阅读资料2：现值

阅读资料二：现值

假设有一天你路过学生会，正好听到某个信用卡销售员在宣传“我们的信用卡利率非常低，因为您的信用好才只向您提供”之类的说辞。他的话中有一半是术语，讨论着“APRs”与“金融收费”这些一般人几乎无法理解的问题。如果让你觉得自己被蒙骗了，你很可能是对的。虽然书本上有旨在保护消费者的法律，但不幸的是，金融交易非常复杂，以致于你甚至可能不知道自己正在进行什么交易。

金融交易，从最简单的到最复杂的，都基于一个单一理念——现金在不同的时间将从一个人转移到另一个人。在不同时间取得或者支付的现金价值不同。因此，一个主要的概念就是理解今天的一美元与未来某个时间的一美元的价值并不相同。

假设你中了本州发行的彩票，你可以选择收到一次性总额75,000美元，或者选择8年每年收到10,000美元。你应该选择哪一个呢？即使中彩票似乎是天方夜谭，但是你仍然会面临类似的财务决定。你很可能需要做出以下决定：我应该买车还是租车？15年的抵押贷款与30年的抵押贷款对我来说哪个更好？我应该投资于债券还是股票？将钱投资于定期存单（CD）好一些，还是资本市场的共同基金好一些？

你可能会想知道这些问题的答案与金融市场、金融证券的估值以及金融工具收益率的决定因素之间有什么关联。它们都与现值概念有关。这个概念使我们可以衡量未来时间支付或者收取的现金的价值，估价可以利用分析的结果做出谨慎的决策，也可以分析金融证券的价值。

在本章的第一部分我们将提出现值的公式，并利用它来评估不同时间发生的现金流的价值。通过这种方法，我们可以对在不同时间有不同现金流量的不同种类的证券进行比较，然后我们考察人们可以如何利用现值公式做出决策。这种分析将贯穿于我们对金融市场及其在借款者与贷款者之间转移资金的作用的研究。然后我们可以看到如何利用现值的概念回顾过去的收益率或者预测未来的收益率。最后，我们利用现值的知识对如何进行汽车租赁谈判给出实际的建议。

一笔未来支付的现值

你宁愿今天有100美元，还是从现在开始一年后有105美元？你应该预订6个月的杂志还是3年的杂志？利用一个简单的分析工具，这些问题的答案会变得十分简单，它就是现值。未来收到某一额度现金的现值就是为了产生给定的未来额度现金你今天需要投入的资金数量。现值的方法可以让你对不同时间收取或者支付的现金流进行比较。

投资、借债与复利

现值的概念是以两个主要的观点为基础的：（1）通过借贷或者储蓄，你可以决定不同时间你可以利用的现金；（2）过去的利息赚取利息。第一个观点认为，如果你今天想要更多的钱，你可以借款；如果你未来想要更多的钱，可以储蓄。因此，通过决定借

贷与储蓄的金额，你可以决定今天有多少钱，也可以决定未来任何时间有多少钱。第二个观点认为，因为复利的关系，利息随着时间增长。例如，如果你将钱投资于债券，你会赚取利息。将来，你会从前些年的利息上又赚取利息。下面这个例子将有助于说明这些观点。

首先，将今天的钱与一年以后的钱进行比较。假设你现在有100美元，你希望将这些钱存到将来。如果你将这些钱存入一个银行账户，你可以赚取4%的年利率。你的存款额（本例中为100美元）就是你的金融投资的本金。一般来说，任何金融投资的本金就是你投资于金融证券或者存入金融中介机构的数额。一年以后，你赚取的利息额等于你的金融投资本金额（P=$100）乘以利率（i=0.04），其中利率以小数表示。

利息＝本金×利率＝P×i ＝ $100×0.04＝$4

将4美元的利息加入本金100美元中，收到总额104美元，这就是第一年末金融投资的价值。

用一步将利息加到本金中通常是有用的，那就是： 年末金融投资额＝（本金×利率）＋本金 ＝（P×i）＋P

＝ （P×i）＋（1×P）＝（1＋i）×P 在这个例子中，我们只用一步就能收到金融投资的价值：

年末金融投资额＝（1＋i）×P

＝（1＋0.04）×$100＝1.04×$100＝$104

假设你将收藏的Ozzy Osbourne的CD卖给了某个人，他或者今天付给你100美元，或者一年后付给你105美元，你会选择哪一种支付方式呢？假设你今天收到了100美元，你可能将这笔钱存入银行，就像上述例子描述的一样。那么年末你将收到104美元。这样，你宁愿一年后收取105美元，因为105美元比104美元多。

至此，我们的例子已经包括了投资，而借债的计算是一样的。如果你以4%的年利率借款100美元，那么年末你将欠银行104美元。因此，所有相同的公式就像它们适用于投资一样也适用于借款，只不过你将支付货币而不是收取货币。

第二，考虑若干年的复利情况。当你投资超过一年时，复利就会发生，因为后面几年，你可以从前几年赚取的利息上赚取利息。一年后的利息会加入到下一年的本金价值中。例如假设你在一个银行账户中存入了100美元，时间为2年，年利率为4%。将初始的本金额称为P=$100。在第一年中，正好就像前面看到的那样，你将赚取4美元的利息，年末会有104美元。将你在第一年年末拥有的本金额称为P1=$104。在第二年中，你现在可以赚取利息：

利息＝本金×利率＝P1×i＝$104×0.04＝$4.16 在第二年年末，你会有

年末金融投资额＝（1＋i）×P1

＝（1＋0.04）×$104＝1.04×$104＝$108.16

如果不是复利，你在第二年中会赚取4美元的利息，就像你第一年赚取的一样。但是因为你从第一年的利息上又赚取了利息，因此你第二年赚取的利息额要高于你第一年的收益（16美分）。

在这个例子中，为了计算一年后你会收到的金额，我们利用如下公式计算金额： 一年后的金额＝（1＋i）×P＝1.04×$100＝$104 然后我们利用计算结果作为新本金额进行计算

两年后的金额＝（1＋i）×P1＝1.04×$104＝$108.16 在此我们可以将这两个单独的计算合并成一步： 两年后的金额＝（1＋i）×P1

＝（1＋i）×一年后的金额 ＝（1＋i）×（1＋i）×P

＝(1?i)2×P＝1.042×$100＝$108.16 平方项表明在第一年中你从本金上收到了利息，然后在第二年的总金额上收到的利息包括从第一年利息上赚取的利息。这就是复利。

我们可以将这个具体的例子一般化。N年后金融投资的价值是（其中N可以是任何正数）：

N年后的价值＝(1?i)N×P （1）

其中i是年利率，P是金融投资的本金额。

长期执行复利可以产生相当大的差别，当人们意识到这一事实时往往十分震惊。例如假设你将1000美元投资于一种每年支付利息8%（利息会以8%的收益率再投资）的证券。5年之后你可能不会有太深印象，因为那时你的1000美元投资的价值是

1.085?$1000=$1,469。10年之后，你的投资也只增长到1.0810?$1000=$2,159，因此

你并不富有。但是，如果你持续投资更长的时间，复利开始变得重要起来。25年后，你的投资价值为1.0825?$1000=$6,848；50年后，其价值为1.0850?$1000=$46,902；100年后，你的投资价值将是巨额的1.08100?$1000=$1,199,761。这是支付给长期投资者的报酬！如果你借入资金，你所欠的金钱也以复利计算，这是很多使用信用卡的人陷入债务困境的原因之一。例如如果你用了信用卡上的1000美元，不偿还而让其任意增长，因为复利的缘故以及大多数信用卡收取的高额利率，仅仅在几年之内它就会增长到几千美元。

折现

既然我们已经明白了复利是如何产生的，以及投资或者借款如何决定你在不同时间拥有的金钱数额，那么这里有一个密切相关的问题：未来某个日期给定一定数额的金钱，今天值多少钱？

首先，考虑一年支付一次的情况。看一看下面这个例子。为了在一年以后收到104美元，作为交换你今天愿意放弃多少钱？你对这个问题的答案应该取决于如果你今天有这笔钱会用它做什么。假设你今天有这笔钱，将它以4%的年利率存入银行，那么你今天需要有多少钱才能在一年后收到104美元呢？答案当然是我们在上一节的例子中确定的100美元。以4%的年利率将100美元本金投资，在年末收到104美元。因此你会愿意今天放弃100美元以便一年后收到104美元。因此，对你来说，一年后104美元现在的价值等于100美元。

现在我们把现值的概念在这个特殊例子基础上更加一般化。我们如何计算从现在起一年后你收到的某个金额F的现值呢？这个现值就是你为了年末有F而今天需要投资的本金额P。也就是，我们需要用下面的公式确定P：

(1+i)?P=F

其中i是你如果将今天拥有的钱存入银行账户的利率。如果我们将这个方程的两边同时除以1＋i，我们就会收到：

F （2） 1?i因此，我们可以通过用终值除以折现因子（本例中为1＋i）的办法计算现值。这个

P=过程就是折现。

在我们的例子中，F＝$104，i＝0.04。在方程（2）中使用这些数值收到：

P=这与我们前面收到的结果相同。

F$104??$100 1?i1.04为了找到现值，你必须回答两个问题：（1）为了将来可以消费这些钱，你今天会用这些钱做什么？（2）在这样一笔投资上你会赚取多少收益？当我们想要计算现值时，我们经常这样回答第一个问题，说我们会将钱存入银行并赚取利息。因此折现因子就是1加上银行账户的利率。在很多情况下，投资者将会对非常类似的两种金融投资进行比较，比如两种只有在利息支付方式或者到期日存在细微差别的不同债券。在这些情况下，一种债券的适当折现因子是1加上债券支付的利率。但是有些人可能以其他方式投资，例如，他们可能将钱投入股票市场。在这种情况下，折现因子就是1加上股票的预期收益率。正是由于这一原因，等式（2）中的i项被称为折现率，而不是到现在为止我们讨论中所提到的利率。

等式（2）值得仔细研究，因为它带来两个发现。第一，对于给定的折现因子（1＋i），未来值F越高，现值P就越高，因为未来的钱更多，其今天的价值也更高。第二，对于给定的终值F，折现因子（1＋i）越高，现值P越低，因为折现因子是等式（2）的分母。当折现因子变大时，你将用更大的数去除未来值，因此现值更小。

为了证明以上观点，假定我们再次考虑一年后收到的104美元的现值。我们前面看到，当折现率是4%（i＝0.04）时，现值是100美元。如果折现率小一些，比如0，那么折现因子也会更小（1.00）。在这种情况下，现值就是：

P=F$104??$104 1?i1.00现值更大了，因为折现因子更小了。

另一方面，如果折现率更大了，比如10%，那么折现因子就会更大（1.10）。因此现值降低了。

P=F$104??$94.55 1?i1.10这些结果表明，如果折现率从4%下降至0，那么现值会从100美元上升到104美元。如果折现率从4%上升至10%，那么现值会从100美元下降到94.55美元。因此现值与折现率是负向相关的。因为折现因子是1加上折现率，因此现值与折现因子也是负相关。当折现率或者折现因子上升时，现值降低；当折现率或者折现因子降低时，现值升高。这是现值公式的一个重要发现。

第二，考虑未来一年以上的一次支付的情况。假设在未来多年以后收到一笔钱。正如在将来一年之后收到一笔支付一样，我们要问：为了产生将来那么多的钱，今天需要多少本金？

我们在讨论复利的时候知道，以本金额P开始，支付年利率i的一笔投资，N年之后拥有的数额为(1?i)N?P。因此，如果我们想要在N年后有某个金额为F的金钱，那么我们需要找出本金P使得(1?i)N?P?F。将这个等式两边同时除以(1?i)N，收到未来N年后收到的终值F的现值。

P?F （3） N(1?i)在本例中，折现因子是(1?i)N，其中i是折现率。

例如，如果你在两年后会收到$108.16，你的银行账户的年利率是4%，那么现值是多少？利用等式（3）可以收到：

P?F$108.16??$100 N2(1?i)1.04这个例子与我们前面在“投资、借款与复利”一节中的例子相同。

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