平面向量习题精选精讲

习题精选精讲

向量知识点归纳与常见题型总结

一、向量知识点归纳

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x,y）,其中x、y满足 x?2（0≤?≤2π）表示）.?y ＝1（可用（cos?,sin?）

2特别：

AB??表示与AB同向的单位向量。

|AB|????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； 例如：向量?(???|AB||AC|????????????AB??例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足OP?OA??(???|AB|心。

→→→→ABACABAC1→→→

(变式)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )

→→→→2|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)

⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。) 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）

①当两个向量a和b不共线时，a?b的方向与a、b都不相同，且|a?b|＜|a|＋|b|； ②当两个向量a和b共线且同向时，a?b、a、b的方向都相同，且|a?b|?|a|?|b|； ③当向量a和b反向时，若|a|＞|b|，a?b与 a方向相同 ，且|a?b|=|a|-|b|；

若|a|＜|b|时,a?b与b 方向相同，且|a＋b|=|b|-|a|. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB?BC?AC;AB?AC?CB

????AC?????)???[0,??).则点P的轨迹一定通过三角形的内|AC 1

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???例2：P是三角形ABC内任一点，若CB??PA?PB,??R，则P一定在（ ）

A、?ABC内部 B、AC边所在的直线上 C、AB边上 D、BC边上 例3、若AB·BC?AB例4、已知向量a?(cos2?0，则△ABC是：A.Rt△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt△特别的：a?b?a?b?a?b,

?,sin?),b?(3,?1)，求|2a?b|的最大值。

分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=|(2cos??3,2sin??1)|?(2cos??5?63)?(2sin??1)

22=

8?8sin(???3)。当且仅当??2k??(k?Z)时，|2a?b|有最大值4.

评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|”就显得简洁明快。原式。 ?|2a|?|b|=2|a|?|b|?2?1?2?4，但要注意等号成立的条件（向量同向）⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，AB?BC?CA?0,（在△ABC中） AB?BC?CD?DA?0.(□ABCD中)

⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

如果两个非零向量a，b，使a=λb（λ∈R），那么a∥b； 反之，如a∥b，且b≠0，那么a=λb.

这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与λb的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤?≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设a、b都是非零向量，e是单位向量，?是a与b的夹角，则e?a?a?e?|a|?cos?.(?|e|?1) ③a?b?a?b?0（∵?=90°，cos??0)

④在实数运算中ab=0?a=0或b=0.而在向量运算中a?b=0?a=0或b=0是错误的，故a?0或b?0是a?b=0的充分而不必要条件.

⑤当a与b同向时a?b=|a|?|b|(?=0,cos?=1);

当a与b反向时，a?b=-|a|?|b|(?=π,cos?=-1)，即a∥b的另一个充要条件是|a?b|?|a|?|b|.当?为锐角时，a?b???????? b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的＞0，且a、必要非充分条件；

????例5.如已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______（答：???

2

43或??0且??13）；

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例6、已知i,j为相互垂直的单位向量，a?i?2j，b?i??j。且a与b的夹角为锐角，求实数?的取值范围。 分析：由数量积的定义易得“?a,b??a?b?0”，但要注意问题的等价性。 解：由a与b的夹角为锐角，得a?b?1?2??0.有??12.

而当a?tb(t?0),即两向量同向共线时，有??t?1?t???2得???2.此时其夹角不为锐角。故?????,?2????2,??1??. 2?评析：特别提醒的是：?a,b?是锐角与a?b?0不等价；同样?a,b?是钝角与a?b?0不等价。极易疏忽特例“共线”。

22特殊情况有a?a?a=|a|。或|a|=a?a=

a2=x?y22.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=⑥|a?b|?|a|?|b|。（因cos??1）

(x1?x2)?(y1?y2)22

⑦数量积不适合乘法结合律.如(a?b)?c?a?(b?c).（因为(a?b)?c与c共线，而a?(b?c)与a共线）

⑧数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a?c?b?c并不能得到a?b这是因为向量不能作除数，即1c是无意义的.

(6)向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝a?ba

????????(7) e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)特别：. OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B

?????共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线

?????????1???例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若?BO＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200＝（ ）

2A．50 B. 51 C.100 D.101

?????????例8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且

?1??2?1,则点C的轨迹是_______（直线AB）

例9、已知点A,,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2),(2,2t?t).若存在实数?,

使OC??OA?(1??)OB,则t的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 例10下列条件中，能确定三点A,B,P不共线的是： ．．．

A．MP?sin

C．MP?sin220?MA?cos20?MB 20?MA?cos70?MB

22B．MP?sec220?MA?tan220?MB 31?MB

2 D．MP?csc31?MA?cot22 3

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分析：本题应知：“A,B,P共线，等价于存在?,??R,使MP?。 ?MA??MB且????1”

?????????????????????????????1(8)①在?ABC中，PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心；3?AB?12???BC?AD则AD过三角形的重心；

o例11、设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、b2、b3，满足bi?2ai，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i?1,2,3，则（D）（06河南高考）

A．?b1?b2?b3?0 Bb1?b2?b3?0 C．b1?b2?b3?0 D．b1?b2?b3?0

????????????????????????②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(?BAC的角分线所在直线)； ③向量?(???|AB||AC|?????????????????????????④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；(选)

⑤S⊿AOB＝

12xAyB?xByA;

????????????????????例12、若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为____（答：直角三角形）； ?????????????????|AP|例13、若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，设??????，则?的值为___

|PD|（答：2）；

??????????????例14、若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则内角C为____（答：120）；

(9)、 P分P1P2的比为?,则P1P=?PP2,?＞0内分;?＜0且?≠-1外分.

OP＝

OP1??OP21??;若λ＝1 则OP＝

12(OP1+OP2);设P(x,y),P1(x1,y1),

x1??x2x1?x2?x1?x2?x3??x?,x?,x?,??????321??P2(x2,y2)则?;中点?重心?

y?y?yy?yy??y232?y?12?y?1?y?1...???3?2?1???说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。

??例15、已知A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且|AB|?3|AP|，则P点的坐标是（ ）（2，0），（6，-6）

??????x??x?h??(10)、点P(x,y)按a?(h,k)平移得P?(x?,y?),则PP?＝a 或? 函数y?f(x)按a?(h,k)平移得函数方程为：

?y??y?k（1）向量按向量平移，前后不变； y?k?f(x?h)说明：

（2）曲线按向量平移，分两步：ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致；

4

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ⅱ按左加右减，上加下减（上减下加） ?22例16、把函数y?2x的图象按向量a?(2,?2)平移后得到的解析式是_________。y?2x?8x?6

??例17、函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________（答：(??4,1)）

结论：已知A(x1,y1),B(x2,y2),l:Ax?By?C?0,过A,B的直线与l交于点P,则P分AB所成的比是

???Ax1?By1?CAx2?By2?C,若用此结论,以下两题将变得很简单.

例18、已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(?1,1),(2,2)，若直线l的方程是x?my?m?0，直线l与PQ的延长线相交,则m的取值范围是________. 解:由???Ax1?By1?CAx2?By2?C得??1?2m2?3m,因为直线l与PQ的延长线相交,故???1,解得?3?m??23

变式:已知点A(2,-1),B(5,3).若直线l:kx?y?1?0与线段AB相交,求k的范围.

提示: 由???Ax1?By1?CAx2?By2?C 得:???2k?25k?2?0及直线过端点得?1?k?25

????????????????（11）对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC，

则四点P、A、B、C是共面?x?y?z?1．注意：（1）起点相同 （2）系数和是1。 （12） 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=21a1b1?a2b2?a3b3a?a?a2223b?b?b212223（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）.

（13）空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 dA,B=|AB|?????????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1). 1????????(|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

22222（14）点Q到直线l距离h?|a|b?（15）正弦定理

asinA?csinCsinB?2R（R是三角形的外接圆半径）

说明：正弦定理可直接进行边角转换；

例15：在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且提示：

cosBcosC

??b2a?c，求B的大小。

cosBcosC2a?c2sinA?sinC3例16：在?ABC中，若sinC?2cosAsinB，则此三角形必是____三角形（等腰）

提示：c?2cosAb?c?2（16）余弦定理

??b??sinB?B?2?b?c?a2bc222222b?a?b

22222a?b?c?2bccosA;b?c?a?2cacosB; c?a?b?2abcosC.

111（17）面积定理①S?aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222222 5

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②S?③S?OAB?1212casinB. 2?????????????????????????????1???22(|OA|?|OB|)?(OA?OB)=OA?OBtan?(?为OA,OB的夹角)

22C2?absinC?1bcsinA?1（18）三角形内角和定理 在△ABC中，有

A?B?C???C???(A?B)??2?A?B2?2C?2??2(A?B).

说明：（1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）ⅰ：两边之和大于第三边；ⅱ：斜边大于直角边；ⅲ：正（余）弦定理；ⅳ：面积公式；ⅴ：内角和是180；ⅵ：大角对大边ⅶ：tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanCⅷ：正弦、余弦函数的单调性； 锐角三角形中有：A?B?0?2?A??2?B?sinA?sin(?A??2?B)?cosB

钝角三角形中有（C是钝角）：A?B??B)?cosB

222例17：定义在R上的偶函数f(x?1)??f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，?,?是锐角三角形的两个角，则（ ）A、

???B?sinA?sin(?f(sin?)?f(cos?) B、f(sin?)?f(cos?)

C、f(sin?)?f(sin?) D、f(cos?)?f(cos?) （19）平面两点间的距离公式

????dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

22（20）向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则

a∥b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

????????（21）线段的定比分公式 设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,?是实数，且P1P??PP2，则

x1??x2?????????x??????????????????1OP1??OP2?1???OP??OP?tOP1?(1?t)OP2（t?）. ?y??y1??1??2?y?1?1???（22）平面向量的综合问题

向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得

它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。

一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理。

?例19．设平面向量a?(32?,?12??),b?(?12,32)，若存在不同时为0的两个实数s,t及实数k?0，使

??x?a?(t?k)b,y??sa?tb且x?y。

（1）求函数关系式s?f(t)；（2）若函数s?f(t)在[1,??)是单调函数，求k的取值范围。

分析：由数量积的坐标运算，不难得出s?f(t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算；f(t)在[1,??)是单调

''2???函数，等价于“f(t)?0或f(t)?0在[1,??)上恒成立”。

?解：（1）?a?(

32,?12?),b?(12,32??????)，?|a|?|b|?1,且a?b?0，又?x?y

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3?x?y?0即[a?(t?k)b]?(?sa?tb)?0由此得：s?t?kt

???2??（2）f(t)?3t'2?k，又?f(t)是单调函数，

'2若f(t)是增函数，则f(t)?0，恒有3t若f(t)是减函数，则f(t)?0，恒有3t综上0?k?3.

'?k,而t?[1,??)，?0?k?3 ?k,而t?[1,??)，这样的k不存在

2评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。

例20、在?ABC中，AB?AC|AB|?12，

BA?BC|BA|?32，又E点在BC边上，且满足3BE?2EC，以A、B为焦点的双曲线经过C、

E两点.求此双曲线的方程.

分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。 解:以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， ∴A（-1，0），B（1，0） 作CD⊥AB于D，由已知AB?AC|AB|22?12， ∴|AC|cosA=

12，即|AD|=

12，同理又∵ BA?BC|BA|?32，∴|BD|=

32，

设双曲线的方程为

xa22?yb??1 (a>0,b>0),C(-212,h), E(x1,y1)

x1?又∵ 3BE?2EC，∴??5 又∵E、C两点在双曲线上，

??y?2h1?5?2?1h??1∴?,解答：a2=?4a2b2?2?4?4h?1,a2?b2?122?25b?25a17,b2=

67, ∴双曲线的方程为：7x2-

76y=1.

2例21．设x,y?R，且x?y?1，求证：(1??1x)(1?1y)?9

分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“a?b?|a||b|”，构造向量解决，不失为一种别致的想法。

证：设a?(1,1x),b?(1,1y2)，则a?b?1?1xy1x，而|a|?|b|?(1?1x)(1?1y2)。

由a?b?|a||b|得，(a?b)?|a||b|，(1?22)(1?1y)?(1?1xy)?(1?2x?y)?9.

2评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质

“a?b?|a||b|”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 -- 向量法。“构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识”，仔细体会，别有情趣。

向量问题的坐标解法

向量的坐标表示是将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单方便，下举例说明。 例1. 设O在△ABC的内部且满足

7

，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）

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A. 2 B. C. 3 D. 解：如图1建立坐标系。

图1

设A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），则

因为即所以从而

说明：原解答分别取AC、BC中点求解，同学们不易想到，而建立坐标系求解则轻松、自然。 例2. 四边形ABCD中，若解：如图2建立坐标系。

，求

。

图2

设

，则

代入已知条件得：

即

所以

取最小值时P点的位置。

例3. 设P为△ABC所在平面内一点，求解：设则

（其中m为常数）

所以，当

例4. P为△ABC所在平面内一点。求证：

即P为△ABC的重心时，

8

取得最小值。

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证明：如图3建立坐标系。

图3

设

，则

从而

说明：原解答利用垂心的性质证之，要求较高，证法较烦，显然坐标解法相对简练。 例5. O为△ABC内一点，记证明：如图4建立坐标系。

，求证：

图4

设则

从而

由于

所以

平面向量数量积的八大热点问题 一、平行问题

这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量例1. （2005广东）已知向量

解：由，根据向量平行的充要条件，得： 二、垂直问题

这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量

9

，且

，解得

，则

故

，且，则。

_______。 。应填4。

，则。

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例2. （2005福建）在△ABC中，∠C＝90°，

，则k的值是（ ）

A. 5 B. C. D. 解：由，又∠C＝90°，则

，解得k＝5故选A。 ，进而转化为

，从而求出k。

由向量垂直的充要条件，得： 点评：本题运用∠C＝90°，转化为三、求模问题 若

则

，或

，对于求模有时还运用平方法。 ，若

不超过5，则k的取值范围是__________。

解得：

，故填

。

例3. （2005湖北）已知向量

解：由，又，由模的定义，得： 评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。 例4. （1）（2004全国）已知A.

B.

C.

D. 4

，向量

，则

，故选C。

均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

＝（ ）

（2）（2004湖南）已知向量解：（1）所以

的最大值是___________。

（2）由题意，知

又

评注：模的问题采用平方法能使过程简化。 四、求夹角问题

则的最大值为4。

求夹角可用解决。

，且

，则向量

与

的夹角为（ ）

例5. （2005北京）若

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

解：设所求两向量的夹角为θ，由，有，即又所以θ＝120°，而选C。 五、辩析型问题

主要考查向量的数量积是向量间的一种乘法运算，结果是一个数量，注意与实数的乘法运算区别，特别是不满足结合律，消去律。

例6. （2004湖北）已知为非零的平面向量。甲：，乙：，则（ ）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 解：命题甲：由命题乙：六、求向量

故乙

甲，但甲

得

从而

，或

，或

。

，故甲是乙的必要但不充分条件，而选B。

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例7. （2004江苏）平面向量

中，已知

，且

，则向量

____________。

解：设所成的角为又，则故向量共线并同向

又，故七、求数量积

例8. （2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足等于___________。

，则的值

解法1：运用定义

以上三式相加，得所求为

解法2：整体处理 由即

解法3：挖掘隐含

。

得

，故填

。

由平面上三点A，B，C构成以B为直角顶点的直角三角形，知故

八、交汇问题

是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。

例9. （1）（2005上海）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足（2）（2005湖南）已知直线

与圆

相交于A、B两点，且

故应填

，则点P的轨迹方程是___________________。

，则

___________。

解：（1）由，有，即（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120°，则

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故填。评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。 向量在代数中的应用 1. 等式证明

证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。

例1. 已知，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证分析：由实数x，y，z与实数a，b，c对应成比例，联想到向量平行，进而联想到向量坐标。 解：构造向量

m与n的夹角为θ，

，则

。

由此得θ＝0或θ＝π所以m//n因此

例2. 已知，求证

分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量。 解：设

。

n与m的夹角为θ，则

移项两边平方，经整理可得

又所以cosθ＝1，θ＝0所以m//n因此2. 不等式证明

证明不等式主要依据有关向量的不等式

例3. 已知a，b，c解：构造向量

由向量不等式得

3. 解有关三角问题 例4. 求函数解：原式可化为则

令

所以的最值。

构造向量即

，且

，求证

所以

。

例5. 已知

解：原条件可化为

，且，求α，β的值。

构造向量

则由α，β的地位相同知4. 求解无理函数的最值

求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。 首先我们来看几个向量的性质： 性质1 若

，则

当且仅当

12

时等式成立

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性质2 性质3 （1）例6. 求函数解：构造向量

型（

同号）

的最大值。

由性质1，得

，当且仅当a，

同向平行时右边等式成立，a，，当且仅当

反向平行时左边等式成立。

方向相同且两两平行时等式成立。

当且仅当

（2）

例7. 求函数

的最大值。 型

，即时，

解：原函数可变为取且

构造向量由性质1，得

从而

（3）例8. 求函数解：构造向量

型（

）

当且仅当，即时，

的最小值。 由性质2，得

当且仅当a与b同向平行时等式成立所以（4）其它类型 例9. 设

（i＝1，2，??，2003）为正实数，且

（此时）

，试求

的最小值。

解：构造向量

由性质3，得

即

例10. 已知解：构造向量

，求

的最小值。

13

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从而

由性质3，得

所以

向量构造法

向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础： （1）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|. （2）|a·b|?|a|·|b|。 一. 证明不等式

????通过构造向量，利用向量的重要不等式：|a|?|b|?|a?b|，或|a·b|?|a|·|b|，以达证明不等式之目的。

例1. 设a、b、c、d均为正数，求证

a?b22?c?d22?(a?c)?(b?d)22

?????? 证明：构造向量m?(a，b)，n?(c，d)，由|m|?|n|?|m?n|得

a?b22?c?d22?(a?c)?(b?d)

222例2. 若a?b?c?1，求证：a?b?c22?13

??? 证明：构造向量m?(a，b，c)，n?(b，c，a)，p?(c，a，b)

????????? 则m?n?p?(a?b?c，b?c?a，c?a?b)?(1，1，1)于是由|m|?|n|?|p|?|m?n?p|

有3a2?b?c22?3 得a2?b?c22?13 将例1推广到更一般的形式，即有

例3. 若a1，a2，a3，?，an和b1，b2，?，bn都是正数，则

a1?a2???an222?b1?b2???bn222?(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)222

?????? 证明：构造向量m?(a1，a2，?，an)，n?(b1，b2，?，bn) 于是，由|m|?|n|?|m?n|得

a1?a2???an222?b1?b2???bn222?(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)222

从上述证明，发现条件a1，a2，?，an和b1，b2，?，bn是正数是多余的。

14

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???? 而且利用|m|?|n|?|m?n|还可以推出

a1?a2???an222?b1?b2???bn222?(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)222

例4. 设任意实数x，y满足|x|?1，|y|?1， 求证：

11?x?2?11?y2?21?xy2

证明：构造向量a?(?11?x2，11?y2)，b?(1?x，21?y)

????222 由向量数量积性质(a?b)?|a||b|得 4?(11?x2?11?y2)(1?x?1?y)

22 所以

11?x2?11?y2?42?(x?y)4422?42?2xy22?21?xy3 即

11?x2?11?y2?21?xy

例5. 设a，b为不等的正数，求证(a?b)(a?b)?(a?b)

32????223322 证明：构造向量m?(a，b)，n?(a，b)，则 (a?b)?(m?n)

??222?|m||n|cos???22?|m||n|

?? ?(a?b)(a?b) 因为a，b为不相等的正数，所以m??n，即??0，?

4422 所以(a4?b)(a?b)?(a?b)

422332例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：(1?1x)(1?1y)?9。

?证明：构造向量a?(1,1x?),b?(1,1y??)，则a?b?1?1xy??，而|a|?|b|?1?1x?1?1y?(1?1x)(1?1y2)，

由|a·b|?|a|·|b|，得|a·b|?|a|·|b|所以(1?2221x)(1?1y)?(1?1xy)?(1?22x?y)?9

例7.求证：(ac?bd)??2?(a?b)(c?d)证明：设OA?(a,b),OB?(c,d)

??2222??（1）当OA,OB至少有一个为零时，所证不等式0?0成立；（2）当OA,OB都不是零向量时，设其夹角是?，则有

??cos??OA?OB???ac?bda?b?22|OA|?|OB|22c?d222，

因为|cos?|?1，即(ac?bd)?(a?b)(c?d)

22点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！ 二.研究等量关系

15

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例8.已知：

sin4xa?cosb4x?1a?b2nn?1(a?0,b?0)。

2nn?1证明：对于任何正整数n都有

sinax?cosbx?1(a?b)2n?1分析：借助向量不等式|a·b|?|a|·|b|等号成立的条件，构

造向量，可化难为易。证明：构造向量p?(sin2axcos,xb),q?(a,b)，则p?q?sin2x?cos2x?1

|p|?|q|?sin4xa?cosb24x?a?b?1，所以p?q?|p|?|q|，故p,q同向，则p??q

22即

sin2xa??a,cosxbsa2n??b，所以

sinxa2?cosb2x??代入题设得：?(sin2x?cos2x)?1a?b???1a?b，

于是

xic?n?12nbn?1xno?sx(isxa)n?1in?c2nx(oc2xb)n?1os??n?1s?1(a?b)n?1所以

saxic?n?12n2nbn?1xno?1s(a?b)n?1

例9.已知cos??cos??cos(???)?32，求锐角?,?。

分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出?,?的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。 解：由已知得(1?cos?)cos??sin?sin????32???cos?，构造向量a?(1?cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，

??则a?b?(1?cos?)cos??sin?sin??由|a·b|?|a|·|b|，得(22232?cos?，?|a|?|b|?22?2cos?

32?cos?)?2?2cos?，即(cos??12)?0

2?cos??12????3，则sin(?6??)?1????3

三.求值域或最值 例10.求函数y?x?3?10?9x的最大值。

2解答，将会使求解非常容易。 解：原函数可变为y??3?构造向量a?(13?3x?10?9x22，设f(x)?13?3x?10?9x2，因为(3x)?(10?9x)222?10，所以

13,1),b?(3x,10?9x)由|a·b|?|a|·|b|

得|13?3x?10?9x2|?122()?1?3(3x)?(10?9x)222?103，从而

y??3?103?13，当且仅当

16

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10?9x32?3x,x?13时，ymax?13

例11.求函数y??x?x?1?1232?2x?x?1的值域。

1232????????2解：设a?(x?,),b?(x?,)，?y?|a|?|b|，?a,b不共线?||a|?|b||?|a?b|?1，即?1?y?1

例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求

2x?1?2y?1的最大值

证明：构造向量2a?(1,1),22b?(2x?1,2y?1)根据(a?b)?|a|?|b|得：(1?2x?1?1?2y?1)?(1?1)(2x?1?2y?1)即 1?2x?1?1?2y?1?8?22 故2x?1?2y?1 最大值 为22.2222

利用向量数量积的一个重要性质|a·b|?|a|·|b|，变形为|a·b|?|a|·|b|可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力

总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题 ,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效. 平面向量

1、设i,j分别是直角坐标系x轴，y轴方向上的单位向量，若在同一直线是有三点A、B、C且

????????OA??2i?mj,OB?ni?j,OC?5i?j,OA?OB。

求实数m,n的值

解：

∵OA?OB∴?2n?m?0????①?∵A、B、C三点在同一直线上

??∴存在唯一的实数?使得AC??AB?AC?OC?OA?7i?[?(m?1)j)?1' ???7??(n?2)?? AB?OB?OA?(n?2)i?(1?m)j?∴??m?1??(m?1)消去?得到mn?5m?n?9?0????②?

由①得到m?2n，代入②解得m?6,n?3或m?3,n?32

2、已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为可值时：（1）ka+b与a-3b垂直；（2）ka+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？

17

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[解] （1）k·a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。当(ka+b)·(a-3b)=0时，这两个向量垂直，∴由10(k-3)+(2k+2)×（-4）=0??得k=19。 （2）当ka+b与a-3b平行，存在惟一的实数λ，使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得??k?3?10??2k?2??4?

1?k???1?3解得?此时-a+b与a-3b反向。

3????1?3?3、设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。 [解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=

7。

同理得|b|=

7。又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-

72，∴ cosθ=

a·b|a|·|b|?=

727=-

12,∴θ=120°.

7?4、以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和AB。 [解] 如图8，设B(x,y),

则OB=(x,y), AB=(x-4,y-2)。∵∠B=90°，∴OB⊥AB，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。① 设OA的中点为C，则C(2,1), OC=（2，1），CB=(x-2,y-1)

?x1?1?x2?3∵△ABO为等腰直角三角形，∴OC⊥CB，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②解得①、②得?或?

y?3y??1?1?2∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB=(-3,1)或AB=（-1,-3）

5、已知两个向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a⊥b。[证明] 如图9，OA=a, OB=b。

18

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（1）充分性：若OA⊥OB，OBCA为矩形，则|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA| ∵OBCA为矩形，∴|OC|=|BA|，即|a+b|=|a-b|

（2）必要性：∵|a+b|=|OC|,|a-b|=BA,且|a+b|=|a-b|,∴|OC|=|BA|, ∴平行四边形OBCA为矩形，∴a⊥b，即a的方向与b的方向垂直。

??????????6、（本小题满分12分）若(a?b)?(2a?b),(a?2b)?(2a?b)，试求a,b的夹角的的余弦值。

??????????????(a?b)(2a?b)?0解：由(a?b)?(2a?b),(a?2b)?(2a?b)，得?? ?????(a?2b)(2a?b)?0?2???2?5??25??2a?a?b?b?02|b|即|a|?|b|（8分）即??（4分）， ?|a|?， ?2??288??2a?3a?b?2b?0?????101a?b10????222???又a?b?b?2a??|b|,?cos???，所以a,b的夹角的的余弦值为?。（12分）

10410|a|?|b|7、设e1，e2是两个垂直的单位向量，且a??(2e1?e2)，b?e1?（1）∵a∥b ∴a=mb 即?2e1?e2?me1?m?e2

（1）若a∥b，求?的值；（2）若a⊥b，求?的值． ?e2．

∴???2?m??1??m?解得：m=-2， ???12 6分

（2）∵a⊥b， ∴a·b=0，(?2e1?e2)?(e1?即?2e1?2?e1?e2?e2?e1??e22?e2)?0

?0 -2+?=0 ∴??2 12

??????3xx?3x3x???????fx?a?b?2?a?b8、已知向量a??cos，，且．若 的最小值是，b?cos,sin,sinx?0,???????222?22????2?求?的值．解：a · b?cos| a＋b |?32xcos212x?sin32xsin122x?cos2x……………………2分

(cos32x?cos12x)?(sin32x?sin12x)?2?2cos2x?2|cosx|?4分

?x?[0，?2] ∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x

22 ∴f (x)＝a · b－2?｜a＋b｜即f(x)?2(cosx??)?1?2?????6分

19

习题精选精讲

?x?[0，?2] ∴0≤cos x≤1 ①若?＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；?? 8分

②若0≤?≤1，则当且仅当cos x＝?时，f (x)取得最小值?1?2?2， 由已知得?1?2??? 由已知得1?4???232，解得：??12 ③若?＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值1?4?，

为所求．

2829、已知△ABC的顶点坐标为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在边AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分． 设PA??AB,QA??2AC,则1?12PAABQAAC3434124?5?11??13，解得：??5，这与??1相矛盾．综上所述，??1 ??1??3423??4分 又

S?APQS?ABC?|APAB|?|AQAC|

?||||?2323|?2|,则|?2|?23又?2?0,??2????8分，设点Q的坐标为（xQ，yQ），

则1?xQ?(?1?)?7,O?yQ?(?)?(?4)23，得xQ?5,yQ??83,?Q(5,?83)

1?10、已知|a|＝1，|b|＝2，①若a∥b，求a · b；②若a、b的夹角为60°，求|a＋b|。

解：（1）∵a∥b ∴a与b的夹角θ为0或π 当a与b的夹角θ为0时， a · b＝|a| ·|b| cosθ＝1×

2×cos0＝2

2×cosπ＝－2

当a与b的夹角θ为π时， a · b＝|a| ·|b| cosθ＝1×

22（2）|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝|a|2＋2|a|·|b|cosθ＋|b|2

2

2

…………10分

＝12＋2×1×

2×cos60°＋(2)2＝3＋2 ∴ |a＋b|＝3?2

→→→

11．(本题满分12分）已知向量OA =3i－4j，OB =6i－3j，OC =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．

（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

3→→→→→→. （1）AB =（3，1） ，AC =（2－m，－m），AB 与AC 不平行则m≠1 .（2）AB · AC =0 m=

212．（本题满分12分）

已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120o．（1）求证(a－b)⊥c；（2）若│ka＋b＋c│>1(k∈R)，求k的取值范围．

．（1） 只需证（a－b）·c=0（2） 将不等式两边平方得 k>2 或 k<0 13． （本题满分14分）

已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a＋（x2－3）b，d=－ya＋xb，如果a⊥b，c⊥d，且|c|≤10 ． （1）求x、y的函数关系式y=f（x）及定义域；（2）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值． 提示：（1） 由 |c|≤10 ，及a·b = 0得 －（2）单调增区间为[－

6≤ x ≤6又由c⊥d 得 y =x3－3x

6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1]最大值为f（6）=36,最小值为f（－6）=－36 .

20

习题精选精讲

14、（8分）已知?ABCD的顶点A（0，-9），B（2，6）， C（4，5），求第四个顶点D的坐标． 解法一：设D坐标为（x,y），对角线AC与BD的交点为O

0?4?9?5∵点O为A、C中点，易得O（），即O(2,-2) ,22DAOBC?2?x?2??x?2?2又∵点O为B、D中点，则?，解得?，故D坐标为(2,－10)

y??106?y????2??2????????解法二：设D坐标为（x,y），依题意得，AB?DC

?????????4?x?2而AB?(2,15)，DC?(4?x,5?y)， 则?，

5?y?15?解得解得??x?2?y??10，故D坐标为(2,－10)

????????15、（14分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE、BF交点。若AB=a，AD=b，试以a，b为基底表示

????????DE、BF、CG．

?????????????????1?1????解：DE?DB?BE?AC?(?AD)?a?b

22?????????????????1?A 1????CF?CB?BF?AD?(?AC)?b?a

22????????????????2?????2?1?1?1?BG?BC?CG??AD?CF??b?(b?a)??a?b

33233D F G C E B

16.（14分）已知a=(1,2),b?(?3,2),当k为何值时，（1）ka+b与a-3b垂直？（2）ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？

解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)

(1)若ka+b与a-3b垂直，则（ka+b）?（a-3b）＝0即10(k-3)+(-4)(2k+2)=0，解得k=19 (2)解法一：若ka+b与a-3b平行，则(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=?13此时ka+b=(-

103,

43), a-3b=(10,-4)，故它们反向。

解法二：若ka+b与a-3b平行，设ka+b=?(a-3b)=?a-3?b，∴??k???1??3?，解得k??13?0，它们反向

???17、（14分）求与向量a =（1，2），b =（2，1）夹角相等的单位向量c的坐标． ?????解：设c?(x,y)，c与a的夹角为?，c与b的夹角为?，

21

习题精选精讲

????cos??cos??a?cx?2yb?c2x?y依题意得 ?，cos?????，cos????? 22|a||c|5|b||c|5?x?y?1??22x?x?－????2222??2222

解得x=y，代入x+y=1，解得?∴c?(,)或c?(?,?) 或?222222??y?y?－???2?218、设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（1）试求向量2AB＋AC的模； （2）试求向量AB与AC的夹角； （3）试求与BC垂直的单位向量的坐标． 、【提示】

（1）AB、AC的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出AB、AC的坐标后，可得2AB＋AC的坐标，

可解，对于（2），可先求AB、AC的值，代入 cos ? ＝

AB?AC|AB|?|AC|，即可；对于（3），设所求向量

的坐标为（x，y），根据题意，可得关于x、y的二元方程组，解出x，y． 【答案】

（1）∵ AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB＋AC|＝（2）∵ |AB|＝

22(?1)?7＝50．

(?1)?1＝

222．|AC|＝1?5＝26，

AB?AC|AB|?|AC|22AB·AC＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ? ＝＝

42?26＝

21313．

（3）设所求向量为m＝（x，y），则x2＋y2＝1． ①又 BC＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m，得2 x ＋4 y ＝0． ②

??2525?x??x?－255255??55由①、②，得?或?∴ （，－）或（－，）即为所求．

555555??y??．y?．??55??【点评】本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力． 19、如图，已知AB＝DC＝a，BC＝b，且|a|＝|b|． （1）用a，b表示AD，AO，OB；（2）求AC·BD．

【提示】由AB＝DC，可判定四边形ABCD为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求AD，AO，OB．又AC＝AB＋

BC．BD＝AD－AB，AD＝BC利用数量积的运算性质及已知条件|a|＝|b|．可求AC·BD．

22

习题精选精讲

【答案】（1）∵ AB＝DC，∴ 四边形ABCD为平行四边形．∴ AD＝BC＝b． ∴ AC＝AB＋BC＝a＋b，BD＝AD－AB＝b－a， 而 AO＝

12AC，OB＝－

12BD，∴ AO＝

12a＋

12b，OB＝

12a－

12b．

（2）∵ AC＝a＋b，BD＝b－a，∴ AC·BD＝（b＋a）（b－a）＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0． 20、已知平面向量a＝（7，9），若向量x、y满足2x＋y＝a，x⊥y，|x|＝|y|，求x、y的坐标．

【提示】设x＝（x1，x2），y＝（y1，y2），由已知，可以得到含有x1，x2，y1，y2的四个关系式，建立方程组，解之即可．【答案】设x＝（x1，x2），y＝（y1，y2）．由2x＋y＝a，得2（x1，x2）＋（y1，y2）＝（7，9），

?2x1?y1?7即??2x2?y2?9(1)(2)由x⊥y，得x1y1＋x2y2＝0． ③由 |x|＝|y|，得 x12＋x22＝y12＋y22＝0． ④

将（1）式化为 y1＝7－2 x1，（2）式化为 y2＝9－2 x2， 代入③式，得 x1（7－2 x1）＋x2（9－2 x2）＝0，

即 2（x12＋x22）＝7 x1＋9 x2， ⑤代入④式，得 x12＋x22＝(7－2 x1) 2 ＋(9－2 x2) 2， 即 3（x1＋x2）＝28 x1＋36 x2－130． ⑥

2

2

2311??x?y??11???x12?x22?26?x1?1?y1?5??55由⑤、⑥，得?解之得，?或?分别代入（1）、（2），得?或?

?y2??1．?7x1?9x2?52．?y?23?x?11?x2?5．22??55??∴ x＝（

235，

115），y＝（－

115，

235）．或 x＝（1，5），y＝（5，－1）即为所求．

21、已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0．延长AP交BC于点D，若AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AP、

AD

【提示】注意到BP＝AP－AB，CP＝AP－AC，由已知3AP＋4BP＋5CP＝0，可以得到AP关于a、b的表达式，化简即可．对于AD，可利用AP与AD共线予以解决．

【答案】∵ BP＝AP－AB＝AP－a，CP＝AP－AC＝AP－b，又 3AP＋4BP＋5CP＝0， ∴ 3AP＋4（AP－a）＋5（AP－b）＝0，化简，得AP＝

13a＋

512b．设AD＝tAP（t∈R），则

AD＝

13t a＋

512tb． ①又设 BD＝kBC（k∈R），由 BC＝AC－AB＝b－a，得BD＝k（b－a）．

而 AD＝AB＋BD＝a＋BD，∴ AD＝a＋k（b－a）＝（1－k）a＋kb ②

23

习题精选精讲

?1t?1?k?445?3由①、②，得?解得 t ＝．代入①，有AD＝a＋b．

399?5t?k．??12平面向量中的常见错误

一、忽略向量夹角的范围致错

→→→→→→→→→→

例1 设向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，且e1，e2的夹角为60?，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角，求实数t的取值范围.

1→→→2→2→→→→

错解：∵|e1|=2，|e2|=1，∴e1=4，e2=1，e1·e2=|e1|·|e2|cos60?=2×1×=1，

2→→→→→2→→→2

∴(2te1+7e2)·(e1+te2)= 2te1+(2t2 +7) e1·e2+7te2=2t2 +15t+7. →→→→→→→→

∵向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角，∴(2te1+7e2)·(e1+te2)>0， 即

11

2t2 +15t+7>0，解得 t<﹣7或t>﹣.故所求实数t的取值范围为t<﹣7或t>﹣.

22

→→

辨析：上面的解法似乎合情合理，毫无破碇.事实上，上面的解法忽略了向量夹角的范围，以致出错.因为两向量e1与e2的夹角θ的?→→→→→→→→→→

取值范围是[0，π]，当(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＞0时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角范围θ∈[0，)，由题设条件知，向量2te1+7e

2

2与

→→

e1+te2的夹角为锐角，∴θ≠0，因此，在上面所求出的x的取值范围须去掉θ＝0时θ的范围. 14? 2t＝λ→→→→

设2te1+7e2＝λ(e1+te2)(λ>0)，∴?，解得 t＝，λ＝14，

? 7=tλ2∴当t＝1411414→→→→

时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为0.∴所求x的取值范围应是：(﹣∞，﹣7)∪(﹣，)∪(，+∞). 2222

二、忽视两向量夹角的定义致错

→→→→→→→→→

例2 正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.

1→→→→→→→→→1

错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60?且|a|=|b|=|c|=1，所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=，同理可得b·c=，22→→1→→→→→→→→→→→→→→→

c·a=，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6. 2

→→

辩析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，根据两向量的夹角的定义，其夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之→→

间的夹角，范围是[0?,180?]，因此，向量a与b的夹角应为180?-∠BCA.其正确的解法如下：

11→→1→→→→→→→→→→→→

作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180?-∠BCA=120?，所以，a·b=|a|·|b|cos120?=﹣，同理可得b·c=﹣，c·a=﹣，

222

→→→→→→→→→→→→→→→

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0. 三、忽略共线向量致错

→→→→→→→→→

例3、已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a＋b＋c的长度. →→→→→→

错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360?，即θ＝120?， 24

习题精选精讲

3→→→→→→→→

所以，a·b＝|a|·|b|cos120?＝﹣1，同理b·c＝﹣3，c·a＝﹣，

2

→→→→→→→→→→→→→→→

由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故|a＋b＋c|=3. →→→→→→

辨析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c，共线且同向时，所成的角也相等均为0?，符合题意.由于当向→→→→→→→→→→→→?量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0,所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；所以，正确的答案向量a+b+c的长度为6或3.

四、导用实数的运算性质致错

→→→→→→→→→→→→

例4已知a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角. →→→→→→→→? (a+3b)·(7a-5b)=0? 7a2+16a·b-15b2=0

错解：由题意得?，即?，

? →→→→? →2→→→2(a-4b)·(7a-2b)=07a-30a·b+8b=0

→→→→→→→→→→→

两式相减得46a·b-23b2=0，即b(2a-b)=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0， →→→→→→→

由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0?.

→→→→→

辩析：本题误用实数的运算性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b若满足a·b=0则不一定有a=0→→→→→→→→→→

或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cos?知与?有关，当?=90?时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.其正确的解法如下：

→→→→→→→→→→

由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b， 1→2|a|→→

a·b21→2→2→→

所以，a=b=2a·b，故cos?===. →→→2|a|·|b||a2|向量融入三角

一、向量的模（长度）与三角函数的交汇

例1 若a=?cos?，sin??，b=?cos?，sin??，且ka+b?3a?kb，其中k?0．

（1）用k表示a?b；（2）求当k?1时，a与b所成角?(0≤?≤π)的大小． 解：（1）a?b=cos?cos??sin?sin??cos(???)；

法一：∵ka+b=?kcos??cos?，ksin??sin??，a?kb=?cos??kcos?，sin??ksin??， ∴ka+b22?(kcos??cos?)?(ksin??sin?)

222?1?k?2k(cos?cos??sin?sin?)?1?k?2kcos(???)，

a+kb2?(cos??kcos?)?(sin??ksin?)．?1?k?2k(cos?cos??sin?sin?)?1?k?2kcos(???)．

2222由ka+b?3a?kb，得1?k?2kcos(???)?3[1?k?2kcos(???)]，

22 25

习题精选精讲

2整理，得8kcos(???)?2(k?1)．又k?0，∴cos(???)?k?14k2，即a?b=k?14k．

由

2(k?0)；

22法二：∵

a?2cos??sin??1222，

b?2cos??sin??122ka+b2?3a?kb，得

k2a2?2ka?b+b?3a?6ka?b+?k2b，整理，得8ka?b=??k?1?，∴a?b=2k?14kπ3(k?0)；

（2）当k?1时，∵a?b=k?14k2?12，∴cos??a?bab?12．又∵0≤?≤π，∴??．

点评：本题以向量的模、数量积作为平台，主要考查了三角恒等变换．解答中用到了解答向量模的两种典型的方法：一是通过运用向量的坐标运算先求得向量的坐标，再求向量的模；二是利用公式a2 ?a将求模转化为求向量的数量积．要熟练掌握这两种方法的解题要领．

2例2 已知向量m=?cos?，sin??和n=?2?sin?，cos??，??(π，2π)，且m+n?825，求cos????2?π??的值． 8?解法一：∵m+n=?cos??sin??2，cos??sin??，

∴m+n?(cos??sin??2)?(cos??sin?)?224?22(cos??sin?)?π?π???4?4cos?????21?cos????．

4?4???由已知m+n?825，得cos?????π?7π?π??2??．又?cos???2cos???????1，

4?254???28?∴cos?2???2?5π?π9ππ?16π?π?4????π???2π????．∵，，∴，∴． ?cos??0cos????????82888?2528285????2解法二：m+n?(m+n)?m?2m?n+n?m2222?n?2m?n

2?(cos??sin?)?222?(2?sin?)?cos?22?2?2[cos?(2?sin?)?sin?cos?]?4?22(cos??sin?)

?π??π?π?482???2???4?1?cos??????8cos???．由已知m+n?，得cos????．

4??55??28??28??∵π???2π，∴

5π8??2?π8?9π8，∴cos????2?π?π?4??．∴． ?0cos??????8?5?28?点评：本题由向量和与模的运算得到关于?兹的三角函数关系，再通过三角恒等变换进行求解．这类题是近年高考的热点，其解题通法是通过向量的运算得到纯三角函数的式子，然后由三角函数的知识进行求解． 二、向量夹角与三角函数的交汇

例3 设a=(1?cos?，sin?)，b=?1?cos?，sin??，c=??，0?，??(0，π)，??(0，π)，a与c的夹角为?1，b与c的夹角为?2（1）用?表示?1；（2）若?1??2?

26

π6，求sin???4的值．

习题精选精讲

解：（1）cos?1?a?cac?1?cos?(1?cos?)?sin?22?1?cos?2(1?cos?)?cos2?2?cos?2，

∵??(0，π)，∴

??π??0，2?2????．∴，又，∴； ????[0，π]cos??cos?cos111?222?（2）由（1），同理可得cos?2?sin?π??π???cos???，?2??．

222?22?∵?1??2?π6，即

???2?π2?π6，∴

???2?23π，∴sin???4?32．

点评：本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数的求值及三角恒等变换的有关知识．解题的关键在于由向量的数量积公式求出

?1与?，?2与?之间的关系，再由?1??2?三、向量的数量积与三角函数的交汇

π6得出?与?之间的关系．

例4 已知O为坐标原点，OA?(2cosx，，若y?OA?OB， 1)，OB?(1，3sin2x?a)（x?R，a?R，a为常数）

????2????????????（1）求y关于x的函数解析式f(x)；（2）若x?0，???π?时，f(x)的最大值为2，求a的值，并指出函数f(x)(x?R)的单调区间． 2??π??3sin2x?1?a?2sin?2x???1?a；

6??????????2解：（1）f(x)?y?OA?OB?2cosx?3sin2x?a?cos2x? （2）f(x)?2sin?2x???π???1?a，当x?6????ππ?π7??π?时，2x??0，，π?，故f(x)max?2?1?a?2，解得a??1．

?2??6?66???可求得函数f(x)的单调递增区间为?7?2?π??kπ，π?，k?Z；单调递减区间为??kπ，π?kπ?，k?Z． 36?3?6?点评：本题通过向量的数量积巧妙地把向量与三角函数、三角恒等变换融为一体，利用三角函数的单调性求得函数的最值及单调区间． 四、向量模型在解交汇问题中的应用

例5 在锐角△ABC中，已知2cosA?2cosB?3?2cos(A?B)，求角C的度数． 解：将2cosA?2cosB?3?2cos(A?B)整理得

cosA(1?cosB)?sinAsinB?32?cosB

（*）

b≤ab，得cosA(1?cosB)?sinAsinB?令a=?cosA，sinA?，b=?1?cosB，sinB?．由a?232?cosB≤?1?cosB??sinB，221ππ131??sinA?1，化简整理得?cosB??≤0，∴cosB?．又B为锐角，∴B?．将B?代入（*）式，得cosA?2332?22?即sin?A???πππππ?A??A?C?．∴，∴，从而． ?1?62336?27

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