拓扑学第五章 连通性

第五章 连通性

普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：

例： 设E2的一个子集（曲线）有A,B两部分构成，其中

(0,1) B X (1,0) (0,-1) X A 1x B?{(0,y)?1?y?1}

A?{(x,sin)x?(0,1)}

如右图，细线为A，粗线为B，我们很难判断它们是否连通的。

▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；

2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。

前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。 在上例中，X是连通的，但是，不是道路连通的。

§5-1 连通空间

先看一个例子：

考虑R上的两个子集(0,1)与[1,2)。它们是不交的，（即交为空集）。但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；

而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。 原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。 为此，给出一个“分离”的概念。

定义1 设A和B是拓扑空间X的两个非空子集，如果A?B??与A?B??，则称A与B是分离的。

定义2 称拓扑空间X是连通的，如果X不能表示为两个非空分离集合的并。 ●显然，连通与下面几种说法是等价的。

① X不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X没有既开又闭的非空真子集； ④ X中只有X和?是既开又闭的。

上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。

例1 （1）(R,?f)是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。

（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。 （3）E1空间是连通的。

结论（3）是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，E1常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。

证明的思路：E1中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则E1是连通的。 以下是证明：

不妨设A是E1的非空真闭集，于是只要证明A不会是开集。

设A的下确界为a，上确界为b。因为A是闭集，则有a?A,b?A。

又设x?A，不妨假定x?a（对于x?b情形可作类似的讨论），由于(x,a)?A??，即a不是A的内点，从而A不是开集。证毕。

下面讨论连通空间的性质。

定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。

证明： 设X连通，f:X?Y连续，我们要证明f(X)也连通。

不妨设f(X)?Y（否则也可以考虑f:X?f(X)）。又设B是Y的既开又闭的非空子集，则

f?1(B)是X的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质）。

又由于f?1(B)非空，并且X是连通的，故只要f?1(B)?X（不可能为?），因为映射是满射，

从而B?Y，这说明Y的既开又闭的非空子集只能有Y。于是，Y是连通的。 例2 单位圆S是连通的。

因为E1是连通的，且有映射f:E?S,f(x)?e 例3 设A?E1，则A连通 ? A是区间。 例3可作为定理1的推论。

推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间）。

事实上，这个推论适于R上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作理解即可。

即，设X连通，f:X?E，根据例3。推论立证。

引理1 若B是X的既开又闭子集，A是X的连通子集，则或者A?B??，或者A?B。 证明：显然A?B?A。由于A是连通的，则A不可能存在既开又闭的子集A?B，则要么

111i2?x1，有f(E)?S。

11A?B??，要么A?B?A，即A?B。

定理2 若有一个连通的稠密子集X，则X连通。 证明：思路：证明X的既开又闭子集只有X和?。

设A是X的连通稠密子集，且B是X的既开又闭子集。如果B??，则必有A?B??。由引理1，有A?B。

于是，X?A?B?B，从而B?X。因此，X的既开又闭子集只有X和?。 推论2 若A是X的连通子集，且A?Y?A，则Y连通。

注释：这是因为A是Y的稠密子集，由定理2，立得推论。 ●下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。

定理3 如果X有一个连通覆盖U（即U中每个成员都是连通的），并且X有一连通子集A，

A与U中每个成员都相交，则X连通。 定理意义的解释：它们构成X的U中每个成员都是连通集，

覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个X的子集A，A与

它们都相交。

证明： 证明思路：X的既开又闭子集只有X和?。

u1 u2 u3

u4 u5

A 设B是X的既开又闭子集，A是X的一连通子集。根据引理1，要么A?B??，要么

A?B。

如果A?B??，则?U?U，因U?A??，所以 U?B，并且由引理，必有U?B??（注：U是连通子集），则

B?(?U)?B??(U?B)??

U?UU?U又，如果A?B，则?U?U，U?B?U?A??，由引理，必有U?B，则 又，

U?U?U?B

U?U?U?X，故有X?B，即X?B。

Y Bx A x X 证毕。

例4 我们可以利用定理3的方法去证明E2是连通的。

2记Bx?{(x,y)y?E}，显然，E?221x?E?B1x。

1即{Bx}x?E1是E的覆盖，而?x，Bx是连通的（∵E连通） 故{Bx}x?E1是E的连通覆盖。

2记A?{(x,0)x?E}，则A连通，?x,A?Bx??。由定理3知，E连通。

1利用归纳法，可以证明E连通。 定理4 连通性是可乘的。

证明： 设X,Y都是连通空间，则{X?{y}y?Y}是X?Y的连通覆盖。取x?X，则{x}?Y连通，且与每个X?{y}都相交。由定理3知，X?Y连通。

证毕。

n§5-2 连通分支与局部连通空间

连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。

定义3 拓扑空间X的一个子集称为X的连通分支，如果它是连通的，并且不是X其他连通子集的真子集。

注释：说A是X的一个连通分支，即，若X的子集B?A，且B?A，则B一定不连通。也

就是说，连通分支是极大连通子集。

如果X是连通的，则它只有一个连通分支，即X自身。 命题1 连通分支是闭集。

证明： 设A是X的一个连通分支，由定理2，A也是连通的。由A的极大性推出A?A。因此，A是闭集。

例如，在E1中，(a,b)区间是连通的，则[a,b]也是连通的。

定义4 拓扑空间X称为局部连通的，如果?x?X，x的所有连通邻域构成x的邻域基。

注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。

粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。

“对于x?X，x的每一个邻域U，存在x的一个连通邻域V，使得V?U，此时称x处局部连通的；如果X的每一点x都是局部连通的，称X是局部连通的”。

这一解释可以从定义4直接推出。 ●连通与局部连通的关系： （1）局部连通的空间不一定是连通的。

例如，R的子空间[?1,0)?(0,1]是不连通的，但它是局部连通的。 （2）连通的空间未必是局部连通的。

例如，设是R2的子空间：X?A?B，其中 A?{(x,y)x?0,?1?y?1} B?{(x,y)0?x?1,y?sin}

p (0,-1) 这里X被称为“拓扑学家的正弦曲线”，事实上，可以看出

(0,1) A X X B 1xX?B。

1x因为，B是在连续映射f(x)?(x,sin)下的区间(0,1]的象，故B是连通的。

又X?B（即A是B的极限点或称聚点集合），故X也是连通的。而X在A的每一点p处都不是局部连通的，因而，X不是局部连通的。

命题2 局部连通空间的连通分支是开集。

证明：设X局部连通，A是X的一个连通分支，?x?A，x有一连通邻域V使得V?A，所以x是A的内点。因此，A为开集。

§5-3 道路连通性（弧连通性）

一、关于道路（或弧）的概念

道路是“曲线”概念的抽象化。

曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为0和1，则运动就是闭区

间[0,1]到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。

拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。

定义5 设X为拓扑空间，从闭区间[0,1]到X的一个连续映射f:[0,1]?X称为X中连接点。 f(0)到f(1)的弧或道路。f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点（统称端点）

注释： 道路或弧是指映射f，而不是它的象。象集f([0,1])是X中的曲线。两者不是同一个概念，有区别。

定义6 对于X中任意两点x,y，都存在X中的道路f:[0,1]?X,f(0)?x,f(1)?y，则称X为道路连通的。

例：E1是道路连通的。因为对于任意x,y?E，定义道路

1f:[0,1]?E1, f(t)?x?(y?x)?t，t?[0,1]

▲ E1中任一区间也是道路连通的。 定理5 若则X一定是连通的。

证明： 设X是道路连通的，?x0,x1?X,则有X中的道路f，使得f(0)?x0,f(1)?x1.于是x0,x1在X的同一连通子集f([0,1])中，从而它们属于同一连通分支。

由于x0,x1的任意性，故X只有一个连通分支，即X连通。

★ 注：定理5说明：

道路连通 ? 连通， 但是连通 ?（未必）道路连通

1,(0?x?1)记为B，Y上闭区间[?1,1]记x为A。我们知道X?A?B?B，且B是连通的，则B也是连通的（即X连通）。

但是，A中任一点与B中任一点不能用道路连接，即X不是道路连通的。

例如，在前面讨论过的例子中，R2中图形y?sin定理6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。

证明：设X是道路连通的，f:X?Y连续，?y0,y1?f(X)，取x0?f?1(y0),x1?f?1(y1)。

由于X道路连通，故有道路F，使得F(i)?xi,i?0,1，于是f?F是f(X)中的道路，且

f?F(i)?yi,i?0,1。这即证明了f(X)是道路连通的。

二、道路连通分支

在拓扑学中规定它的点之间的一个关系～：

若点x与y可用X上的道路连接，则说与y相关，记做x?y（弧连通的）。 可以证明，～是一个等价关系。

定义7 拓扑空间X在等价关系～下分成的等价类，称为X是道路连通分支，简称道路分支。 根据定义7，下面的结论是显然的：

（1）?x?X，x仅属于X的某一个（唯一的）道路分支。 （2）X的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。 （3）X是道路连通的 ? 它只有一个道路分支。 （4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。

附录：代数拓扑学中常见概念介绍

（一）关于流形概念

球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。

但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氏特性的拓扑空间成为流形。

定义1 一个Hausdorfrf空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En的开邻域。

★二维流形称为曲面。如E2，S（球面），T2（环面），平面和M?bius带都是曲面。 ★没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为闭曲面。 研究曲面分类问题是代数拓扑的一项重要内容。

2（二）关于同伦与基本群概念

同伦与基本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。

在拓扑学中，利用道路概念替代曲线，道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形（道路收缩变形）的概念。

定义2 设f,f?是[0,1]?X的两个道路，且f和f?都以x0为起点，以x1为终点。如果存在连续映射F:[0,1]?[0,1]?X使得对于每一个s?[0,1]和t?[0,1]，

F(s,0)?f(s),F(0,t)?x0,

F(s,1)?f?(s)F(1,t)?x1

则称f与f?是道路同伦的，F称为f与f?之间的一个道路同伦，记f?f?。

解释：所谓f与f?同伦，意味着f可以“连续的”变为f?。

★

易

0 s 1 F

x0 f X

知，同伦关

1 t f’ x1 系?是等价关系。X的所有道路在?下分成的等价类称为X的道路类。

从分析知，所谓f与f?同伦，即X上存在道路f到f?的连续变形。

从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上则不可以。见下图。

这种差别可以反映闭曲面的不同几何特征。 ●关于道路的乘法和逆

设a是拓扑空间点x到y的道路连接，b是y到z的道路连接，定义道路a，b的乘法ab是从（ab是道路a，b的乘法）。 x到z的道路连接。

?是从y连接x的道路，a?称为a的逆。 当a从x连接y，则a于是，下属结论是正确的。

f ?。 ??b（1）若a?b，则a（2）若a?b，c?d，且ac有意义，则ac?bd。

●在拓扑空间X上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为x0?X的闭合道路为对象，在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为X的基本群。

●代数拓扑学的一项重要内容即是研究基本群的性质（不同流形S，T2等上的基本群性质）。

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