数学必修二第二章点直线 平面之间的位置关系 导学案

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§2.1.1 平面

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1生活中的实物对平面进行描述；

2掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

3掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。

问题探究（1）：平面含义

随堂练习 判定下列命题是否正确：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；

④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念

问题探究（2）：平面的画法

问题探究（3）：平面的表示

平面通常用希腊字母（ ）等表示，如（ ）等，也可以用表示平面的平行四边形的（ ） 来表示，如（ ）等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（ ）

问题探究（4）：点与平面的关系：

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A在平面α内，记作：

点B在平面α外，记作：

例、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 √ ，否则打 × : 1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2）、平面有边界； ( )

2

3）、一个平面的面积是 25 cm ； ( )

2

4）、菱形的面积是 4 cm ； ( ) 5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )

问题探究（5）： 如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l

与平面α有两个公共点呢？

问题探究（6）： 平面的基本性质

公理1： 符号表示为

·B

公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2： 符号表示为：

公理2作用：确定一个平面的依据。

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面. 公理3：

符号表示为：

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

· C ·

·

A B

例1:教材P43 例1 变式训练（1)：

用符号表示下列语句

（1） 点A在平面α内，点B在平面α外 (A∈α, B α) （2） 直线l经过平面α外的一点M ( M α, M∈l)

例2: 已知直线a和直线b相交于点A。求证：过直线a和直线b有且只有一个平面。

变式训练（2)：不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？

例3:正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，

求证：点C1、O、M共线.

分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.

A1

B

D1

C C1

评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.

例4 如图4-2,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.

图4-2

变式训练（3)： 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.

试一试：

（一）当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下面说法正确的是（ ）.

①平面ABCD的面积为10cm2②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）.

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3. 直线l1,l2相交于点P，并且分别与平面 相交于点A,B两点，用符号表示为____________________. 4. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.

(二)课后补充作业

1.根据下列条件，画出图形.

（1）平面α∩平面β=l，直线AB α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F l;

（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B a，C∈β，C a.

2、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线. .

本节小结1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示

必修二第二章 空间空间点、直线、平面之间的位置关系

§ 空间中直线与直线之间的位置关系（一）

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 。

2 理解并掌握公理

3并能运用它解决一些简单的几何问题。

问题探究（1）：空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？

观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？

思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？

C B 问题探究（2）：归纳总结 ，形成概念 异面直线:

问题探究（3）：空间中两条直线的位置关系有三种：

问题探究（4）：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?

m

m

l

l

1 2 3

m

m

ll

4 5 6

l

m

m

l

问题探究（5）： 辨析

①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线

②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线

③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线

④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 例：如图2.1.2-1，在正方体ABCD A1B1C1D1中, 哪些棱所在的直线与BA1成异面直线?

1A

问题探究（6）：

如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？

CG

A

D

H

E

F

B

问题探究（7）：

思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。空间中,如果两

条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?

观察：如图2.1.2-2,长方体ABCD A1B1C1D1中,

AA1∥BB1, AA1∥DD1，那么BB1与DD1平行吗?

A1

C1

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥

=>a∥c

b∥注：公理4

实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用； 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1:如图在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形

变

式训练（1)： 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.

求证：EB1∥DF，ED∥B1F. 证明：

例2:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,

（1） （2）

哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ 哪些棱所在的直线与AA1垂直？

解析：考察异面直线的理解

理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直

变式训练（2)：

在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

试一试：

1. a,b,c为三条直线，如果a c,b c，则a,b的位置关系必定是（ ）. A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对 2. 已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

3. 已知 l,a ,b ，且a,b是异面直线，那么直线l（ ）. A.至多与a,b中的一条相交 B.至少与a,b中的一条相交 C.与a,b都相交

D.至少与a,b中的一条平行

4. 正方体ABCD A B C D 的十二条棱中，与直线AC 是异面直线关系的有___________条. 5. “a、b为异面直线”是指：

①a∩b = ，且

ab；②a 面 ，b 面 ，且a∩b = ； ③a 面 ，b 面 ，且 ∩ = ；④a 面 ，b 面 ； ⑤不存在面 ，使a 面 ，b 面 成立. 上述结论中，正确的是（ ） A．①④⑤正确 C．仅②④正确

B．①③④正确 D．仅①⑤正确

本节小结※ 知识拓展

异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

如图，a ,A ,B ,B a，则直线AB与直线 是异面直线.

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§ § 空间中直线与直线之间的位置关系（二）

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1.异面直线所成的角的定义

2等角定理

3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角。

问题探究（1）：在平面内, 我们可以证明 ― 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

那么这两个角相等或互补 ‖．空间中这一结论是否仍然成立呢？

观察：如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,∠ADC与 ∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?

C 问题探究（2）：（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，

（ ）

问题探究（3）：

异面直线所成的角的定义:

异面直线所成的角的范围：

注：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b

问题探究（4）：这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是

否改变?

注：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)

例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线BA1和CC1所成的角的大小。

变式训练（1)：.

2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB

=，AD

=，AA′ =2. （1）BC和A′C′所成的角是多少度？ （2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？

例2:如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD

的中点，且EF=

2

AD，求异面直线AD和BC所成的角. 2

变式训练（2)：

设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=122，CD=42，且HG·HE·sin∠EHG=123，求AB和CD所成的角.

注：求异面直线所成的角的一般步骤是：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）； ③求角（解三角形）；④结论。

试一试：

1. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）

（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）

（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）

（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ） 2．选择题

（1）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线

（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线

（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面

3、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 4、若a和b异面，b和c异面，则（ ）

A.a∥c B.a和c异面

C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面

5.正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？

6. 已知E,E 是正方体AC 棱AD，A D 的中点，求证： CEB C E B .

7. 如图2-5，在三棱锥P ABC中，PA BC，E、

PEAF3

，设EF与PA、BC所成的角分别为 , ， F分别是PC和AB上的点，且

ECFB2

求证： 90°

.

图2-5

本节小结

异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角

等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．异面直线所成角的求法:

一作(找)二证三求

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§ 空间中直线与平面之间的位置关系

空间中平面与平面之间的位置关系

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1掌握直线与平面的三种位置关系，

2会判断直线与平面、平面与平面的位置关系 3学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系

问题探究（1）：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？

问题探究（2）：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？

结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：

问题探究（3）：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?

问题探究（4）：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？

问题探究（5）： 围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?

平面与平面的位置有几种？分别用文字、图形、符号语言表示？

例1:(见P49)下列命题中正确的个数是（ ）

⑴若直线L上有无数个点不在平面 内，则L∥

(2)若直线L与平面 平行，则L与平面 内的任意一条直线都平行

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若直线L与平面 平行，则L与平面 内任意一条直线都没有公共点 （A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3

变式训练（1)：1已知直线a在平面α外，则 （ ） （A）a∥α （B）直线a与平面α（C）a

A （D）直线a与平面α至多有一个公共点

2 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交

C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交

例2: 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在

这个平面内.

变式训练（2)：求证：已知平面 , ，直线a,b，且 ∥ ,a ，

b ，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

试一试

A1..以下命题（其中a，b表示直线， 表示平面）

①若a∥b，b ，则a∥ ②若a∥ ，b∥ ，则a∥b ③若a∥b，b∥ ，则a∥ ④若a∥ ，b ，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 A2.已知a∥ ，b∥ ，则直线a，b的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

B3.如果平面 外有两点A、B，它们到平面 的距离都是a，则直线AB和平面 的位置关系一定是（ ） （A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB B4.已知m，n为异面直线，m∥平面 ，n∥平面 ， ∩ =l，则l （ ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交 B5..下列说法正确的是 ( )

A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线 B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线 C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线 D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M B6.平面 , 的公共点多于2个，则 （ ） A. , 可能只有3个公共点

B. , 可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上

C. , 一定有无数个公共点 D.除选项A，B，C外还有其他可能

7 已知直线a,b及平面 满足: a∥ ,b∥ ,则 直线a,b的位置关系如何?画图表示.

8 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.

本节小结

1. 直线与平面、平面与平面的位置关系； 2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示； 3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.

※ 知识拓展

求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§2.2.1直线与平面平行的判定

2.2.2平面与平面平行的判定

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1理解并掌握直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的判定定理. 2掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想。

实例探究：

1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？

2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 一、直线与平面平行的判定

问题探究（1）：如图,1 ．直线a与直线b共面吗？

2．直线a与平面 相交吗？

问题探究（2）：

直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是 (1) a在平面 外，即a (面外) (2) b在平面 内，即b (面内) (3) a与b平行，即a∥b(平行)

符号语言:

a

b a// a//b

思 想: 线线平行 线面平行

A判断对错:直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ ）

直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （ ）

直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b． （ ） 例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.

变式训练（1)：

正方体，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系并说明理由

.

二、平面与平面平行的判定

A自主探究问题3:（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？

问题探究（3）：平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行。

符号表示：若a ,b ,a b P，且a// ,b// ,则 // 。

利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件: （1）有两条直线平行于另一个平面，（2）这两条直线必须相交。 思想：线线相交，线面平行 面面平行。 A判断对错:

(1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )

例2: 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证：平面AB1D1//平面C1BD。

证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面

变式训练（2)：如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，

B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB

.

例3:判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：

（1）已知平面 ， 和直线m，n，若m ,n ,m// ,n// ,则 // ； （2）一个平面 内两条不平行直线都平行于另一平面 ，则 // ；

变式训练（3)：

5．平面 与平面 平行的条件可以是（ ）

A． 内有无穷多条直线都与 平行.

B．直线a∥ ，a∥ ，E且直线a不在 内，也不在 内. C．直线a ，直线b ，且a∥ ，b∥ D． 内的任何直线都与 平行.

试一试：

1.直线a∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a 平行的

（ ）

（A）至少有一条 （B）至多有一条 （C）有且只有一条 （D）不可能有

2.已知三条互相平行的直线a,b,c中，a ,b ,c ,,则两个平

面 , 的位置关系是 .

A3.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是

3、 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）

Ａ．一条直线不相交 Ｂ．两条直线不相交 Ｃ．任意一条直线不相交 Ｄ．无数条直线不相交

2、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（ ） A不存在 B有且只有一个或不存在 C有且只有一个 D有无数个 4、下列三个命题正确的个数为（ ）

（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行 （2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行

（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行 A 0 B 1 C 2 D 3

5、在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与AB CD的大小系是 ．

6、正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并给出证明。

1

A

7 如图6-9，A 、B 、C 分别是 PBC、 PCA、 PAB的重心.求证：面A B C ∥面ABC.

本节小结

线面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行 线面平行 平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§ 直线与平面平行的性质

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1理解直线与平面平行的性质定理的含义,

2会应用性质解决问题

3能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面的性质定理

问题探究（1）：

1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ （观察长方体）

2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？ （可观察教室内灯管和地面）

问题探究（2）： 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？

问题探究（3）：如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行

呢？

由于直线a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线

B自主探究1：已知：a∥α，a β，α∩β＝b。求证：a∥b。

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言：

线面平行性质定理作用：证明两直线平行 思想：线面平行 线线平行 经验小结：

应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面，是最难应用的定理之一；一般做法是：“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”。

例1:有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′

内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？

变式训练（1)：．如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点

.

（1）证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形； （2）求四边形ABCD的面积.

例2:如图7-4，已知直线a,b，平面 ，且a∥b， a∥ ，a,b都在平面 外.求证：b∥a

.

图7-4

小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即a∥ ；②面面相交，即 =b；③线在面内，即b .

变式训练（2)：如图，平面 , , 两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b. 那么，a与c，

b与c有什么关系？为什么？

试一试：

一、判断题：

1、如果a 、b是两条直线，并且a∥b，那么a平行于过b的任何平面。( ) 2、如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何直线平行。（ ） 3、如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。（ ） 二、．如图，已知异面直线AB、CD都与平面 平行，CA、CB、DB、DA分别交 于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．

A

B

E

G

D

C

本节小结

必修二第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

§ 平面与平面平行的性质

撰稿人：罗节 审稿人：

学习要求: 1理解平面与平面平行的性质定理的含义,

2会应用性质解决问题

3能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述平面与平面的性质定理

问题探究（1）：

两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？

自主探究2:如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b

平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言：

面面平行性质定理作用：证明两直线平行 思想：面面平行 线线平行

例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等

已知： // ，AB∥CD，A ,D ,B ,C ，求证：AB CD。

变式训练（1)：如图，正方体ABCD – A′B′C′D′中，AE = A1E1，AF =A1F1，求证EF∥E1F1，

且EF = E1F1

.

例2:已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点

求证：EF∥平面SDC。

解析：证线面平行，需证线线平行

变式训练 （2)：

判断下列结论是否成立：

① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ） ② 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ；（ ） ③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）

④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（ ）

⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（ ）

试一试：

A1.61页练习

A2.下列判断正确的是( )

A．a∥α，b ，则a∥b B．a∩α＝P，b α，则a与b不平行 C．a ，则a∥α D．a∥α，b∥α,则a∥b B3．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( ) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内 B4.下列命题错误的是 （ ）

A. 平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行

D. 平行于同一个平面的两条直线平行或相交

B5. 平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H、分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD、上，又EF∥BD，则 （ ）

A. EH∥BD,BD不平行与FG B. FG∥BD，EH不平行于BD C. EH∥BD，FG∥BD D. 以上都不对

B6.若直线a∥b，a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是 B7一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面

AECF＝

6、如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AＢ、CD上，且EBFD，

求证：EF∥平面β．

本节小结

小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行这一过程, 归根结底还是线线平行.

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