高考数学（人教a版，理科）题库：几何概型（含答案）

第5讲 几何概型

一、选择题

1、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

96A. 625 529C. 625

98 B.625 68 D. 625

解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。

设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25＝625

1两个等腰直角三角形的面积为：2×2×23×23＝529

带形区域的面积为：625－529＝96

96P（A）＝ 625

∴

答案 A

2.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )

1111A. B. C. D. 4325解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的

41?，故蚂蚁停留在123

1

黑色地板砖上的概率是

3答案 B

3. 如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为

( )． 23C.5

19D.5

16

A.5 21B.5

S13823

解析 由几何概型的概率公式，得10＝300，所以阴影部分面积约为5，故选C. 答案 C

4．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 1A.6

1

B.3

2

C.3

4D.5

( )．

解析 设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求82概率为12＝3. 答案 C

5. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )． 4－πA.2 4－πC.4

π－2B.2 π－2D.4

解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P

2π－4π－2＝4＝2. 答案 B

6．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝22a－2b

x有不等实数根的概率为 1A.4

1

B.2

2D.5 ( )．

3

C.4

2b

解析 方程x＝22a－x，即x2－22ax＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a)2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括

2b

边界)，而事件A“方程x＝22a－x有不等实数根”的可能结果为图中阴影1

2×1×11

部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝＝2.故选B.

1×1答案 B 二、填空题

1?ππ?

7．在区间?－2，2?上随机取一个数x，cos x的值介于0至2之间的概率为

??________．

解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝?ππ?

2?2－3???1

＝. π?－π?3??2－?2?1答案 3 8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往1

单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于2，则周1

末去看电影；若此点到圆心的距离小于4，则去打篮球；

否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

解析 设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末11?2?2π－?4?2π

在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－

π13＝16. 13答案 16 9．有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．

解析 确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O21443

为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×2×3π×1＝3π，圆柱的体4π3

积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－3π＝5. 95答案 9 10．已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使1

得VP－ABC<2VS－ABC的概率是________．

1

解析 三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<2VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱1111

Sh－×S×3342h7

锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝＝8.

13Sh7答案 8

三、解答题

11．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

思路分析 由题意画出图象可求面积之比． 解 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内 部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域 为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)． 1

π×224π

∴所求的概率P1＝＝. 4×41612．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.

(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；

?m＋n－1≤0，

(2)实数m，n满足条件?－1≤m≤1，

?－1≤n≤1，

求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：

(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．

设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，63

－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝10＝5.

?m＋n－1≤0，

(2)m，n满足条件?－1≤m≤1，

?－1≤n≤1

的区域如图所示，

要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，

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