14.3.2运用完全平方公式因式分解

14.3.2运用完全平方公式因式分解

一、教学目标

1.理解完全平方公式的特点．

2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．

3.会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 二、学情分析

因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习第15章分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。是初中数学教材中的一个重要内容。

进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。

在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法（提公因式法），特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。

本节课提现了换元这一重要的数学思想，教师应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。 三、重点难点

重点：运用完全平方公式分解因式。

难 点：灵活运用完全平方公式分解因式。 四、教学过程 教学活动 【导入】温故知新

1.利用平方差公式分解因式 a2－b2=（a+b)(a-b) 2.分解因式应注意的问题

（1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式. （2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式. （3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.

14.3.2 公式法第2课时杨利宏 1.利用平方差公式分解因式a2－b2=（a+b)(a-b)2.分解因式应注意的问题（1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.（3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？完全平方公式 将完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 倒过来看看.a2+2ab+b2=（a+b）2 ；a2－2ab+b2=（a－b）2 .两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 【跟踪训练】下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4;是是（2）x2+4x+4y2;（4）a2－ab+b2;是（6）a2+a+0.25.（3）4a2+4ab+b2;（5）x2－6x－9;（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.（4）不是，ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一. 【例题】【例1】把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）(m+n)2－6（m +n）+9.【解析】（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2.（2）(m +n)2－6(m +n)+9=（m +n）2－2×（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2. 【例2】把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.【解析】（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2.（2）－x2－4y2+4xy=－（x2－4xy+4y2）先提公因式3a写成两数或式的平方的两项先变成正号=－［x2－2·x·2y+（2y）2］=－（x－2y）2.

【跟踪训练】1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9(6)m2-4=(m+2)(m-2)(7)2πR+ 2πr= 2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解 2.把下列多项式因式分解.（1）x2－12xy+36y2.（2）16a4+24a2b2+9b4.【解析】（1）x2－12xy+36y2=x2－2·x·6y+（6y）2=（x－6y）2.（2）16a4+24a2b2+9b4=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2=（4a2+3b2）2. （3）－2xy－x2－y2.（4）4－12（x－y）+9（x－y）2.【解析】（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2.（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2=［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2. x2?6mx?9m分解因式，下列结果1.把代数式m中正确的是（）m(x?3)2A．m(x?4)B．m(x?3)(x?3)C．22m(x?3)2D．mx?6mx?9m【解析】选D. =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2.2.x2?6x?9?___________.分解因式：【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=答案：?x?3?2?x?3?2. 3.因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____．9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）=【解析】(3x)2?(y?2)2?(3x?y?2)(3x?y?2).答案：(3x?y?2)(3x?y?2).4.分解因式：2a2–4a+2.【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2 5. 计算: 7652×17－2352【解析】7652×17－2352×17.×17=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)=17 ×1 000 ×530=9 010 000.6.2 0132+2 013能被2 014整除吗? 【解析】∵2 0132+2013=2 013(2 013+1)=2 013 ×2 014∴2 0132+2 013能被2 014整除. 通过本课时的学习，需要我们掌握：1.完全平方公式的两个特点：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.2.用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

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