6 第四章 指数函数与对数函数 章末复习提升课

章末复习提升课

主题1 指数与对数的运算

求下列各式的值：

(1)? ??

??827－23－3e ·e 23＋（2－e ）2＋10lg 2； (2)lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32. 【解】 (1)? ??

??827－23－3e ·e 23＋（2－e ）2＋10lg 2

＝????

??? ????233－23－e 13·e 23＋(e －2)＋2 ＝? ????23－2－e ＋e －2＋2＝? ??

??322＝94. (2)lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32 ＝lg 25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg 15－log 39

＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2

＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.

指数与对数的运算应遵循的原则

(1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；

(2)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．

1．计算：? ????278－13＋log 2(log 216)＝________． 解析：原式＝? ??

??23－3×? ????－13＋log 24＝23＋2＝83. 答案：83

2．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．

解析：由2x

＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.

答案：3

主题2 指数函数、对数函数的图象问题

若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

【解析】 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.

选项A 中，y ＝3－x ＝? ????13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B.

【答案】 B

(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：

①单调性：函数图象的变化趋势；

②奇偶性：函数图象的对称性；

③特殊点对应的函数值．

(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．

1．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D.

因为a ＞1，所以函数y ＝log a (x －b )(b ＜－1)的图象就是把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位长度，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b )不经过第四象限，

所以选D.

2．对a >0且a ≠1的所有正实数，函数y ＝a x ＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．

解析：当x ＝－1时，y ＝a 0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)． 答案：(－1，－1)

主题3 指数函数、对数函数的性质

设f (x )＝log 12

1－ax x －1为奇函数，a 为常数． (1)求a 的值；

(2)试说明f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．

【解】 (1)因为f (x )为奇函数，

所以f (－x )＝－f (x )，

所以log 121＋ax

－x －1＝－log 121－ax x －1＝log 12

x －11－ax . 所以1＋ax －x －1＝x －11－ax ， 即(1＋ax )(1－ax )＝－(x ＋1)(x －1)，

所以a ＝－1(a ＝1舍去)．

(2)由(1)可知f (x )＝log 12x ＋1x －1

＝log 12?

????1＋2x －1(x >1)， 令u (x )＝1＋2x －1

(x >1)， 对任意的1<x 1<x 2，有：

u (x 1)－u (x 2)＝? ????1＋2x 1－

1－? ??

??1＋2x 2－1 ＝2（x

2－x 1）

（x 1－1）（x 2－1）. 因为1<x 1<x 2，

所以x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，

所以2（x 2－x 1）

（x 1－1）（x 2－1）>0， 即u (x 1)－u (x 2)>0.

所以函数u (x )＝1＋2x －1

在(1，＋∞)上是减函数． 又因为函数y ＝log 12

u 在(0，＋∞)上是减函数，

所以f (x )＝log 12x ＋1x －1

在(1，＋∞)上为增函数．

基本初等函数单调性的判断与应用

(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a 对函数单调性的影响，对于幂函数y ＝x α，注意指数α对函数单调性的影响．

(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．

1．设函数f (x )＝ln(2＋x )－ln(2－x )，则f (x )是( )

A ．奇函数，且在(0，2)上是增函数

B ．奇函数，且在(0，2)上是减函数

C ．偶函数，且在(0，2)上是增函数

D ．偶函数，且在(0，2)上是减函数

解析：选A.由题意得?????2＋x >0，2－x >0，

解得－2<x <2，所以f (x )的定义域为(－2，2)，关于原点对称．因为f (－x )＝ln(2－x )－ln(2＋x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；又y ＝ln(2＋x )在(－2，2)上单调递增，y ＝ln(2－x )在(－2，2)上单调递减，所以f (x )在(－2，2)上单调递增．故选A.

2．若函数y ＝log a (2x －1)(0＜a ＜1)在区间[3，6]上有最小值为－2，则实数a 的值为________．

解析：因为0<a <1，

所以函数y ＝log a (2x －1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x ＝6时，y 有最小值为－2，即log a 11＝－2，

所以a －2＝1a 2＝11，解得a ＝1111.

答案：1111

主题4 函数的应用

某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表： 月数

1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 …

污染度为0现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：

f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，

g (x )＝203

(x －4)2(x ≥1)， h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．

(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?

【解】 (1)用h (x )模拟比较合理，理由如下：

因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；

f (3)＝20，

g (3)≈6.7，

h (3)≈12.5.

由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．

(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.

利用已知函数模型解决实际问题的方法

解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．

1．国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为V ＝a e －kt .若经过25天后，气

球体积变为原来的23，则至少经过________天后，气球体积小于原来的13.(lg 3≈

0.477，lg 2≈0.301，结果保留整数)

解析：由已知“经过t 天气球体积变为V ＝a e －kt ，经过25天后，气球体积

变为原来的23”得，

a e －25k ＝23a ?e －25k ＝23，

则－25k ＝ln 23，①

设t 0天后气球体积变为原来的13，即V ＝a e －kt 0＝13a ，即e －kt 0＝13，则－kt 0＝

ln 13，②

①②两式相除可得－25k －kt 0＝ln 23ln 13，即25t 0＝ln 23ln 13＝lg 2－lg 3－lg 3≈0.301－0.477－0.477≈0.369，

所以t 0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的13.

答案：68

2．某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天内，该药材的市场售价P (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图①所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图②所示的抛物线表示．

(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；

(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？ 解：(1)由题图①可得市场售价与上市时间的函数关系式为P ＝f (t )＝?????300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.

由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q ＝g (t )＝1200(t －150)2＋

100，0≤t ≤300.

(2)设从2月1日起的第t 天的纯收益为h (t )(元/千克)，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，

即h (t )

＝?????－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，

－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.

当0≤t ≤200时，h (t )＝－1200(t －50)2＋100，

所以当t ＝50时，h (t )在区间[0，200]上取得最大值100.

当200<t≤300时，h(t)＝－1

2＋100，

200(t－350)

所以当t＝300时，h(t)在区间(200，300]上取得最大值87.5.综上可知，当t ＝50时，h(t)取得最大值，最大值为100，即从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克．

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