2022年国防科学技术大学F0203概率论复试仿真模拟三套题

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2017年国防科学技术大学F0203概率论复试仿真模拟三套题（一） (2)

2017年国防科学技术大学F0203概率论复试仿真模拟三套题（二） (6)

2017年国防科学技术大学F0203概率论复试仿真模拟三套题（三） (13)

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第 2 页，共 17 页 2017年国防科学技术大学F0203概率论复试仿真模拟三套题（一）

说明：本资料为2017复试学员内部使用，严格按照2017复试常考题型及难度全真模拟预测。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数

表

【答案】

2． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表

表

比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取

）. 【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为备择假设为此处?=8,9，由样本数据计算得

到于

是若取显著性水

平查表

有

从而拒

绝域

为

由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.

3． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布有两个可能取值：1.5和1.8,且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】因此

由以上结果我们可以得到λ的后验分布

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4． 设随机变量X 的密度函数为以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事

件{X ≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.

【答案】因为Y ?b （3，P ），其中

所以

5． 把一颗骰子独立地掷n 次,求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数6点出现的次数

从而有

欲求

,故先求

.由于

且因为和

均为仅取0,1值的随机变量,所以

（第i 次投掷

时,不可能既出现1点、同时又出现6点）,因此当i=j 时,有

由此得而当

时,由于

与相互独立,所以

综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的,因为在掷n 次骰子中,1点出现次数多必使6点出现次数少.

6． 设

来自贝塔分布族

的一个样本,寻求（a ,b ）的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

是充分统计量.

7． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

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试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类.若记出现点数i 的概率为则要检验

的假设为这里k=6，

检验拒绝域为

若取

则查表

知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设.在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的.此处检验的p 值为

8． 设随机变量

（1）求

（2）求P （X>3）；（3）设d 满足

问d 至多为多少？

【答案】（1）

（2）

（3）由查表得

由此解得

故d 至多

取0.154.

二、证明题

9． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明.记p （x ）为X 的密度函数，则

10．（1）设和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量,证明极差的分

布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论,求总体为指数分布时,样本极差的分布函数.

【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为

,

于是与

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