专题18函数与方程思想(教学案)-2017年高考文数二轮复习精品资料

函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．

考点一 函数思想

一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．

考点二 方程思想

1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．

2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

考点三 函数与方程思想在解题中的应用 可用函数与方程思想解决的相关问题．

1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．

2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式；

(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；

(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题．

考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题

?－x＋6，x≤2，?

例1．(2015·福建，14)若函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a的取值

?3＋logx，x＞2?a

范围是________．

【答案】 (1，2]

【解析】 由题意f(x)的图象如右图，则

??a＞1，

? ?3＋loga2≥4，?

∴1＜a≤2.

【变式探究】 (2014·陕西卷)

如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )

11

A．y＝x3－x2－x

2211

B．y＝x3＋x2－3x

221

C．y＝x3－x

411

D．y＝x3＋x2－2x

42【解析】

考点二、运用函数与方程思想解决方程问题

??3x－1，x＜1，

例2、(2015·山东，10)设函数f(x)＝?x则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )

?2，x≥1，?

2?

A.??3，1? 2

，＋∞? C.?3??【答案】 C

B．0，1]

D．1, ＋∞)

【解析】 当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a2?222f(a)

＝时，f(a)＝f?＝3×－1＝1，f(f(a))＝2，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C. ?3?333

【规律方法】

研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．

??2－|x|，x≤2，

【变式探究】 (2015·天津，8)已知函数f(x)＝?函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，2

?（x－2），x＞2，?

若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )

77

，＋∞? B.?－∞，? A.?4??4??77

0，? D.?，2? C.??4??4?【答案】 D

【解析】 记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB

??y＝x＋b′，

且与f(x)的图象相切时，由?2 ?y＝（x－2），?

997

解得b′＝－，－－(－4)＝，

444

7

所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有

47

无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点．选

4D.

难点三、运用函数与方程思想解决不等式问题

3??x，x≤a，

例3．(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝?2若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则

?x，x＞a，?

a的取值范围是________．

【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】

【规律方法】

(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法．

(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．

(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．

【变式探究】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取到极值． (1)求a，b的值；

(2)若对于任意的x∈0，3]都有f(x)

???f′（1）＝0，?a＝－3，

因为函数f(x)＝2x＋3ax＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取到极值，所以?解得?

??f′（2）＝0.b＝4.??

3

2

当a＝－3，b＝4时，

f′(x)＝3(2x2－6x＋4)＝6(x－2)(x－1)． 当x<1时，f′(x)>0； 当12时，f′(x)>0.

所以此时1与2都是极值点，

因此a＝－3，b＝4，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c. (2)

难点四、运用函数与方程思想解决最优化问题

例4、(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标a

系xOy，假设曲线C符合函数y＝2(其中a，b为常数)模型．

x＋b

(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

【解析】 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入 a

y＝2，得 x＋b

?

?a

?400＋b＝2.5，

a

＝40，25＋b

??a＝1 000，解得?

?b＝0.?

【规律方法】

解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．

【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式．

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【小结反思】

1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．

2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．

3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．

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