上海2014年各区二模卷25题汇编

上海2014年各区二模卷25题汇编

1．（本题满分14分，第(1)小题4分， 第 (2)小题6分，第 (3)小题,4分）《2014宝山》

4（如图11），D、E为线段BC上的两个动点，且5DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作EF∥AC交AB于F，联结DF.

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域； （2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；

（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图12）． B B

求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）.

A A F F M B

D

图11

N E

图12

E A C D

C C 备用图

2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6

分）《2014崇明》

如图，反比例函数的图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），□ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A、C、D．

（1） 求直线AB的表达式； （2） 求点C、D的坐标；

（3）如果点E在第四象限的二次函数图像上， A 且∠DCE＝∠BDO，求点E的坐标．

B y O D E x C （第25题图）

3 （本题满分14分）《2014徐汇》

如图，已知∠MON两边分别为OM、ON， sin∠O=

3且OA=5，点D为线段OA上的动5点(不与O 重合)，以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．

（1） 若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2） 将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′．

① 若⊙A′与直线OA相切，求x的值； ② 若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．

图1 备用图

4．如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D 为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE 交AB于点E，∠BDE=∠A，以点D为圆心，DC的长为 半径作⊙D. 《2014普陀》

（1） 设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出 定义域；（3分）

（2） 当⊙D与边AB相切时，求BD的长；（2分）

（3） 如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD

为多少长时，⊙D与⊙E相切？（9分）

B

A E C

D

第25题

5．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第（3）小题5分）《2014杨浦》

已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=

4。点O为射线AM上的动点，以O为圆心，5BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）。

（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；

（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；

（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；

A A E B C O B C M M

备用图 图（1） （第25题图）

6．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）《2014浦东》

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB?4，点G是△ABC的重心，5AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q. （1）求AG的长；

（2）当∠APQ=90o时，直线PG与边BC相交于点M.求

AQ的值； MQ（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.

[

（第25题图）

7.如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C是AB上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N. 《2014虹口》

OM1时，求的值；

NE3OM1=时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义（2）设OM=x，ON=y，当

OD2（1）当tan?MOF域；

（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长.

8．（本题满分14分）《2014长宁》

在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=??0????90??.

(1) 如图（1），求证:∠EAP=∠EPA；

(2) 如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN=∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由.

(3) 如图（3），若DC=1，CP=3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C’处，设CQ=x，△DC’Q与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域.

DCDCDCEEFC'EQAP25题图（1）BMANP25题图（2）BAP25题图（3）B

9.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）《黄浦》 如图9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°. （1）求证：BD⊥BC； （2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y.

①当点F在线段BC上时(点F不与点B、C重合)，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时，求x的值.

DC

AB

图9

10.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）《闸北》

已知：如图11—①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结

AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC.

（1）如果AE//BC，请判断四边形ABDE的形状并证明；

（2）如图11—②，设M是BC中点，N是DE中点，联结AM、AN 、MN， 求证：△ABD∽△AMN；

（3）设BD=x，在（2）的前提下，以BC为直径的⊙M与以DE为直径的⊙N存在着哪些位置关系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）．

A A

E

N

B

B

C

图11—①

D

M

D C

图11—②

E

11.（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）

已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．

（1）设∠BAC=2?．如果用?表示∠BIC和∠E，那么∠BIC= ，

∠E= ；

（2）如果AB=1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；

3（3）如图②，延长AI交EC延长线于F，如果∠?=30°，sin∠F=，设BC=m，

5试用m的代数式表示BE．

E

（第25题图①）

B B

F

I A

C A

D

I

C D

E

（第25题图②）

答案：

1、解：（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=10，底角B满足cosB=，

∴BC=10××2=16. …………1分

4545EFBE?. …………1分 ACBCBD=x，EF=y ， DE=3

5∴y?(x?3). （0≤x≤13）. …………1+1分

85（2）依题意易得在三角形FBE中， FB=FE=(x?3). …………1分

8 若∠FDB为直角时有BD=DE. ∴x?3 …………1分

4339 又∵cosB=， ∴FD=BD??3?. …………1分

54441927 ∴三角形BDF的面积为??3?. …………1分

2485475若∠BFD为直角时，BF=EF=(x?3)=x ∴x? …………1分

85717547531350???? ∴三角形BDF的面积为? …………1分

2757549∵EF∥AC， ∴

AAFFCBDEBDEC13．…………………………………………2+2分 8k

2、解：（1）设反比例函数的解析式为y?．∵它图像经过点A（–2，5）和点B（–5，

x

(3) 平行四边形. 面积为p），

10k，∴k??10，∴反比例函数的解析式为y??．………………（1分） ?2x10∴p???2，∴点B的坐标为（–5，2）．……………………………（1分）

?5∴5=

?5??2m?n,设直线AB的表达式为y?mx?n，则?…………………………（1分）

2??5m?n,??m?1,∴?∴直线AB的表达式为y?x?7．……………………………………（1分） ?n?7.（2）由□ABCD中，AB//CD，设CD的表达式为y?x?c，……………………（1分）

∴C（0，c），D（–c，0），………………………………………………（1分） ∵CD＝AB，∴CD2?AB2∴c2?c2?(?5?2)2?(2?5)2，…………………（1分）∴c＝–3，∴点C、D的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．………………（1分） 或：∵□ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，

∴线段AB向右平移5个单位，再向下平移5个单位后与线段CD重合．…（2分） ∴点C、D的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．………………………（2分） 或：作AH⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为H、G，证得△AHD≌△CGB，…（2分）

由DH＝BG＝5，CG＝AH＝5得C、D的坐标．…………………………（2分）

[来源?5?4a?2b?3,（3）设二次函数的解析式为y?ax2?bx?3，?……………（1分）

0?9a?3b?3,??a?1,∴? ∴二次函数的解析式为y?x2?2x?3．………………（1分） ?b??2.作EF⊥y轴，BG⊥y轴，垂足分别为F、G．∵OC＝OD，BG＝CG， ∴∠BCG＝∠OCD=∠ODC＝45 o．∴∠BCD=90o，

∵∠DCE＝∠BDO，∴∠ECF=∠BDC．…………………………………（1分）

(0?5)2?(3?2)25BC??.………………………（1∴tan∠ECF=tan∠BDC=

22CD3(3?0)?(0?3)分）

设CF＝3t，则EF＝5t，OF＝3–3t，∴点E（5t，3t–3），……………（1分） ∴3t?3?25t2?10t?3，t1?0(舍去）,t2?133613.∴点E（，?）.…（1分） 25525

3、（1）解：作AF?OB，垂足为点F． ……（1分） 在Rt?AOF中，

sin?O?3AF?， 5OA2OE?5，∴AF?3， …………… （1分）

222 ∴OF?OA?AF?5?3?4

OD?x，∴AB?AD?5?x，……（1分） AB2?AF2?(5?x)2?32?x2?10x?16……（1分） ， BC ∴BF?

AB?AC,A?FA'F ∴y?2BF?2x2?10x?16(0?x?2)． …… （2分） （2）解：由题意得点A′在AF的延长线上，且A′F=AF=3…（1分） OHDA 联结A′D，作A?H?OA，垂足为点H， 在Rt?A?HA中A?H?A?A?cos?FAO?6?若⊙A′与直线OA相切，则有

124?5?x （1`分） ∴x?………（1`分）

55424?（1分）55

（3）解：?HD?HA?AD?x?7 5227??24?14?222?x?x?25． 在Rt?A?HD中，A?D?A?A?HD??x?????555???? ①若⊙A'与⊙D外切，则A?D?DO?A?B， 有x?(5?x)?

x2?1414x?25，得x?． ………………………（2`分）

55 ②若⊙A'与⊙D内切，则A?D?DO?A?B，

有x?(5?x)?

综上所述，当x?x2?1486x?25，得?x?（舍）． ………………………（2分）

15514时两圆相外切。 5

4、解：(1)∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，

∴△BDE∽△BAC，………………………………………………1′

BDBEx5?y?，即?， ABBC566 ∴y?5?x．……………………………………………………1′

525 定义域： 0

6 ∴

(2) 当⊙D与边AB相切时， DC=6–x ，

6?x4?，……………………………………………1′ x510 解得 x?．……………………………1′

3

(3) 由（1）知ED=BD=x，

rE=AE=y?5?6x，rD= DC=6–x．………………………2′ 5要使⊙D与⊙E相切，只有rE+rD=x或rD–rE=x或rE–rD=x． ………3′

①rE+rD=x时， 5?655x+6–x=x，解得 x?；……………………………1′ 516 ②rD–rE=x时， 6–x–（5?65x）=x，解得 x?；……………………………1′ 54 ③rE–rD=x时， 5?61x–（6–x）=x，解得 x??（不合题意，舍去）56[来源学&科&网]

此时无解．…………………………………………………1′

5525525<，x?<， 16646555 ∴当BD=或时，⊙D与⊙E相切．…………………1′

164 综上所述：∵x?

5、解（1）∵AM平分∠BAC，AB=BC，

∴AM⊥BC，

∵cos∠BAM=

A

34，AB=10，∴cos∠B=,BO=6，AO=8，----（1分，1分）

55作OH⊥AE，∵O为圆心，∴BH=EH,--------------- -（1分） 在Rt△BOH中，∴BE=2BH=

O P

318BH?cosB,∴BH?6??,

55BOB C

36.-----------------------------------------（1分） 5M

(2) ∵⊙A与⊙O相切，AO为⊙A半径， ∴⊙A与⊙O只可能相内切，且⊙A在⊙O的内部，------------（1分） ∴OA=OB-OA，∴OB=2OA，-------------------------------（1分） 设OA=x，则OB=2x， 作 BP⊥AM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，

[来源:Z,xx,k.Com]在Rt△BPO中，OP2?BP2?OB2,即(8?x)?6?4x，-----------（1分）

2∴3x?16x?100?0，∴x?222?8?291?8?291，（负舍），∴OA=x?.-------（2分） 3325,-----------------(1分) 4（3）过AB中点作AM的垂线交AM于点O1，可得AO1= 过B作AM的垂线交AM于点O2，可得AO2=当0?AO?25,-----------------(1分) 225时，点E在BA的延长线上；--------------------（1分） 4

2525?AO?时，点E在线段AB上；--------------------（1分） 4225当AO?时，点E在AB的延长线上。--------------------（1分）

2当

6、解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,

1 ∴BD?DC?BC，AD⊥BC.……………………………………………………（1分）

2BD3AD4?. 在Rt△ADB中，∵sinB??,∴AB5AB5 ∵BC?AB?3, ∴AB=15，BC=18.

∴AD=12.……………………………………………………………………………（1分） ∵G是△ABC的重心，∴AG?23AD?8.………………………………………（1分）

（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，

同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,

∴∠MGD=∠B.…………………………………（1分） ∴sin?MGD?sinB? 在Rt△MDG中,∵DG?4, 51AD?4， 31611 ∴DM?，∴CM?CD?DM?……（1分）

33 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴?BAD??CAD. ∵?QCM??CDA??DAC?90???DAC,

又 ∵?QGA??APQ??BAD?90???BAD, ∴?QCM??QGA,………………………………（1分） 又 ∵?CQM??GQA,

∴△QCM∽△QGA.………………………………（1分）

AQAG24?? ∴.……………………………（1分） MQMC11（3）过点B作BEBEAD,过点C作CFAD,分别交

直线PQ于点E、F，则

ADCF.…………………………………（1分）

∵BE ∴BE?AD,∴

APAG15?x8??,即, BPBExBE8x.………………………………（1分）

15?x 同理可得:

AQAGy8??,即, QCCF15?yCF ∴CF? ∵BE8(15?y).……………………………（1分） yADCF, BD?CD,∴EG?FG.

8(15?y)8x??8.（1分） ∴CF?BE?2GD,即

y15?x75?5x(0?x?15) ∴y?,.…………………（2分）

210?x7、解：（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE=90° ∴∠MOF=∠FEN

由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN=90° ∴∠MFO=∠NFE

OMOFtan?FEN?tan?MOF， ∴△MFO∽△NFE ∴由∠FEN=∠MOF可得： ?NEEFOF1OM1∴?, ∴?. EF3NE3OMOF（2）法1：∵△MFO∽△NFE , ∴.又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴?NEEFODOF， ?OEEFODOMNEOM11∴， ∴???. 联结MN, MN?DE. OENEOEOD22由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 ，∴MN=2

22在Rt△MON中，OM2?ON2?MN2,即x?y?4 ∴y?4?x2((0?x?2)

法2:易证:OD2?DF?DE, ∴(2x)2?DF?4，∴DF?x2, ∴OF?OD2?DF2?4x2?x4, xx2DMDF又易证：△DMF∽△OFN, ∴, ∴?, ?24yONOF4x?x∴y?4?x2((0?x?2)

2（3）法1：由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.

(2y)2?y2. ∴由题意，可得：OE?EF?DE ， ∴EF?4OF2xOFOD，∴2?，∴OF?xy. ?y2yEFOE由题意，可得：∠NOF=∠FEC ， ∴由△ECF与△OFN相似，可得：

OFEFOFEC??或. ONECONEFxyy2OFFE22? ①当?时，，∴y?2x， y2xONCE224又x2?y2?4，∴2x2?4?x2，解得：x1?3，x2??3（舍去）∴OD?3 333xy2xOFEC?2，∴y2?2， ②当?时，

yyONEF又x2?y2?4，∴x2?2，∴解得：x1?2，x1??2（舍去）∴OD?22 4综上所述，OD?22或3.

3

(2y)2?y2. 法2：由题意，可得：OE=2y，CE=OD=2x,OE?EF?DE ， ∴EF?4又由题意，可得：∠NFO=∠NOF=∠FEC， ∴由△ECF与△OFN相似，可得∠FEC=∠FCE或∠FEC=∠EFC. ①当∠FEC=∠FCE时，可证：∠FDC=∠FCD, ∴FD=FC, ∴FD=FE，即DE=2EF， ∴4?2y2，又x2?y2?4

2∴4?2(4?x2)，∴解得：x1?2，x1??2（舍去）∴OD?22 ②当∠FEC=∠EFC时，有CF=CE时，过点C作CG⊥EF于点G，∴EG?11EF?y2. 22易证得：EC2?EG?DE， ∴(2x)2?2y2，即y2?2x2，

22又x2?y2?4，∴2x2?4?x2，解得：x1?3，x2??3（舍去）

3344∴OD?3。综上所述，OD?22或3.

33

8、解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H. …………………………………………………(1分)

在Rt△AHD中，AH?AD?cos?A?BC?cos?A?1. ∵

AH1BC1AHBCAHAD，即. ?，?，∴??AD2CD2ADCDBCCD又∵∠C=∠A=60°，∴△AHD∽△CBD. …………………………………………………(2分)

∴∠CBD=∠AHD=90°. ∴BD⊥BC. ……………………………………………………(1分)

（2）①∵AD∥BC，∴∠ADB=90°，

∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°. ∴∠BDH=∠A=60°.

∵∠EDF=60°，∴∠BDH=∠EDF， 即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE.

∴∠EDH=∠FDB. ………………………………………………………………………(2分)

又∵∠EHD =∠CBD =90°，∴△EHD∽△FBD. ………………………………………(1分)

[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴

3x?1DHEH，∴. ∴y?4?2x(1?x?2).……………………………(2??BDBF232?y分)

②联结EF.

1°当点F在线段BC(点F不与点B、C重合)上时， ∵△EHD∽△FBD，∴

DHDEDHBD. 即. ??BDDFDEDF又∵∠BDH=∠EDF，∴△BDH∽△FDE. ∴∠DEF=90°. 在Rt△EDH中，DE?EH2?DH2?x2?2x?4.

∴EF?DE?tan60??3?DE?3x2?6x?12.…………………………………………(1分)

i) 当⊙E与⊙F内切时，x?(4?2x)?3x2?6x?12. 解得，x1?分)

ii)当⊙E与⊙F外切时，x?(4?2x)?3x2?6x?12.

解得x1?1（舍），x2??2（舍）. …………………………………………………………(1分)

2°点F与点B重合时，即 x=1 时，两圆外切. 3°当点F在线段BG(点F不与点B重合)上时，

易得CF?4?2x，且△BDH∽△FDE仍然成立. ∴EF?3x2?6x?12. 由1°计算可知x?分)

综上所述，当 x=1 时，两圆外切，当x?分)

9、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

解：（1）四边形ABDE是平行四边形…………（1分） 如图（1）∵ ∠ BAC=∠ DAE，AB=AC，AD=AE A E ∴ △ABC～△ADE……………………………（2分） ∴ ∠ E=∠ ACB=∠ B ∵ AE//BC

∴ ∠ EAB+∠ E=∠ EAB+∠ B=180o……（1分）

B C D ∴ AB//ED……………………………………（2分）

图（1） ∴ 四边形ABDE是平行四边形

（2）证明：

A ∵ AB=AC，M是BC中点

∴ AM⊥BC，AM平分∠ BAC………………（1分） E 同理AN⊥DE，AN平分∠ DAE……………（1分） ∵∠ MAN=∠ MAC+∠ CAD+∠ DAN N ∠ BAD=∠ BAM+∠ MAC+∠ CAD

∴∠ MAN=∠ BAD …………………………（1分） B M C D ∵△ABC～△ADE 图2

∴

9?579?57（舍），x2?（舍）. ………………………………………(1669?57时两圆内切. ………………………………………………(169?57时，两圆内切．……………………(16ABAM?……………………………………………………………………（1分） ADAN在△ABD和△AMN中

?ABAD??∴?AM AN???MAN??BAD∴△ABD～△AMN．………………………………………………………………（1分） （3）当x?242?4两圆外切 ………………………………………………（2分） 7当4?x?

242?4242?4时两圆相交……（1分）；x?两圆外离. ……（1分 77∠E = ?．…………………………………………………………（2分） （2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E = ?．

当△ABC ∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况： ①当∠ABC = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；

∴ 只能∠E = ∠BCA，可得∠BAC =2∠BCA． ∴ ∠BAC = 60°，∠BCA = 30°．∴ AC =2 AB． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 2．…………………（2分）

②当∠BCA = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；

∴ 只能∠E = ∠ABC，可得∠BAC =2∠ABC． ∴ ∠BAC = 60°，∠ABC = 30°．∴ AB =2 AC．

10、解：（1）∠BIC = 90°＋?，…………………………………………………（2分）

1．………………（2分） 2③当∠BAC = 90° 时，∵∠BAC = 2?，∠E = ?；

∵ AB = 1 ，∴ AC = ∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°．

∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC = AB． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 1．…………………（2分）

∴综上所述，当△ABC ∽△ICE时，线段AC的长为1或2或

（3）∵∠E = ∠CAI，由三角形内角和可得 ∠AIE = ∠ACE．

∴ ∠AIB = ∠ACF．

又∵∠BAI = ∠CAI， ∴ ∠ABI = ∠F． 又∵BI平分∠ABC， ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC．

又∵∠E是公共角， ∴ △EBC ∽△EFI．…………………………（2分）

1． 23在Rt△ICF中，sin∠F=，设IC = 3k，那么CF = 4k，IF = 5k．

5在Rt△ICE中，∠E =30°，设IC = 3k，那么CE = 33k，IE = 6k．

BCIF5k??∵△EBC ∽△EFI．∴ ． BEFE4k?33k又∵BC=m， ∴ BE =

4?33m．………………………………（2分） 5

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