第5讲 直棱柱及表面展开图

第5讲 直棱柱及表面展开图

【知识要点】

1.由若干个平面围成的几何体叫多面体；多面体上相邻两个面之间的交线叫多面体的棱；几个面的公共顶点叫多面

体的顶点。

2.棱柱的上下底面平行且全等，每个侧面都是平行四边形。

3.根据侧棱与底面是否垂直，棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的每个侧面都是长方形（含正方形）。 4.根据底面多边形的边数，直棱柱可分为直三棱柱、直四棱柱……长方体和正方体都是直四棱柱。 5.欧拉公式：V+F－E=2(V:顶点数， F: 面数， E: 棱数）。 6.几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）

7.常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）

②长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高 ③正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 8.几何体的展开图：

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，立体图形的展开图是平面图形。（2）常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．

9.正方体相对两个面上文字：

（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想像。（2）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 【典型例题】

〖讨论1〗在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是____________．

〖讨论2〗如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A点与_______点重合,C点与_______点重合.

〖讨论3〗一个简单多面体的各个面都是三角形，请你说明它的顶点数V和面数F之间的关系为F=2V－4.

学 力 训 练 一．选择题（共15小题）

1．下列各几何体中，直棱柱的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．七棱柱的侧面是（ ） 第3题 A． 长方形 B． 七边形 C． 三角形 D． 正方形 3．如图所示，在长方体中，与棱AB平行的棱有（ ） A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条 4．下列关于棱柱的说法：①棱柱的所有面都是平面；②棱柱的所有棱长都相等；③棱柱的所以侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面个数与底面边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等其中正确的有（ ） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 5．一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（ ） A． 10个 B． 9个 C． 8个 D． 7个 6．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（ ） A． 十八边形 B． 八边形 C． 六边形 D． 四边形 7．（2012?台湾）如图1为图2中三角柱ABCEFG的展开图，其中AE、BF、CG、DH是三角柱的边．若图1中，AD=10，CD=2，则下列何者可为AB长度？（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

第7题 第8题 第9题 8．（2012?佛山）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ） A． 三棱柱 B． 三棱锥 C． 四棱柱 D． 四棱锥 9．（2011?台湾）若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（ ） A ． B． C． D． 10．（2011?呼和浩特）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ） A ． B． C． D． 11. （2012?德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）

A ．

B． C． D． 12．（2011?河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（ ）

A． 面CDHE B． 面BCEF C． 面ABFG D． 面ADHG 13．（2010?宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ）

A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 14．已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，…，由此可以推测n棱柱有 _________ 个面， _________ 个顶点，棱有 _________ 条．

15．一个直棱柱有7个面，则它有 ________个顶点， ________条棱，表面上至少有 ______个直角． 三．解答题（共6小题） 16．（2010?宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 4 4 四面体 8 6 12 长方体 8 12 正八面体 12 30 正十二面体 20 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 _________ ．

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 _________ ．

（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

17..下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． 图号 顶点数x 棱数y 面数z 8 12 6 （a） （b） （c） （d） （e） （1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；

（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．

18．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．

（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？

19．如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整．（请画出三种）

20.马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示）

21.如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．

22.一个简单多面体的各个面都是五边形，请你说明它的顶点数V和面数F满足以下关系式：2V=3F+4

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