林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题17一线三等角模型(附

更新时间:2023-03-08 04:45:53 阅读量: 初中教育 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB上有一点P,以A,B,P为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB上,另一条边在AB同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D.

1.当点P在线段AB上,且∠3两边在AB同侧时. (1)如图,若∠1为直角,则有△ACP∽△BPD.

DC1A3P2B

(2)如图,若∠1为锐角,则有△ACP∽△BPD.

CD3APB

证明:∵∠DPB=180°-∠3-∠CPA,∠C=180°-∠1-∠CPA,而∠1=∠3 ∴∠C=∠DPB,

∵∠1=∠2,∴△ACP∽△BPD

(3)如图,若∠1为钝角,则有△ACP∽△BPD.

C1A3P2BD

2.当点P在AB或BA的延长线上,且∠3两边在AB同侧时. 如图,则有△ACP∽△BPD.

C3BPA12D

证明:∵∠DPB=180°-∠3-∠CPA,∠C=180°-∠1-∠CPA,而∠1=∠3 ∴∠C=∠DPB,

∵∠1=∠2=∠PBD,∴△ACP∽△BPD

3.当点P在AB或BA的延长线上,且∠3两边在AB异侧时. 如图,则有△ACP∽△BPD.

CP3A12BD

证明:∵∠C=∠1-∠CPB,∠BPD=∠3-∠CPB,而∠1=∠3 ∴∠C=∠BPD.

∵∠1=∠2,∴∠PAC=∠DBP.∴△ACP∽△BPD. 例题讲解

例1:已知:∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与点A,B重合).DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1,△BND的面积为S2.

(1)如图1,当△ABC是等边三角形,∠EDF=∠A时,若AB=6,AD=4,求S1S2的值;

(2)当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.

①如图2,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1S2的表达式(结果用a,b和a的三角函数表示).

②如图3,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1

S2的表达式.

CCNEAMDBFCEMADNFBMADEBNF

图1 图2 图3

解:(1)如图4,分别过点M,N作AB的垂线,垂足分别为G,H.

CNEAGMHDBF

则S1

S2=

1MGAD211NHBD=ADAM243. 2ABDBN.

由题意可知∠A=∠B=60o,所以sinA=sinB=由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN. ∴

AMAD,从而AMBN=ADBD=8,∴S1S2=12. ?BDBN(2)①如图5,分别过点M,N作AB的垂线,垂足分别为G,H.

CEMANHFBGD

则S1

S2=

1MGAD211NHBD=ADAM24ABDBN.

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN, 所以

AMAD,从而AMBN=ADBD=ab, ?BDBN1a2b2sin2a; 4所以S1S2=

②如图6,分别过点M,N作AB的垂线,垂足分别为G,H.

CMADGEBHNF

则S1

S2=

1MGAD211NHBD=ADAM24ABDBN.

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN, 所以

AMAD,从而AMBN=ADBD=ab, ?BDBN1a2b2sin2a; 4所以S1S2=

例2:如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.

(1)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围; (2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

AEBDC

解(1)∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°, ∴∠ABD=∠ACB=30°, ∴∠ABD=∠ADE=30°,

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB, ∴∠EDC=∠DAB, ∴△ABD∽△DCE;

∵AB=AC=2,∠BAC=120°, 过A作AF⊥BC于F, ∴∠AFB=90°, ∵AB=2,∠ABF=30°, ∴AF=

1AB=1, 2∴BF=3, ∴BC=2BF=23, 则DC=23?x,EC=2-y ∵△ABD∽△DCE, ∴

ABDC, ?BDCE223?x, ?x2?y∴

化简得:y?12x?3x?20?x?23. 2??AEBCD

(2)①当AD=DE时,如图2, △ABD≌△DCE,

则AB=CD,即2=23?x, x=23?2,代入y?12x?3x?2 2解得:y=4?23,即AE=4?23, ②当AE=ED时,如图,

∠EAD=∠EDA=30°,∠AED=120°, 所以∠DEC=60°,∠EDC =90°

11 EC,即y= (2-y) 2222解得y=,即AE=;

33则ED=

③当AD=AE时,有∠AED-∠EDA=30°,∠EAD=120° 此时点D和点B重合,与题目不符,此情况不存在. 所以当△是ADE等腰三角形时,AE=4-23或AE=

2 3AEB进阶训练

1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在BC边上移动(不与点B,C重台).满足 ∠DEF=∠B,且点D,F.分别在边AB,AC上.当点E移动到BC的中点时,求证:FE平 分∠DFC.

ADFBECDC

1.略

【提示】由题意可得∠B=∠DEF=∠C.由“一线三等 角模型”可得△BDE∽△CEF,可得所以

2. 如图,在等边△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,AD=2BE=6.将DE绕点 E顺时针旋转60°,得到EF.取EF的中点G,连结AG.延长CF交AG于点H.若2AH =5HG,求BD的长.

ADHGBEBEDE=.而BE=CE· CFEFCEDE=,从而△DEF∽ECF.所以∠DEF=∠EFC,即FE平分∠DFC. CFEFFC

AEB进阶训练

1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在BC边上移动(不与点B,C重台).满足 ∠DEF=∠B,且点D,F.分别在边AB,AC上.当点E移动到BC的中点时,求证:FE平 分∠DFC.

ADFBECDC

1.略

【提示】由题意可得∠B=∠DEF=∠C.由“一线三等 角模型”可得△BDE∽△CEF,可得所以

2. 如图,在等边△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,AD=2BE=6.将DE绕点 E顺时针旋转60°,得到EF.取EF的中点G,连结AG.延长CF交AG于点H.若2AH =5HG,求BD的长.

ADHGBEBEDE=.而BE=CE· CFEFCEDE=,从而△DEF∽ECF.所以∠DEF=∠EFC,即FE平分∠DFC. CFEFFC

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/p06.html

Top