概率论分赌注问题

分赌注问题

小论文报告

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分赌注问题是统计学历史上最著名的问题。1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？

目录

（1） 文献综述﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1 （2） 相关知识﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2 （3） 应用实例﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3 （4） 总结感受﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4 （5） 文献列表﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒5

（一） 文献综述

<<浅谈分赌注问题>>

主要内容：本文以通俗的语言介绍概率发展史上一个著名的问题—分赌注问题，

并讨论它的简单解法，给出简单的实际应用。

应用：甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6 ，乙获胜的概

率为 0.4 ，可采用5局3胜制或者7局4胜制进行比赛，问采取哪一种比赛制对甲有利？这一问题实际上是问采取哪一种赛制，甲获胜的概率更大。因此，只需在5局3胜制或者7局4胜制中，分别计算甲获胜的概率即可，且这两个概率是分赌注问题的特殊情形。 推出结论：如果每局甲获胜的概率比输的概率大，则多比赛几局对甲是有利的。 <<分赌注问题的一个推广>> 主要内容：分赌注问题是个很有名的问题，但一般的分赌注只研究两个人分赌注，

如果三个人分赌注该如何呢？本文在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。 方法：二项分布

应用：甲乙二人扔硬币比赛，约定出现正面得一分，谁先得三分就获胜；如果出

现双方都得两分的情况，则视为平局，此后比赛继续下去，谁能比对方多得两分，谁就获胜现比赛进行到甲得两分，乙得一分时感觉成绩不如甲，有退赛的想法，问如果继续比赛下去，乙获胜的概率还有多大？

改进：在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。 <<启蒙视野中的概率期望思想>>

主要内容: 尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演

算, 但早期概率学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。早期概率论中对于数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的/ 期望0术语的两种不同的定性含义, 一是人们对于法律中公平公正的期望, 另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁, 并将概率论与理性和道德科学的启蒙观念联系在一起, 于是对于期望思想的探讨便成为 17、18 世纪启蒙思想实践的一部分。然而至 19 世纪, 随着启蒙运动的结束, 这个议题失去了其主要的素材来源, 也失去了有效性的判断标准, 随之期望作为概率论研究的中心地位也就被其它方面的研究取而代之了。

方法：历史分析和文献考证。 <<惠更斯的14个概率命题研究>>

主要内容：系统探讨和分析惠更斯在《论赌博中的计算》中所给出的 14个概率

命题, 以揭示其概率思想。

结果：惠更斯首次提出数学期望的概念, 创立了 /惠更斯分析法 0, 第一次把概

率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系, 第一次将以往概率论知识系统化、公式化及一般化。结论 惠更斯的概率思想奠定了概率论的基础, 且对今日数学创造仍有重要启发意义。 方法：历史分析和文献考证。 <<惠更斯与概率论的奠基>>

主要内容:惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其《论赌博中的计算》是第一部

概率论著作,该书首次提出数学期望的概念,创立了“惠更斯分析法”,第一次

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把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。 方法：历史分析和文献考证。 <<惠更斯的5个概率论问题>> 主要内容及改进：惠更斯在第一部概率论著作<<论赌博中的计算>>中提出5个概

率问题，但均无求解过程。这5个问题即可看作实际问题，又可看作该书中的命题延伸，这些问题以机会问题为研究对象，把赌博问题的分析提升到一定的理论高度。这就为概率论的进一步发展奠定了坚实的基础。本文尝试以惠更斯的方法来解决这些问题，再对比今日所用之法，从中得到若干结论。

方法：文献考察，历史分析，理论验证

（二） 相关知识

1.二项式定理

2.二项分布概率公式P(X=k)=C(n,k)(p^k)*(1-p)^(n-k),n是试验次数,k是指定事件发生的次数,p是指定事件在一次试验中发生的概率。

3.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次实验获胜的概率是p1，失败的概率是p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1，

n2=

4.甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是

Pn1,n2=

5.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次试验获胜的概率是p1，失败的p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是

Pn1,n2=

6. 惠更斯的14个概率命题

公理 每个公平博弈的参与人愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数 [ 2] 。

命题 1 若在赌博中获得赌金 a和 b的概率相 等, 则数学期望值为 (a + b) /2。

命题 2 若在赌博中获得赌金 a, b和 c的概率相等, 则数学期望值为 ( a+ b + c) /3。

命题 3 若在赌博中分别以概率 p和 q(p \\ 0, q \\ 0, p + q = 1) 获得赌金 a和 b, 则数学期望值为

pa+ qb。

命题 4 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 2时, 其赌注应如何分?

命题 5 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 3时, 其赌注应如何分?

命题 6 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 2, 3时, 其赌注应如何分?

命题 7 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 2, 4时, 其赌注应如何分?

命题 8 假设 3人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 1, 2时, 其赌注应如

2

何分?

命题 9 假设若干人一起赌博, 给出其离全胜所差局数, 其赌注应如何分? 命题 10 一颗骰子连掷多少次有利于 /至少出现一个 6点0? 命题 11 两颗骰子连掷多少次有利于 /至少出现一对 6点0? 命题 12 一次掷多少颗骰子有利于/至少出现一对 6点 0?

命题 13 甲、乙 2人赌博, 将两颗骰子掷一次, 若其点子和为 7则甲赢, 为 10则乙胜, 为其他点则平分赌注。试求 2人分配赌注的比例。

命题 14 A, B 2人轮流掷两颗均匀的骰子, 若 A 先掷出 7点, 则 A 胜; 若 B先掷出 6点, 则 B胜。B 先掷, 求 A 获胜的概率。

（三） 应用实例

※惠更斯的5个概率问题

问题1 两人玩掷双骰子游戏。若 A 掷出 6 点则赢,而 B 掷出 7点胜。A 先掷一次后, B 掷二次, A 再掷二次,如此下去直至一方获胜。A 与B 的胜负比是多少？

问题2 一袋中装有 4 个白球 8个黑球,3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。

惠更斯在其 1665 年的笔记中给出问题答案为 9∶6∶4。 问题3 有 40 张牌,每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的 4 张牌,每人投的赌注应是多少?

问题4 一袋中装有 4 个白球 8个黑球,甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有 3个白球。求二人获胜的机会比。

问题5 二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有 12个筹码,若掷出 11 点,甲给乙一个筹码,而掷出 14 点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。

※A，B二人赌博，各出注金元。每局各人获胜概率都是局，即赢得全部注金

元。现进行到A胜

局，B胜

局，（

，约定：谁先胜S和

都小于）

时赌博因故停止，问此时注金

解： 至多再赌

应如何分配给A和B，才算公平？

局，即能分出胜负。为A获胜，他在这局中至少须胜

局。因此按二项分布，A取胜的概率为

.

注金应按因

3

,而B取胜的概率为

之比分配给A和B，

是A、B在当时状态下的期望值。

和

※设盒中有三个大小相同颜色不同的球，分别是红黄蓝。现甲乙丙三人从中各自取一球，三方各出资50元，约定甲取得红球得一分，乙取得黄球得一分，丙取得蓝球得一分，三人规定谁先得到3分谁就获胜，获胜者得到全部的赌资150元。现实验进行到甲得2分，乙得2分，丙得1分时停止，问甲乙丙应该如何分配150元资本？（答案见右侧图片）

※甲乙二人进行某种比赛，比赛

重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是

Pn1,n2=

（证明见右侧）

（四） 总结感受

远自1654年职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡提出的一个分赌本问题，无意间成为了开启了概率论时代的敲门砖。意大利数学家卡尔丹写出的《游戏的机遇学说》，讨论了两人赌博中断，如何分赌本的问题。16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚等人也讨论过这种问题，直到今天，依然有人在探讨分赌注问题。“分赌注”的魅力可见一斑。

几篇文献分别以不同的侧重探讨了这一问题，在总结帕斯卡，惠更斯等人的理论成就的基础上，进行了更进一步的论述，有一些实际的应用，亦有一些拓展。在<<分赌注问题的一个推广>>中，将一般的分赌注只研究两个人分赌注，推广到

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