关于任意角的三等分问题

关于任意角的三等问题

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

105012007016 张成娇

【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》

中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.

【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；

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一、前言

《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．

本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.

二、关于任意三等分角的历史

在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否:

①将一个给定角三等分?

②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？ ③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？

以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题.

其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849

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- 1925) 总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题.

三、用数域扩充的方法证明

对于任意角不能三等分证明有许多的方法，如：1801年数学家高斯的证明方法：作圆的

1n等分，当n满足如下特征n=2?p1???pjmkkj其中，m为非负整数，p1、p2、pj为互不相

同的费马素数（前5个费马素数为3,5,17,257,65537），ki?0或（才可三1i=1、2、?、j）360n?等分角.

在此主要是考虑到中学生的数学知识水平以及课程标准中对数域的要求，因而用采用数域扩充的方法来证明.

1.预备知识

(1)尺规作图的公法:①从任意一点到另一点,可作一直线;②任意有限长的线段,可顺着延长;③ 由一已知点及定距离,可作一个圆(说明的是圆规的用法).

(2)可构作的概念: 经过平面上的两点，用直尺可以画一直线；经过一点用圆规可以画一个半径等于给定线段的圆，直线与直线、直线与圆和圆与圆都可能相交，这样的交点称为是用尺规可以构作的点，若交点在数轴上，也称对应的长度(实数)是可以构作的. (3)相关定理、概念

定理1 设F是R的一个子域，则实数a可由F构作的充要条件是存在R的子域链，使得

2?、n. F0?F，a?F 且[Fi:Fi+1]=2, i=1、、推论2 设F是R的一个子域， a?R，如果a可由F构作，则必存在整数r≥0，使得

[F(a):F]=2.

r定理3 设?是一个角，另a?cos?，则角?可用尺规三等分的充要条件是多项式

f(x)?x?3x?2a?Q(a)[x]，在Q(a)[x]中是可约的．

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2.证明

证: 设?是一个经过原点以x轴为一条边的角，过原点作一半径为1的圆，圆与角的另一条

边的交点的横坐标为cos?

? 角?可构作的充要条件是实数cos?可构作

令???3,a?cos?,b?2cos?，则问题化为能否由Q(a)构作b

有三倍角公式: cos??4cos3??3cos?

? b是多项式f(x)?x3?3x?2a?Q(a)[x]的一个根

假设f(x)在Q(a)[x]中可约,则由于b是f(x)的根,而f(x)是3次的,所以b?Q(a)或是Q(a)上的一个二次不可约多项式的根.若是前者,显然b可以由Q(a)构作;若是后者, 则有[Q(a)(b):Q(a)]?2,于是b是可以由Q(a)构作的

? 当f(x)在Q(a)[x]中可约时, b可以由Q(a)构作的,从而?可构作

假设f(x)在Q(a)[x]中不可约,则f(x)就是b在Q(a)上的极小多项式,从而有

[Q(a)(b):Q(a)]?3

? b不可由Q(a)构作,即?不可构作 ? 三等分任意角是不可能的

3.举例说明

例如,角

?3是不能用尺规三等分的,因为此时a?12,f(x)?x?3x?1在Q[x]中不可约

3四、可三等分的特殊角

用尺规将三等分一个任意角是不可能的, 但对于一些特殊角则可以利用尺规三等分，例说如下：

1. 180?可以三等分

简析：根据上述的证明过程，因为此时

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a?cos???1,f(x)?x3?3x?2?(x?1)(x2?x?2)在Q[x]中可约,从而可三等分.

这时把一平角三等分，每一份的度数是60?而等边三角形的每一内角是60?，故可以利用作等边三角形的方法把平角三等分．

作法:

（1）如图1，?AOB为平角，分别在角的两边OA、OB上取两点C、D. (2)分别以OC、OD为边,作两个等边三角形(?ECO、?FDO).

则OE、OF为平角?AOB的三等分线,即OE、OF把平角?AOB三等分.

2. 45?角三等分

简析: 因为把一个45?的角三等分,每一份是15?,而15?恰好是30?的一半，或者是

60??45??15?，故仍可采用先作等边三角形的方法把45?的角三等分.

作法:

(1)如图2, ?AOB?45?.在OA上任取一点C,以OC为边,在?AOB内部作等边三角形?OCD.

(2)作?AOD的平分线OE. (3)作?AOE的平分线OF. 则OE、OF把45?的?AOB三等分

3. 90?角三等分

32简析: 根据上述的证明过程，因为此时a?cos??0, f(x)?x?3x?x(x?3)在

Q[x]中可约,从而可三等分.

此时把一直角三等分,每一份的度数是30?,而90??60??30?,可用作等边三角形的方

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法把直角三等分.

4. 还有135?、36?等可转化为形如180?(n不为3的倍数, n?N*)的角都可以三

n等分.此为俄国数学家罗巴切夫斯基经过多年努力得到的结论.因此根据这个结论也可以得

到60?、120?等是不可三等分的.

五、在高中数学教学中的研究课题

现今的教育要求丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学追求的基本理念.独立自主、自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式.随着三等分角这部分内容进入高中数学课程，这使得三等分角成为一个很好的研究课题.下面简述两个.

1. 在已有的数学知识水平上开展研究性学习

比如参考文献[5]中对三等分角的研究，该文中作者在学生学了二倍角公式并逆用二倍角公式推得半角公式后，让学生推导三倍角公式.利用三倍角公式，从特殊的60?角的三等分角20?的可作性来尝试三等分角的问题．作者将课题分为4步：

探索1 能否用尺规三等分60?角?

探索2 在0?～180?的几个特殊角中有哪些是可三等分?哪些是不可三等分? 探索3 探索0?～180?的几个特殊角中可三等分角与不可三等分角的特点，能得出什么结论?

探索4 证明形如可以三等分．

通过对三等分角的研究，让学生体会了其中蕴含的数学思想方法，从一般到特殊，再从特殊到一般，提高了分析问题和解决问题的能力．同时通过以上四个探索，可使同学们感到“三等分角”问题不再是那么的神秘、高不可攀，更不会再在三等分任意角的问题上作徒劳的努力．

180?k(k?N)形式的角中，若k是3的倍数，则不可以三等分；否则就

2. 将 “三等分角问题”与数学实验相结合

参考文献[6]一文中, 作者试着从三等分角问题出发，在前人研究的基础上，结合自己的想法，设计了一个三等分角演示仪. 作者通过五个步骤:

步骤1 研读课标,确定研究题目;

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步骤2 搜寻课题的有关资料和研究现状; 步骤3 确定研究题目的基本原理; 步骤4 认真分析并解决遇到的问题; 步骤5 动手操作设计三等分角演示仪;

在进行实验的过程中,不仅了解了三等分角的相关知识,并将三等分角应用于数学实验中, 激发了学生的学习兴趣和强烈的动手制作愿望，而且能使学生在学会知识的同时，掌握分析问题，解决问题的方法.既促进了学生自身的发展，也带动了数学实验的发展.

六、结束语

任意角的三等分问题是几何作图三大问题之一，并且在课改中，《三等分角与数域扩充》成为了高中数学选修系列3的一部分内容.选修系列3的内容相对新颖前沿，反映了某些重要的数学思想，并且具有一定的挑战性.可见对该问题的学习有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值，文化价值，应用价值的认识，并且在培养学生的思维能力，数学素养等方面有着重要作用.

参考文献

[1]王忠华.用尺规作图不可能三等分任意角[J].数学通讯，2001年第19期 [2]曹亮吉.三等分任意角可能吗?[J].科学月刊，1978年第4期

[3王美香.高中《三等分角与属于扩充》的数学探讨[J].中学数学杂志，2009年第7期 [4]侯国兴.尺规作图三等分角[J].今日中学生，上旬版，2007年第12期

[5]楼许静.我把嫦娥请下凡——一堂三等分角的研究课[J].高中数学教与学，2008年第6期

[6]田晓娟.从“三等分角问题”浅谈数学实验[J].科学教育，2008年第3期

[7]郭熙汉.数学知识探源[M].武汉:湖北教育出版社,1999 [8]唐忠明.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2005

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