：

五、作业：

1、已知二次函数y?x?bx?1的图象经过点（3，2）。 （1）求这个二次函数的关系式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

2、已知抛物线y?ax?4ax?t与x轴的一个交点为A（-1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。 教后反思：

22

26

第二十八章 圆

28.1.1圆的认识

导学目标 1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，

2.让学生深刻认识圆中的基本概念。

导学重点 导学难点 导学过程

（一）情境导入：圆是如何形成的？

请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA绕着它

圆中的基本概念的认识。 对等弧概念的理解。

固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。 同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？ 而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） (二)问题：

据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

图28.1.1

27

︵

︵

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧， 像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习

1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？

3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？

4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。

BOCA︵︵

5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。 6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？ （四）课后小结

小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。 课后作业：

课后反思：

28.1.2圆的对称性

导学目标：

1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，

2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 导学重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 导学难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 导学过程： （一）情境导入

28

要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 (二)实践与探索1

（1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

图28.1.3 图28.1.4 实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现?AOB??AOB，AB?AB，?AB??AB。

实质上，?AOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？

在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？ （三）应用与拓展

思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。 （2）如图28.1.5，在⊙O中，AC?BC，?1?45?，求?2的度数。

（3）如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.求∠C度数.

（4）如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数

︵

︵

︵

︵

︵

图( 第28.1.5 3题) （第4题） 29

（四）课后小结

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即

（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。 （2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。 课后作业：

课后反思：

28.1.2圆的对称性(2)

导学目标

1.知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理。

2.能运用垂径定理解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 导学重点： 知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理 导学难点： 能运用垂径定理解决问题 导学过程

（一）实验情境导入

我们知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可

以如图28.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.

图 28.1.6

试一试

如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、AC与CB，你能发现什么结论？

你的结论是：_________________________________________

︵

︵

30

________________________________________________ 这就是我们这节课要研究的问题。 (二)应用与拓展

例1、 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M

1、BC＝1 cm，AD＝4 cm，那么BD＝______cm，AC＝_________cm，⊙

︵

︵

︵

︵

O的周长为___________cm．

2、若CD=8，AB=10，则OM= 3、若BM=1，CD=8，则OC=

例2、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于点C、D（1）试说明线段AC与BD的大小关系。 （2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积。

例3、在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图示，如果油面宽AB=8，那么油的最大深度是

（三）课后小结 课后作业： 课后反思：

28.1.3圆周角

导学目标：

1.知道什么样的角是圆周角

2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征

3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题

4.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。进一步体会分类讨论的思想。

31

导学重点：1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征

2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题

导学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。 导学过程： （一）情境导入

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交

的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

(二)实践与探索1：圆周角

究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。

（三）实践与探索2： 圆周角的度数

（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90?的圆周角所对的弦是否是直径 如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

启发学生用量角器量出?ACB的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90?（或直角），进而给出严谨的说明。

证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC

图28.1.9 （第1题）

180?＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝

2＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即

32

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

（二）探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？

图28.1.10 （2） 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？

我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的

大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想，如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。

（三）应用与拓展

1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所 对的弧相等吗，为什么？

2、你能找出右图中相等的圆周角吗？

3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办 法？

1、 如图，如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数． 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

图28.1.12 图28.1.11 （四）课后小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角

等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。

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课后作业：课本43页习题6、7

课后反思：

28.2.1点与圆的位置关系

导学目标：

1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系

2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径

3.渗透方程思想，分类讨论思想。

导学重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

导学难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

导学过程： （一）情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射

击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、?、1环）

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。 (二)实践与探索1：点与圆的位置关系

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距

离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。

如图28.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r， OB＝r，

OC＞r．反过来也成立，即

34

图28.2.1

若点A在⊙O内 OA?r 若点A在⊙O上 OA?r 若点A在⊙O外 OA?r

思考与练习

1、⊙O的半径r?5cm，圆心O到直线的AB距离d?OD?3cm。在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD?4cm，QD?4cm，RD?4cm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

2、Rt?ABC中，?C?90?，CD?AB，AB?13，AC?5，对C点为圆心，半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？ (三)实践与探索2：不在一条直线上的三点确定一个圆

问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。

图28.2.4 60为13

图23.2.2 图23.2.3

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决

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定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

如图28.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．

思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆

也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。 （四）应用与拓展

例1、如图，已知Rt?ABC中，?C?90?，若AC?5cm，

B例1A

CBC?12cm，求ΔABC的外接圆半径。

解：略

例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。 解：略

B

例2DOAEC例3、如图，等腰?ABC中，AB?AC?13cm，BC?10cm，求?ABC外接圆的半径。

BAOC

例3D

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（四）课后小结 本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。

课后作业：习题1、2、3、4 课后反思：

28.2.2直线与圆的位置关系

导学目标1、使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

2、进一步体会分类讨论思想。

导学重点 导学难点 导学过程

（一）情境导入：用移动的观点认识直线与圆的位置关系

1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。

2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ (二)实验与探究1：

数量关系判断直线与圆的位置关系 从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图28.2.6（1）所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图28.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图28.2.6（3）所示．此时这条直线叫做圆的割线． 如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？

用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系 用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系

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如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：

若d?r 直线l与⊙O相离； 若d?r 直线l与⊙O相切； 若d?r 直线l与⊙O相交；

所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。

（三）应用与拓展

练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：

图28.2.6 （1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.

直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。

练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的距离. 练习3、如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系？

例1、RtΔABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，CM⊥AB于M，以C为圆心，CM为半径作⊙C，则点A、B、C、AB的中点E与⊙C的位置关系分别是、、、。 解略

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（四）课后小结 本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。 若d?r 直线l与⊙O相离；

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若d?r 直线l与⊙O相切； 若d?r 直线l与⊙O相交； 习题5、6、7

课后作业： 课后反思：

28.2.3切线（1）

导学目标：1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力 导学重点：切线的识别方法 导学难点：方法的理解及实际运用 导学过程：

（一）复习情境导入:1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系． 2、请学生判断直线和圆的位置关系．

学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)

(二)实践与探索1：圆的切线的判断方法 1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d?r时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．

3、实验：作⊙O的半径OA，过A作l⊥OA可以发现：（1）直线l经过半径OA的外端点A；（2）直线l垂直于半径OA．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 三、课堂练习

思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？

OlA应该如何作？

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