超级画板入门-《数学教育技术》1,2章 - 图文

数学教育系列教材 主编 张奠宙 宋乃庆

数 学 教 育 技 术

张景中 彭翕成 著

高 等 教 育 出 版 社

2009

目录

第一章 概论 p13

第二章 初中数学课程与信息技术的整合 p79 第三章 高中数学课程与信息技术的整合 p82 第四章 专题讲座资料 p30 第五章 动态几何探索 p53 第六章 课件制作要领 p31 第七章 论文写作例说 p34 第八章 数学机械化与教育技术 p18

序

在中国的教育信息化进程中，信息技术进入了数学教学。

1984年，中小学以选修课和课外活动等形式开始了计算机教育。

1988年起，开始系统地将计算机引入各科教学。计算机辅助数学教学作为突破口，受到更多重视。

近10年来，随着互联网的日益普及，信息技术飞速发展。现代信息技术在数学教学中的应用日益加强。有关数学教学的网页、网站不胜枚举；网上数学教育教学论文、课件、教案、素材等资源非常丰富，有关信息技术在数学教学方面应用的研究日益深入。

中国作为一个人口众多的发展中的大国，人民对高质量的教育有强烈的需求。人们普遍认为，教育信息化有助于提高教学质量，有助于优秀教育资源的开发和共享，有助于缓解学生数量增长和优秀教师数量不足的矛盾，有助于缩小经济发达地区和相对贫困地区在教育条件方面的距离。

教育部主持制定的数学课程标准中，对信息技术的作用给予特别的关注，并且提出了实现信息技术与课程内容有机整合的要求。

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》提出:“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”

《普通高中数学课程标准（实验稿）》提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，注意把算法融入到数学课程的各个相关部分。提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

根据课程标准所编写的中学数学教材中,写进了一些数学与信息技术有关的内容.例如用计算机作图、计算、做数学实验等。

但是，信息技术的应用对数学教学究竟有多大好处？它能否提高学生的数学成绩？这却是一个长期存在广泛争议的问题。近年来，对信息技术用于教学的实际效果的质疑一再出现。在一些教育信息化起步较早的国家，例如美国，不少教师在课堂教学中更倾向于使用传统的板书方式，他们认为传统教学方式更有利于师生的交流。

根据近10年来的经验，我们认为，信息技术的应用对数学教学大有好处。只是要看用什么样的信息技术；还要看如何使用信息技术。

和数学教育有关的信息技术，大体上有三个层次。

第一个层次，是普适的信息技术。这是服务于各行各业的技术。例如为网上搜索、电子邮件、文稿演示、数据统计等服务的设备和软件。这些技术较少关注教育的特殊需求。 第二个层次，是服务于所有学科的普适的教育信息技术。例如为收费登记、图书资源管理、远程考试、网上授课等服务的设备和软件。这些技术较少支持数学教育的特殊需求。

第三个层次，是为数学教学量身定制的数学教育信息技术。这包括数学软件、数学教育网站、手持的数学教学设备等等。这些技术为数学教师的教学工作和学生的数学学习

活动提供针对性的服务，例如动态作图、符号计算、自动推理、公式编辑、程序环境等。 调查表明，第三个层次的技术最受数学教师的欢迎，为数学教学和学习提供了最大的帮助。这种为数学教学量身定制的数学教育信息技术中，最重要的是帮助教数学和学数学的各种软件。至于手持的数学教学设备，起核心作用的也是固化了的软件。

数学教学和学习中，需要什么样的软件呢？我们了解到，数学教师们对教学软件的要求，主要有三个方面：(1)容易上手和使用，最好是傻瓜式的工具；(2)功能齐全，最好是一站式的超市型平台；(3)容易得到和携带，最好是即插即用的绿色软件。

因此，不应当让数学教育围绕着信息技术转，跟着日新月异的技术发展而变化。而是要以数学教育的需求为本，选择、设计和发展数学教师所喜爱的技术。

有了适合于数学教学的技术，更重要问题是如何使用它。

信息技术不过是工具。再好的工具要靠人来使用。教师的数学素养是使信息技术能够成功地用于数学教学的决定性因素。在具体应用中，要根据数学教学的需求研究技术的潜力和用法,注重研究和解决数学教学使用技术过程中出现的实际问题。需要关注哪些是专门为数学教学和学习开发的技术，把它们用在教学中有什么实际问题需要解决。例如如何处理形象和抽象、实验和推理、动手和动脑的关系。只有紧密结合这些教师最关心的实际问题，才能逐步吸引更多的教师参与数学课程和信息技术整合的实践。 数学教学最关注的是处理“数”与“形”的技术。计算机和有关软件提供了强大的处理“数”与“形”的功能。对此，广大教师并不一定熟悉。他们一旦对此有所了解，就会产生使用信息技术于教学的愿望，并取得越来越好的效果。

如果有了得心应手的教学软件，加上数学教师努力，就能够让信息技术在数学教育中从6个方面扮演积极推动的角色。

1.日常教学和学习的工具 用来作几何图、画曲线、图上测量、作统计图表、编辑公式、编程运行、数值计算、符号计算等等，一身多任，方便快捷，大大提高工作学习效率，用计算机代替教师和学生的不必要的重复性机械性劳动，让他们把更多的精力和时间用于创造性的思考。结果是减轻了教师教学负担，提高了学生学习兴趣。 2.教学环境和课件制作的平台 使用基于数学教育的信息技术，一般的课件常能在几分钟内作出，甚至讲课中师生在讨论中共同作出。所作的课件具有很强的交互性和开放性。学生可以容易地修改课件，在课件上增加新的对象作进一步的观察探索。

3.实验探索的环境 学生可以利用其动态作图、动态计算、动态测量以及编程功能来帮助自己理解概念，启迪思路，探索疑问，检验答案。还可以用来模拟探索物理过程和其它有趣的自然现象，例如单摆，布朗运动，多普勒效应，混沌与分形等等。

4.创新思维的触媒 运用基于数学教育的信息技术，能够把事物从静态提升到动态，把概念从抽象转化为直观，把太快太慢的过程用易于跟踪的速度模拟，把过大过小的形象用适于观察的尺度展现，这时更容易发现新的现象和新的问题，有助于把学过的知识和新的知识联系起来，会成为创新思维的触发点。

5.协作交流的载体 通常的网络交流环境往往只用文本传递信息，有图片也常常是静态的，讨论数学很不方便。而基于数学教育的信息技术，为教师学生讨论问题提供了友好的平台。它可以使内容的呈现生动有趣，把事物的发展过程和逻辑关系阐述得更为清楚，使内容的表述更有吸引力和说服力。

6.艺术欣赏的园地 基于数学教育的信息技术，提供了跟踪、轨迹、变换和迭代等功能，容易创作千变万化的美丽的图案。更有趣的是可以创作动态的百变艺术作品，一个看来简单的图象，观察者自己调整参数后，可以产生无穷无尽的不同效果。从一个小小的窗口向学生们展示数学之美。

综上可知，恰当运用基于数学教育的信息技术，对学生的自学能力、探索精神、创新

意识、科学素质都有积极的影响。小学生可以学会一些基本的操作而玩得津津有味；大学生也可以从其中找到挑战性的课题而孜孜以求。数学教育与信息技术的成功整合，兴味浓厚，能使人进入后乐此不疲，甚至能够吸引青少年学子从网络游戏回到学术殿堂。

初步的教学实验表明，数学教育和信息技术的整合，能够减轻教师工作强度，提高学生学习数学的兴趣，使得学生和数学教师相处更为融洽，学生的成绩有显著提高。 不少文章谈到，部分教师对信息技术不习惯不熟悉，是影响数学教育中应用信息技术的重要原因之一。所谓不习惯不熟悉，就是不知道用什么软件，不知道如何用软件辅助教学。写这本教材的初衷，就是帮助数学教师熟悉数学教学中最有用的软件，知道如何有效地使用这些软件。

作为一个信息时代的数学教育工作者，掌握一定的信息技术很有必要。不管是用于课堂教学，还是课后探究；哪怕是写电子教案或者是投稿，用来画插图也是很有用的。

软件种类很多，用途各异。即使是同一类型的软件，在功能上、操作上也存在较大的区别，老师们不可能也没必要全部掌握。倘若开始的时候选错了软件，等到发现功能不够用或操作不方便，又另学一种软件，在此过程中所用的时间精力就白白浪费了。 根据数学教学的实际需要，对比各种软件的功能强弱和操作方便的程度，本书选择国产软件《Z+Z智能教育平台—超级画板》(以下简称超级画板)作为主要配套软件。超级画板是基于动态几何设计的智能教育平台，功能相当完善，只要大致掌握就能满足数学教学的日常需要了。

本书共有八章。第一章介绍了数学教学需要什么样的信息技术，而信息技术又会给数学教学带来什么变化。第二章讲述应用信息技提高初中数学教学效果的案例和操作要领；着重介绍了超级画板在平面几何、代数运算两方面的应用。第三章在第二章的基础上，针对高中数学课程与信息技术整合的需求，着重介绍超级画板在函数图像、解析几何、概率统计、算法编程、立体几何等方面的应用。第四章针对数学教学中应用信息技术的若干常见问题，就超级画板的一些重要功能以及特殊应用作了专题讲座。第五章则应用大量实例，阐述学习和研究动态几何的意义和方法，这些案例大多来自作者的教学实践和探究思考，其中相当部分是在本书中首次发表的。第六章介绍课件制作的要领，并附有两个公开课案例以及数学教育技术专家王鹏远老师对信息技术辅助教学的反思。第七章以作者最近两年发表的文章为例，谈谈基于教育信息技术的论文写作。第八章介绍数学机械化的思想方法对数学教育的应用，着重介绍计算机解几何题的基本思路，并附有相关案例。教材所附光盘中有超级画板的免费版本和与书中例子配套的课件素材，以及大量的资源。与本书配套的教学资源也可在网上http://www.zplusz.org/免费下载。

此处还要加上高等教育出版社提供的资源下载网站，确保读者能够下载配套资源。 经过最近几年在华中师范大学、广州大学等高校的教学实践，我们认为高校若选用本书作为教学教育方向的本科生或研究生教材，课程安排(含上机操作和教学实践)以100课时左右最佳；如果课时较紧，50课时也是可行的，着重学习第二、三章，其他章节作为自学提高之用。

本书配套资源中有300多个文件，每个文件包含1个或多个课件素材。配套课件的编号与书中图片编号对应。如第一章中图7是圆锥的截线，则对应文件名为“1-7圆锥的截线”，依此类推。有些联系紧密的课件存储在同一个文件中，要注意有些课件是有多页的。

课件中对象的编号，可能和你按照书中说明生成的对象编号有所不同，请参照课件寻找原因。另外，传统的黑板粉笔教学，虽然偶尔也有彩色的参与，譬如彩色粉笔、彩色挂图，但总体基调是黑白色的。而信息技术的一个重要特点则是色彩丰富，引人注目。本书配套课件为了教学需要，很多线条都是用彩色标出，而本书是黑白印刷，读者在阅

读过程中，遇到颜色设置问题，也请参照课件进行操作。

编写《数学教育技术》教材是一件新工作。书中不当之处，欢迎批评指正。各位老师使用本书的过程中，如果对本书有什么建议或者操作上遇到什么困难，可用电邮联系我们。通常在3个工作日内，您可以得到回复。

2009年3月1日

张景中：zjz101@yahoo.com.cn 彭翕成：pxc417@126.com

本书简介

本书为数学教育方向的大学本科生或研究生教材，内容覆盖了信息技术在初中、高中以及中等职业学校数学教学和学习中的多种涉及专业的应用。全书由概论、初中数学课程与信息技术的整合、高中数学课程和信息技术的整合、专题讲座资料、动态几何的进一步探索、课件制作要领、论文写作例说、数学机械化与教育技术共8章组成。在附赠的光盘中有300多个课件或素材。书中课件设计思想和软件具体操作并重，循序渐进，讲求实效。其案例资源丰富，原创性较强。课件可以直接用于教学实践。

本书可作为数学教师和信息技术课程教师的教学参考书、工具书和教学资源库；也是学生学习数学和信息技术的辅助工具。可以作为中学教师继续教育的培训教材或自学教材，也可以作为师范院校数学专业或教育技术专业学生的教材或参考书。

第一章概论 .........................................................................................................................6

1.1数学教学中常用信息技术的三个类别 ......................................................................6

1.2数学教师需要什么样的信息技术 .............................................................................7 1.3数学教育信息技术对教与学的影响 ........................................................................ 11 1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统 .................................................................... 15 1.5信息技术对教学提出了新要求 ............................................................................... 16 1.6信息技术与课程整合的四个层次 ........................................................................... 19

第一章概论

1.1数学教学中常用信息技术的三个类别

在计算机飞速发展和普及的今天，信息技术的应用已经渗透到各个领域，这其中当然包括数学教育。

在数学教育活动中，常常用到的信息技术可分为三个类别：

（1）各行各业都能用的普适信息技术，如E-Mail，PPT, 浏览器和搜索引擎; （2）各学科都能用的普适教育技术，如通用课件平台，教学反馈系统，电子白板； （3）为数学教学量身定做的数学教育技术，如动态几何软件，图形计算器。 普适的信息技术和普适的教育技术，给教师和学生带来很多的便利，但远不能满足学科教学与学习的需求。例如，数理学科要用到的符号计算，就是其他很多行业不需要的技术，不属于普适的信息技术。为了教学和科学技术研究而发展符号计算技术，数学家和计算机科学家耗费了大量心血。例如，仅仅为了实现整系数多项式的因式分解，发表的学术论文就超过千篇。

有些普适的信息技术表面上看来适用于教学和学习活动，人们甚至花大力气在教育领域推广这些技术。但很遗憾，这些技术未能通过教学实践的检验。例如，通用的文稿演示软件、通用的动画生成软件和通用的课件制作系统都是数学教师希望在教学中应用的技术工具，它们一度燃起教师们应用信息技术于教学的热情。然而几年之后，大家就发现学习和使用这类技术产生的教学效果，并不能补偿所投入的人力和物力。一位数学教师在网上对这类技术在教学上的应用效果的评价是“老师做累了，学生看傻了”。这句话一针见血地指出了在教学活动中滥用普适信息技术的负面影响。有作者指出，运用多媒体演示进行教学活动，其效果常常不及传统的黑板粉笔。美国2005－2007年的一次调查甚至得出教学软件无助于提高学生成绩的结论。其实，信息技术和黑板粉笔并不是完全对立两套教育技术。为教育而研发的，适用于课堂教学的信息技术工具，应当而且可以兼具黑板粉笔教学模式的长处，应当能够继承发扬传统的教学方式的长处。

近30年来，许多国家寄希望于教育信息化能显著地提高教学质量和学习成绩，投入大量的人力物力进行校园信息化的建设，但实际的效果远远低于预期。这种情形的出现，原因之一可能是试图将普适的信息技术直接用于教学的倾向广泛存在。这种倾向符合商业利益，因而得到有力的支持或鼓励。但教师和学生从中得到的好处不多。一度流行的各种“课件制作平台”和基于课本搬家而开发的“教学资源库”，对教师和学生已经没有吸引力了。那么，数学教学和学习中需要什么样的信息技术呢？

1.2数学教师需要什么样的信息技术

数学教师需要用的信息技术，大体上分为三类。

(1)选择性地使用普适的信息技术:收发电子邮件，上网查资料，汉字输入写东西，以及在网络论坛社区上交流等。

(2)数学教学中常用的信息技术：动态几何（包括动画，变换，跟踪，轨迹），动态曲线作图，动态测量，符号计算，编程环境，随机现象模拟，统计图表制作，快速公式编辑，课件制作演示等。

(3)某些专题教学活动需要的信息技术：如分形制作，函数拟合等。

以下对这3类信息技术分别论述。 1.2.1选择性地使用普适的信息技术

普适的信息技术种类繁多，目前数学教师使用较多的有这么几种。用Word写文章、写教案；用Excel统计学生成绩；用PowerPoint制作课件；用QQ、E-mail等通讯工具与人交流；上网查资料，上论坛讨论问题。需要指出的是，不少老师对前面几种信息技术使用较为熟悉，而对上网查资料，上论坛讨论问题则还认识不够。

网络上有很多好的资料，其中有不少是要收费的，譬如中国期刊网，万方数据库等；但也有不少资料是免费的，我们可以利用搜索引擎(如百度、google）来搜索资料。千万不要以为使用搜索很简单，其中也有不少的技巧，需要查看百度（或google）的帮助文件才能发现，而这通常是很多老师忽略了的。譬如说，写教案的时候想参考一下别人的

教案，那么只要进入百度（或google）的“高级搜索”，输入关键词，选择文件格式为word，就能很快搜索出大量的word文档，这一招就避免了通常的网页搜索会丢失图片和数学公式的缺陷。

只用搜索引擎搜索资料，难免有点宽泛和盲目，有时候搜索出一大堆资料出来，却找不到自己需要的。这时候就需要去论坛了。不管你是求助资料，还是提出问题，或者有什么心得体会想与人分享，都可借助于论坛。论坛的优势就在于交互性强，便于交流。可能你刚发了个帖子，再一刷新，别人就已经回复了。所谓太阳底下无新事，你所遇到的问题，极有可能别人早就碰到过，看看别人是怎么解决的，就可以少走弯路。网络上数学教育方面的论坛不少，但精品却不多，人教社的BBS和K12教育论坛是办得不错的，人气很旺盛，会员的水平也高，资料也颇丰富。

下面向大家推荐一个相当专业的数学网站（http://mathworld.wolfram.com/），图1-1是该网站的首页。这个网站就好比是一个数学词海，内容比市面上的“数学词典”更为丰富。譬如你想了解科赫雪花的相关知识，只要搜索“Koch Snowflake”就能找到相关页面；其中有科赫雪花生成的图片（图1-2），所涉及的数学知识，各种推广形式（图1-3），以及相关的参考文献。既提供Mathematica格式的源文件下载，也可在线观看科赫雪花生成的动画（图1-4）。你也可以输入一个极为简单的单词 circle试试，资料之丰富，令人吃惊，而且越是简单、基础，牵涉也越广泛，所提供的相关关键词和文献也越多。

图1-1 图1-2

图1-3 图1-4 正如前面所说的那样，对于普适的信息技术我们要慎重使用，最典型的例子就是文稿演示类的软件。老师们使用文稿演示器作课件，一般都是先找一个模版，然后插入一些文本、图片，这样很容易流于“教材搬家”的情况，用来教数学效果很难令人满意。当然，在优秀教师非常缺乏的地方，使用这类现成课件也不失为一种选择。

2.2数学教学中常用的信息技术

数学教学活动中，还有许多特殊的需求，普适的信息技术难以满足。为了减轻负担，

提高效率，改善教学效果，数学教师应当熟悉一些专为数学教学而开发的工具软件。数学教学活动中有哪些特殊需求能够得到信息技术的帮助呢？简单归纳起来，无非是作图，测量，计算，编程，以及制作课件或演示现成的课件。

数学教师常常要画图。画几何图形（包括平面几何、解析几何和立体几何图形），画函数图像，画统计图表，等等。

数学教学中画图是为了讲道理，数学的道理常常表现为变化中的不变。例如，三角形不论如何变化，但内角和总是180度，3条中线总是交于一点。为此，动态几何作图软件应运而生。用动态几何软件所作的图形有两个基本特点：(1)图中的对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来驱动；（2）其他对象会自动调整其位置，以保持图形原来设定的几何性质。例如，作两条线段和它们的一个交点；当拖动一条线段时，交点也会随着运动(图1-5)。通常的作图软件，都不能满足数学教学的这种需求。

图1-5 图1-6

动态几何软件很多，如美国的《几何画板》，法国的《Cabri》等。而学习和使用起来最方便的，当推我国自主开发的《Z+Z智能教育平台－超级画板》(下简称超级画板)。用超级画板的智能画笔，直接操作鼠标即可作出自由点、线、圆，直线或圆锥曲线等几何对象上的点，直线与直线或圆锥曲线等几何对象的交点等几乎所有的基本几何图形(图6)。

超级画板不是专门的立体几何作图软件，但也能够较好地画立体图（图1-7）。专门的立体几何作图软件，国外的有《Cabri3D》，国内的有《Z+Z智能教育平台－立体几何》。

图1-7

绘制函数图象，特别是含有可变字母参数的函数图象，是数学教学中常常要做的工作。能画函数图象的软件很多。但数学教学中画函数图象，往往不是画一条曲线了事，常要

有进一步的操作。例如，曲线上取点，画切线，对曲线做几何变换，跟踪变化的曲线以形成曲线族，对曲线下的区域填充，作积分分割等等。所以若随便采用一个软件绘制函数图象，很多后续操作就不方便进行，甚至无法进行。

至于绘制圆锥曲线，很多使用美国《几何画板》教学的老师都感到困难。因为几何画板在解析几何方面功能较弱。超级画板不但可以直接根据离心率、焦点、中心、准线等已知条件作圆锥曲线，还可以输入方程直接作圆锥曲线。

动态几何软件都带有测量功能。图形中的角度、长度和面积可以测量，表达式的值可以测量，点的坐标和曲线的方程也可以测量；测量出来的数据随图形变化而变化。作图、测量、计算，改变图形形状观察几何规律，这已经成为用动态几何软件进行教学的一个基本模式。利用这一模式，很多中学数学老师在教学中取得了很好的效果。动态几何的学习、应用和研究已经成为很活跃的领域。动态几何在教育领域的积极作用已为国际公认。

数学教学当然离不开计算。不但要用到数值计算，也要作符号计算。例如，计算?2113得到

56，计算2?8得到32，计算264得到18446744073709551616 ，从a?a得

到2a，从x*x*x得到x3，从(a?b)2得到a2?2ab?b2等等，都属于符号计算。这是普通计算器做不到的。专门的符号计算软件有Maple，Mathematica，还有免费的Maxima等等。但中学数学教师没有必要花时间学这些专业软件，超级画板里面的符号计算功能足够用了。

下面讲讲算法编程。在新课程标准中，算法已被列为高中数学的必修内容。学习算法，最好能有编程的实践。学生自己动手编编程序，在计算机上运行程序，对算法的理解就会更深刻。看到计算机执行自己的计划，快速准确地给出问题的解答，成就感油然而生，对数学和信息技术就更有感情了。超级画板可以编写和运行简单的程序，还能用程序作图，完全能满足教学的需要。举例来说，中学教学中在讲多项式展开，二项式定理，数列等内容时都要讲到杨辉三角，这就要画杨辉三角。在超级画板的程序区输入这几行程序：

jc(n)

{if(n==0){1;} else{n*jc(n-1);}}

c(n,k)

{(jc(n)/(jc(n-k)*jc(k)));} yh(m)

{for(k=0;k

for(i=0;i<=k;i=i+1)

{Text(2*i-k+3,m-k-5,c(k,i));}}

执行程序，然后输入“yh(12);”，再次执行,结果如图1-8所示。

图1-8

中学数学内容很多，对信息技术的要求还涉及很多细节，例如公式输入。写文章、写教案，可以用公式编辑器MathType。但MathType需要较多的键盘和鼠标之间的切换，输入比较慢，不适于课堂用。能不能简捷点，例如输入a/b就显示出就显示出ba，输入x^(1/2)

x呢？超级画板和微软新推出的Math 3.0都做到了这一点。又如课件制作和

演示功能，上课时常常需要同时显示多个图文对象，要随着讲课进程拖动、放缩、隐藏或显示这些对象，时而即兴作图，时而测量计算，如果不是专门为数学教师设计的教学软件，几乎不可能满足这些特殊的要求。

1.2.3某些专题教学活动需要的信息技术

超级画板好比超级市场，数学教学对信息技术的需求基本上都能满足了。但是除了超级市场，有时还要上专门店。例如讲分形几何，超级画板就不如几何画板流畅（因为几何画板将所有迭代对象看做是一个对象，存储空间较少；缺点是对迭代对象难以进一步操作。超级画板的设计刚好与几何画板相反），更比不上有些专门的分形几何软件；图1-9是用几何画板制作的分形图片，需要一定的技巧和数学功底，而若采用专门的分形几何软件，只要输入一些参数，调整颜色即可，而且所作图形更加漂亮。

有时候进行数学建模的活动，需要采集一些物理、化学等方面的数据，则还需要带有传感器的图形计算器，因为一般的计算机软件都不具有这样的功能。

图1-9

1.3数学教育信息技术对教与学的影响

计算机已经成为很多人工作、学习、生活中不可缺少的一部分。尽管目前还不是每个老师都有电脑，但数学教育信息化的趋势不可逆转。正如一列火车开进山村会改变那里人们的思想观念和生活方式一样，信息技术的使用也会改变师生们的思维习惯和教与学

的方式。

1.3.1使用信息技术引发学生兴趣

不少学生觉得数学单调、枯燥。即使花大量时间做题，效果却不显著，让人失望。陈省身先生所说的数学好玩，一般人是很难体会的。而采用信息技术则可能改变这一局面。有趣活泼的动画效果、生动直观的彩色图形，正是学习的最佳刺激。以趣引思，能使学生处于兴奋状态和积极思维状态，学生在这种情境下会乐于学习，且有利于学生对新知的吸收和理解，而这一切都是传统教学很难做得到的。

譬如在勾股定理教学的课前给学生展示勾股树的动画（图1-10），那么肯定能够极大地增强学生的学习兴趣，调动学生的积极性和探究的欲望，让学生在生动、形象的环境中进行学习，由此达到事半功倍的作用，也就能很好地提高课堂教学效果。毕竟，兴趣是最好的老师。

图1-10 图1-11

再看看图1-11中这么多的小图片，你相信它们都是出自同一条曲线，只是参数不同而已么？确实难以置信！即使相信，也会以为这条曲线的作图过程相当复杂。其实步骤很简单，学生自己也能够掌握，只是1个圆，两条线段，再加几个点而已；简单的元素能够产生如此多的意想不到的变化，不借助信息技术是绝难想象的，同时也体现了数学的迷人之处。

1.3.2使用信息技术让学生深入理解数学

数学是一门抽象且逻辑性很强的学科。在学习过程中，常常会遇到一些难以理解的地方。难点不突破，积少成多，就会成为学生的包袱。其实，不少的难点用信息技术做个动画就能解决了。

传统教学讲中位线，都是先作AB、AC的中点E、F，然后连接EF，然后告诉学生，这就是中位线。而使用信息技术，则可以让学生理解更深入一点。先在底边BC上任取一点D，跟踪AD中点E，作点D的动画，则可得到△ABC的一条中位线(图1-12)。这样让学生充分了解中位线的本质：底边上任意一点的与顶点A的连线的中点都在中位线上，换句话说，中位线是由无数个中点E的集合构成的，传统教学所取的只是底边线段BC的两个端点罢了。再扩展一下，一一对应的数学思想便呼之欲出。

图1-12

在一些教材上，为了说明圆面积公式的来历，通常有类似图1-13的插图。但一旦作

成了图片，就是静止的了，而圆和矩形之间的转化是一个动态的过程，这就需要利用信息技术。而且还可以改变分割的份数，让学生清楚地看到等分份数越多，圆弧就越接近于直线，最后所得图形就越接近于矩形。图1-14展现的是用正弦波的叠加逼近矩形波的过程，这也是传统教学中学生难以理解的地方。

图1-13 图1-14 1.3.3使用信息技术提高教学效率

不少人认为使用信息技术，教师讲课可以节省很多板书的时间，从而信息容量增大，学生能够学到更多的东西。但实践表明，容量过大，学生反而接受不了，而传统教学中教师板书恰恰给学生消化吸收提供了时间。那么信息技术提高教学效率表现在哪些地方呢？以蒲丰投针为例，一些老师让学生分组做试验，把大量时间花在了单调、重复的投针活动及相关数据的记录和计算中，看似热闹，实际意义不大。完全可以利用信息技术进行模拟实验（图1-15），让学生了解大概怎么回事就可以了。关键在于把为什么可以用概率的方法计算出π的近似值的原理讲清楚，让学生从中深切体会数学方法的神奇！

又例如，最近十来年流行开放性题型。一个三角形和它的三条高线以及垂心，这个极为简单的几何图形（图1-16）中有多少组成比例的线段？这样的问题如果让人去找，花费大量时间不说，而且未必能够找全。采用信息技术，只要几秒钟，就能全部找出来。不单找出105组成比例的线段，而且找到了有42对相似三角形，相等的角有111组等信息。不仅如此，对每条信息的依据都能够详细地说明道理。

图15 图16

1.3.4使用信息技术帮助解题 数形结合在数学教学中非常重要。手工作图通常是不太准确的，有时可能得出错误的结论。如果说求解lg(x)和sin(x)在?0,10?有几个交点还比较容易的话，那么探索a与

xlogax的交点个数，手工作图几乎是不可能了。根据参数a的不同，交点个数会有4种

情况，而通常大家都很难想到当0?a?1ee时，有3个交点。而用信息技术作出函数图

象，则很容易发现这个事实（图1-17）。

图1-17

信息技术的另一个基本功能是作计算。下面以因式分解为例说明。在讲解因式分解的时候，很多老师都会教给学生这样一个公式：

x?1?(x?1)(xnn?1?xn?2???x?1)。对此公式，正确性毋庸置疑。但形如

xn?1?xn?2???x?1的表达式如何进一步分解因式，知道的人恐怕不多。数学史上分

n解因式的故事也很多，譬如费马提出素数猜想“对任一自然数n，22?1都是素数”，很多数学家企图证明都失败了，后来被数学家欧拉证伪：当n?5，

22n?1?641*6700417。如果当时费马有今天的计算机和适当的软件，例如超级画板，

他在几秒钟之内就会知道这个命题错了。

由于数学家和计算机专家的努力，现在的信息技术不只能够作图和计算，还能够推理。九点圆问题是一道经典的平面几何问题，证明较繁琐；而使用信息技术，作好图之后，只要几秒钟就能给出可读的证明，图18是该证明的结构图。超级画板就具有这种智能型的功能。

图18

1.3.5使用信息技术联系生活和大自然

不少的中学生认为，数学就是搞理论，成天做题；甚至还认为，数学学到初中就可以了，反正学多了也没可用之地。其实不然，数学在我们生活中可谓是无处不在。以圆为例，为什么车轮要做成圆形？这个问题可以不用信息技术，从常识就能回答。但是如果继续追问，假如车轮不是圆的又如何？假如是正方形车轮，而又想让车子上的人觉得平稳，应该修一条什么样的路？此时最好借助信息技术来帮忙（图1-19）。

图1-19

还有就是数学与自然的联系。有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大理解。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的??数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”在教学过程中同样也不能回避这一点。

其实不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合，譬如指数函数、正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体。试试用超级画板绘制下面这个函数：

2?-?5sin???e-2cos(4?)+ sin()，您会惊奇地看到一只蝴蝶（图1-20）！图1-21所示

24蘑菇则是跟踪点的运动生成，非常地形象。利用信息技术绘制这样的图形，并不是简单地为了找出些好看的图形，更重要的是通过这些图形的制作，启迪学生感受到数学与生活、大自然都是紧密联系的，而信息技术则是我们探索真理、追寻事实的有用工具。

图1-20 图1-21

1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统

数学教育的改革，从有数学教育活动以来，就没有停止过。种种新的思想观念和方法不断出现，旧的教学方式教学内容终究会被新的更优秀的所取代。但是，传统的未必都是不好的，新的也未必就是好的。传统的东西毕竟经历过时间考验，可取之处颇多；新的理论和方法虽然很吸引人，但仍有待在教学实践中检验。所以在使用信息技术进行教学的时候，并不是要颠覆传统教学，而是要注意保留传统教学的优秀传统。

过去，很多老师引入椭圆定义时，常常是用一条细绳圈和两根钉子来画出椭圆。这种方法也就是木工放大样时行之有效的方法，相当经典而实用。比起在屏幕上的电脑作图，更为直观生动，会给学生留下更深刻的印象。类似地，立体几何中讲二面角，用书本或门窗有时比动画更具体。还有，用茶杯里的水面，手电筒照在墙上的光影来演示圆锥曲线，都是传统教学中常常使用的。有了信息技术，这些方法仍然应当保留和提倡。 一些经验丰富的老教师用黑板粉笔讲课，边讲边写，版书字体工整清楚，公式演算结果出现得恰当其时，一个式子何时写何时擦都有讲究。学生听这样的课，简直是一种艺术欣赏和享受。这样的教学效果往往比文稿演示时一屏一屏的切换要好。如何创造能发扬这种传统教学优点的教育信息技术，是大家努力的方向。

如果利用超级画板或几何画板等动态几何软件引入椭圆定义（图1-22），原理上虽与传统作法本质上一致，但最终作出的是可以精确调控的动态图象。用动态观点去看待几何图形，才能真正揭示事物的性质、规律、事物之间的内在联系。如果将点C在线段AB的延长线上拖动，则会生成双曲线（图1-23），就把椭圆和双曲线本质上相通之点生动地揭示出来了。

拖动点E，使得DE长度大于AB长度（图1-24），此时两圆不相交，FG两点不存在，“粉笔”都不在了，又怎么还能画出椭圆呢?这就轻松地表明了在构造椭圆的时候，为什么要求“动点到两定点的距离之和要大于两定点的距离”，对此学生的记忆肯定也是相当深刻的。

图1-22 图1-23

图1-24

1.5信息技术对教学提出了新要求

使用信息技术，并不能保证教学效果就一定好。技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。近几年，一线老师们提供了很多案例，积累了丰富的经验。譬如，测量功能是动态几何软件的最基本、也是最重要的功能之一，看似简单，但有时候引发出的一些问题却很值得大家思索品味。 1.5.1中位线定理的教学案例

一位老师在讲授中位线定理这一内容时，利用超级画板作了两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始

接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过他想到，如果学生仅仅满足于记住某个结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。

于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们马上打开超级画板进行测量，很快发现AE?4JK（图1-25）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都想着如何将五边形分割成三角形，这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图1-26所示（L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。

图1-25 图1-26

同一个老师讲同一个内容，都使用了超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的增加，这就不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。

1.5.2勾股定理的教学案例

勾股定理的数学表示形式是a?b?c，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要从Rt?ABC的各边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图1-27），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDE?SCBFG?SACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图27后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现

S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择

222多边形顶点即可，并不一定要作出多边形）。

这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式

S?ABC?12absinC?12bcsinA?12只不过用了一次互补的两个角正casinB的应用么，

弦相等而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？

图1-27 图1-28

一想，其实也不难，S?ABC?S?HCG是显然的。而证S?ABC与S?BDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证

?CJB??FLB（图28）。由于?JBC??LBF（与同角互余的两角相等），根据HL定理，易证?CJB??FLB。同样地，可以证明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图1-29），于是就引出另一种证明。

如图1-30，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证?ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而

BJ?BC?BF，从而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可证S?ABC?S?AEL?S?BDF。

特别有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为两种证明都没有用到?ACB?90?这一条件。学生们听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。

图1-29 图1-30

同一个图形，从一个角度看是勾股定理，而从另一个角度观察却是正弦定理。勾股定理是依赖于直角的，正弦定理则显得更一般；勾股定理是显然的，正弦定理却是隐藏的；而这之间的沟通，对于刚刚接触勾股定理，还没听说过正弦定理的初中生来说，信息技术在其中起到了多么重要的作用！

老师们精心备课，设计好一个又一个的环节，但难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提

供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。

1.6信息技术与课程整合的四个层次

任何事都不是一蹴而就的，都需要有一个过程。我们认为信息技术与课程整合应该分为四个层次，或者说是四步走。

第一个层次：举重若轻，做能够省时省力的事。 计算机和软件无非是工具，如同圆规直尺三角板。重要的是自己的教学经验和特长要保持要发挥。原来怎样上课备课现在仍然可以保持自己的习惯和套路。但是，用计算机画一些比较复杂的图形总比用粉笔黑板方便吧？用计算机作计算或书写推导公式总要快捷准确些吧？这些工作，本来也能做，用了信息技术能够做得更快更方便，好像用圆珠笔代替毛笔一样。学习新的工具要花时间精力，但学会了能减轻劳动，是值得的。 第二个层次：心想事成，做过去想到做不到的事。 过去，在教学过程中常有一些想象或虚拟的比方，但实际上做不到。例如在黑板上画一个圆内接正多边形，说如果正多边形的边数越来越多，它的面积和周长就越来越接近圆的面积和周长。用了超级画板，画一个边数会逐步增加的正多边形是轻而易举的事。又如让几何图形和函数图像随参数变化，让运动的图形留下踪迹，让统计图表跟着数据变化，许多过去想到做不到的事，现在都可以在教学现场即兴发挥，随意操作。另外，“电子黑板”上写的画的东西会自动被储存，根据教学需要随意隐藏显示或改变颜色大小位置，这都是过去想到做不到的，现在是家常便饭了。

第三个层次：推陈出新，做过去没有想到的事。 随着对信息技术的掌握，受同行所作的课件的启发，更多地吸取或总结了别人或自己的经验，就会产生创新的愿望和灵感。原来想不到的知识表现方式，现在可以设计出来了。使用超级画板，可以制作引人入胜的动画，设计游戏式的课件和学件，使用自动解题、交互解题、几何图形的信息搜索、编程、迭代等智能性更高的功能建设教学资源，推出创新的成果。

第四个层次：众志成城，教师带领学生都来用信息技术做数学。

教学资源丰富了，对信息技术运用自如了，备课方法、讲授方法、学习方法、教学组织会自然地发生变化。例如，学生看到老师在课堂上运用自如地作图计算推导，看到老师创作的引人入胜的动画，就会产生自己动手试一试的强烈的愿望。如果有条件，最好组织学生自己动手在教师指导下探索、试验，尝试开展研究性的学习。由于信息技术的介入，会使学生全身心地投入到教学活动之中，对课程内容产生浓厚的兴趣。教学模式会自然地转变，学生的数学素养和成绩会显著提高。

第一章概论 .........................................................................................................................6

1.1数学教学中常用信息技术的三个类别 ......................................................................6 1.2数学教师需要什么样的信息技术 .............................................................................7 1.3数学教育信息技术对教与学的影响 ........................................................................ 11 1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统 .................................................................... 15 1.5信息技术对教学提出了新要求 ............................................................................... 16 1.6信息技术与课程整合的四个层次 ........................................................................... 19

第一章概论

1.1数学教学中常用信息技术的三个类别

在计算机飞速发展和普及的今天，信息技术的应用已经渗透到各个领域，这其中当然包括数学教育。

在数学教育活动中，常常用到的信息技术可分为三个类别：

（1）各行各业都能用的普适信息技术，如E-Mail，PPT, 浏览器和搜索引擎;

（2）各学科都能用的普适教育技术，如通用课件平台，教学反馈系统，电子白板； （3）为数学教学量身定做的数学教育技术，如动态几何软件，图形计算器。 普适的信息技术和普适的教育技术，给教师和学生带来很多的便利，但远不能满足学科教学与学习的需求。例如，数理学科要用到的符号计算，就是其他很多行业不需要的技术，不属于普适的信息技术。为了教学和科学技术研究而发展符号计算技术，数学家和计算机科学家耗费了大量心血。例如，仅仅为了实现整系数多项式的因式分解，发表的学术论文就超过千篇。

有些普适的信息技术表面上看来适用于教学和学习活动，人们甚至花大力气在教育领域推广这些技术。但很遗憾，这些技术未能通过教学实践的检验。例如，通用的文稿演示软件、通用的动画生成软件和通用的课件制作系统都是数学教师希望在教学中应用的技术工具，它们一度燃起教师们应用信息技术于教学的热情。然而几年之后，大家就发现学习和使用这类技术产生的教学效果，并不能补偿所投入的人力和物力。一位数学教师在网上对这类技术在教学上的应用效果的评价是“老师做累了，学生看傻了”。这句话一针见血地指出了在教学活动中滥用普适信息技术的负面影响。有作者指出，运用多媒体演示进行教学活动，其效果常常不及传统的黑板粉笔。美国2005－2007年的一次调查甚至得出教学软件无助于提高学生成绩的结论。其实，信息技术和黑板粉笔并不是完全对立两套教育技术。为教育而研发的，适用于课堂教学的信息技术工具，应当而且可以兼具黑板粉笔教学模式的长处，应当能够继承发扬传统的教学方式的长处。

近30年来，许多国家寄希望于教育信息化能显著地提高教学质量和学习成绩，投入大量的人力物力进行校园信息化的建设，但实际的效果远远低于预期。这种情形的出现，原因之一可能是试图将普适的信息技术直接用于教学的倾向广泛存在。这种倾向符合商业利益，因而得到有力的支持或鼓励。但教师和学生从中得到的好处不多。一度流行的各种“课件制作平台”和基于课本搬家而开发的“教学资源库”，对教师和学生已经没有吸引力了。那么，数学教学和学习中需要什么样的信息技术呢？

1.2数学教师需要什么样的信息技术

数学教师需要用的信息技术，大体上分为三类。

(1)选择性地使用普适的信息技术:收发电子邮件，上网查资料，汉字输入写东西，以及在网络论坛社区上交流等。

(2)数学教学中常用的信息技术：动态几何（包括动画，变换，跟踪，轨迹），动态曲线作图，动态测量，符号计算，编程环境，随机现象模拟，统计图表制作，快速公式编辑，课件制作演示等。

(3)某些专题教学活动需要的信息技术：如分形制作，函数拟合等。

以下对这3类信息技术分别论述。 1.2.1选择性地使用普适的信息技术

普适的信息技术种类繁多，目前数学教师使用较多的有这么几种。用Word写文章、

写教案；用Excel统计学生成绩；用PowerPoint制作课件；用QQ、E-mail等通讯工具与人交流；上网查资料，上论坛讨论问题。需要指出的是，不少老师对前面几种信息技术使用较为熟悉，而对上网查资料，上论坛讨论问题则还认识不够。

网络上有很多好的资料，其中有不少是要收费的，譬如中国期刊网，万方数据库等；但也有不少资料是免费的，我们可以利用搜索引擎(如百度、google）来搜索资料。千万不要以为使用搜索很简单，其中也有不少的技巧，需要查看百度（或google）的帮助文件才能发现，而这通常是很多老师忽略了的。譬如说，写教案的时候想参考一下别人的教案，那么只要进入百度（或google）的“高级搜索”，输入关键词，选择文件格式为word，就能很快搜索出大量的word文档，这一招就避免了通常的网页搜索会丢失图片和数学公式的缺陷。

只用搜索引擎搜索资料，难免有点宽泛和盲目，有时候搜索出一大堆资料出来，却找不到自己需要的。这时候就需要去论坛了。不管你是求助资料，还是提出问题，或者有什么心得体会想与人分享，都可借助于论坛。论坛的优势就在于交互性强，便于交流。可能你刚发了个帖子，再一刷新，别人就已经回复了。所谓太阳底下无新事，你所遇到的问题，极有可能别人早就碰到过，看看别人是怎么解决的，就可以少走弯路。网络上数学教育方面的论坛不少，但精品却不多，人教社的BBS和K12教育论坛是办得不错的，人气很旺盛，会员的水平也高，资料也颇丰富。

下面向大家推荐一个相当专业的数学网站（http://mathworld.wolfram.com/），图1-1是该网站的首页。这个网站就好比是一个数学词海，内容比市面上的“数学词典”更为丰富。譬如你想了解科赫雪花的相关知识，只要搜索“Koch Snowflake”就能找到

相关页面；其中有科赫雪花生成的图片（图1-2），所涉及的数学知识，各种推广形式

（图1-3），以及相关的参考文献。既提供Mathematica格式的源文件下载，也可在线观看科赫雪花生成的动画（图1-4）。你也可以输入一个极为简单的单词 circle试试，资料之丰富，令人吃惊，而且越是简单、基础，牵涉也越广泛，所提供的相关关键词和文献也越多。

图1-1 图1-2

图1-3 图1-4 正如前面所说的那样，对于普适的信息技术我们要慎重使用，最典型的例子就是文稿演示类的软件。老师们使用文稿演示器作课件，一般都是先找一个模版，然后插入一些文本、图片，这样很容易流于“教材搬家”的情况，用来教数学效果很难令人满意。当然，在优秀教师非常缺乏的地方，使用这类现成课件也不失为一种选择。

2.2数学教学中常用的信息技术

数学教学活动中，还有许多特殊的需求，普适的信息技术难以满足。为了减轻负担，提高效率，改善教学效果，数学教师应当熟悉一些专为数学教学而开发的工具软件。数学教学活动中有哪些特殊需求能够得到信息技术的帮助呢？简单归纳起来，无非是作图，测量，计算，编程，以及制作课件或演示现成的课件。

数学教师常常要画图。画几何图形（包括平面几何、解析几何和立体几何图形），画函数图像，画统计图表，等等。

数学教学中画图是为了讲道理，数学的道理常常表现为变化中的不变。例如，三角形不论如何变化，但内角和总是180度，3条中线总是交于一点。为此，动态几何作图软件应运而生。用动态几何软件所作的图形有两个基本特点：(1)图中的对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来驱动；（2）其他对象会自动调整其位置，以保持图形原来设定的几何性质。例如，作两条线段和它们的一个交点；当拖动一条线段时，交点也会随着运动(图1-5)。通常的作图软件，都不能满足数学教学的这种需求。

图1-5 图1-6

动态几何软件很多，如美国的《几何画板》，法国的《Cabri》等。而学习和使用起来最方便的，当推我国自主开发的《Z+Z智能教育平台－超级画板》(下简称超级画板)。用超级画板的智能画笔，直接操作鼠标即可作出自由点、线、圆，直线或圆锥曲线等几何对象上的点，直线与直线或圆锥曲线等几何对象的交点等几乎所有的基本几何图形(图6)。

超级画板不是专门的立体几何作图软件，但也能够较好地画立体图（图1-7）。专门的立体几何作图软件，国外的有《Cabri3D》，国内的有《Z+Z智能教育平台－立体几何》。

图1-7 绘制函数图象，特别是含有可变字母参数的函数图象，是数学教学中常常要做的工作。能画函数图象的软件很多。但数学教学中画函数图象，往往不是画一条曲线了事，常要有进一步的操作。例如，曲线上取点，画切线，对曲线做几何变换，跟踪变化的曲线以形成曲线族，对曲线下的区域填充，作积分分割等等。所以若随便采用一个软件绘制函数图象，很多后续操作就不方便进行，甚至无法进行。

至于绘制圆锥曲线，很多使用美国《几何画板》教学的老师都感到困难。因为几何画板在解析几何方面功能较弱。超级画板不但可以直接根据离心率、焦点、中心、准线等已知条件作圆锥曲线，还可以输入方程直接作圆锥曲线。

动态几何软件都带有测量功能。图形中的角度、长度和面积可以测量，表达式的值可以测量，点的坐标和曲线的方程也可以测量；测量出来的数据随图形变化而变化。作图、测量、计算，改变图形形状观察几何规律，这已经成为用动态几何软件进行教学的一个基本模式。利用这一模式，很多中学数学老师在教学中取得了很好的效果。动态几何的学习、应用和研究已经成为很活跃的领域。动态几何在教育领域的积极作用已为国际公认。

数学教学当然离不开计算。不但要用到数值计算，也要作符号计算。例如，计算?2113得到

56，计算2?8得到32，计算264得到18446744073709551616 ，从a?a得

32到2a，从x*x*x得到x，从(a?b)得到a?2ab?b等等，都属于符号计算。这是普通计算器做不到的。专门的符号计算软件有Maple，Mathematica，还有免费的Maxima等等。但中学数学教师没有必要花时间学这些专业软件，超级画板里面的符号计算功能足够用了。

下面讲讲算法编程。在新课程标准中，算法已被列为高中数学的必修内容。学习算法，最好能有编程的实践。学生自己动手编编程序，在计算机上运行程序，对算法的理解就会更深刻。看到计算机执行自己的计划，快速准确地给出问题的解答，成就感油然而生，对数学和信息技术就更有感情了。超级画板可以编写和运行简单的程序，还能用程序作图，完全能满足教学的需要。举例来说，中学教学中在讲多项式展开，二项式定理，数列等内容时都要讲到杨辉三角，这就要画杨辉三角。在超级画板的程序区输入这几行程

22序：

jc(n)

{if(n==0){1;} else{n*jc(n-1);}} c(n,k)

{(jc(n)/(jc(n-k)*jc(k)));} yh(m)

{for(k=0;k

for(i=0;i<=k;i=i+1)

{Text(2*i-k+3,m-k-5,c(k,i));}}

执行程序，然后输入“yh(12);”，再次执行,结果如图1-8所示。

图1-8

中学数学内容很多，对信息技术的要求还涉及很多细节，例如公式输入。写文章、写教案，可以用公式编辑器MathType。但MathType需要较多的键盘和鼠标之间的切换，输入比较慢，不适于课堂用。能不能简捷点，例如输入a/b就显示出就显示出ba，输入x^(1/2)

x呢？超级画板和微软新推出的Math 3.0都做到了这一点。又如课件制作和

演示功能，上课时常常需要同时显示多个图文对象，要随着讲课进程拖动、放缩、隐藏或显示这些对象，时而即兴作图，时而测量计算，如果不是专门为数学教师设计的教学软件，几乎不可能满足这些特殊的要求。

1.2.3某些专题教学活动需要的信息技术 超级画板好比超级市场，数学教学对信息技术的需求基本上都能满足了。但是除了超级市场，有时还要上专门店。例如讲分形几何，超级画板就不如几何画板流畅（因为几何画板将所有迭代对象看做是一个对象，存储空间较少；缺点是对迭代对象难以进一步操作。超级画板的设计刚好与几何画板相反），更比不上有些专门的分形几何软件；图1-9是用几何画板制作的分形图片，需要一定的技巧和数学功底，而若采用专门的分形几何软件，只要输入一些参数，调整颜色即可，而且所作图形更加漂亮。

有时候进行数学建模的活动，需要采集一些物理、化学等方面的数据，则还需要带有传感器的图形计算器，因为一般的计算机软件都不具有这样的功能。

图1-9

1.3数学教育信息技术对教与学的影响

计算机已经成为很多人工作、学习、生活中不可缺少的一部分。尽管目前还不是每个老师都有电脑，但数学教育信息化的趋势不可逆转。正如一列火车开进山村会改变那里人们的思想观念和生活方式一样，信息技术的使用也会改变师生们的思维习惯和教与学的方式。

1.3.1使用信息技术引发学生兴趣

不少学生觉得数学单调、枯燥。即使花大量时间做题，效果却不显著，让人失望。陈省身先生所说的数学好玩，一般人是很难体会的。而采用信息技术则可能改变这一局面。有趣活泼的动画效果、生动直观的彩色图形，正是学习的最佳刺激。以趣引思，能使学生处于兴奋状态和积极思维状态，学生在这种情境下会乐于学习，且有利于学生对新知的吸收和理解，而这一切都是传统教学很难做得到的。

譬如在勾股定理教学的课前给学生展示勾股树的动画（图1-10），那么肯定能够极大地增强学生的学习兴趣，调动学生的积极性和探究的欲望，让学生在生动、形象的环境中进行学习，由此达到事半功倍的作用，也就能很好地提高课堂教学效果。毕竟，兴趣是最好的老师。

图1-10 图1-11

再看看图1-11中这么多的小图片，你相信它们都是出自同一条曲线，只是参数不同而已么？确实难以置信！即使相信，也会以为这条曲线的作图过程相当复杂。其实步骤很简单，学生自己也能够掌握，只是1个圆，两条线段，再加几个点而已；简单的元素能够产生如此多的意想不到的变化，不借助信息技术是绝难想象的，同时也体现了数学的迷人之处。

1.3.2使用信息技术让学生深入理解数学 数学是一门抽象且逻辑性很强的学科。在学习过程中，常常会遇到一些难以理解的地

方。难点不突破，积少成多，就会成为学生的包袱。其实，不少的难点用信息技术做个动画就能解决了。

传统教学讲中位线，都是先作AB、AC的中点E、F，然后连接EF，然后告诉学生，这就是中位线。而使用信息技术，则可以让学生理解更深入一点。先在底边BC上任取一点D，跟踪AD中点E，作点D的动画，则可得到△ABC的一条中位线(图1-12)。这样让学生充分了解中位线的本质：底边上任意一点的与顶点A的连线的中点都在中位线上，换句话说，中位线是由无数个中点E的集合构成的，传统教学所取的只是底边线段BC的两个端点罢了。再扩展一下，一一对应的数学思想便呼之欲出。

图1-12

在一些教材上，为了说明圆面积公式的来历，通常有类似图1-13的插图。但一旦作成了图片，就是静止的了，而圆和矩形之间的转化是一个动态的过程，这就需要利用信息技术。而且还可以改变分割的份数，让学生清楚地看到等分份数越多，圆弧就越接近于直线，最后所得图形就越接近于矩形。图1-14展现的是用正弦波的叠加逼近矩形波的过程，这也是传统教学中学生难以理解的地方。

图1-13 图1-14 1.3.3使用信息技术提高教学效率

不少人认为使用信息技术，教师讲课可以节省很多板书的时间，从而信息容量增大，学生能够学到更多的东西。但实践表明，容量过大，学生反而接受不了，而传统教学中教师板书恰恰给学生消化吸收提供了时间。那么信息技术提高教学效率表现在哪些地方呢？以蒲丰投针为例，一些老师让学生分组做试验，把大量时间花在了单调、重复的投针活动及相关数据的记录和计算中，看似热闹，实际意义不大。完全可以利用信息技术进行模拟实验（图1-15），让学生了解大概怎么回事就可以了。关键在于把为什么可以用概率的方法计算出π的近似值的原理讲清楚，让学生从中深切体会数学方法的神奇！

又例如，最近十来年流行开放性题型。一个三角形和它的三条高线以及垂心，这个极为简单的几何图形（图1-16）中有多少组成比例的线段？这样的问题如果让人去找，花费大量时间不说，而且未必能够找全。采用信息技术，只要几秒钟，就能全部找出来。不单找出105组成比例的线段，而且找到了有42对相似三角形，相等的角有111组等信息。不仅如此，对每条信息的依据都能够详细地说明道理。

图15 图16

1.3.4使用信息技术帮助解题 数形结合在数学教学中非常重要。手工作图通常是不太准确的，有时可能得出错误的结论。如果说求解lg(x)和sin(x)在?0,10?有几个交点还比较容易的话，那么探索ax与

logax的交点个数，手工作图几乎是不可能了。根据参数a的不同，交点个数会有4种

情况，而通常大家都很难想到当0?a?1ee时，有3个交点。而用信息技术作出函数图

象，则很容易发现这个事实（图1-17）。

图1-17

信息技术的另一个基本功能是作计算。下面以因式分解为例说明。在讲解因式分解的时候，很多老师都会教给学生这样一个公式：

x?1?(x?1)(xnn?1?xn?2???x?1)。对此公式，正确性毋庸置疑。但形如

xn?1?xn?2???x?1的表达式如何进一步分解因式，知道的人恐怕不多。数学史上分

2n解因式的故事也很多，譬如费马提出素数猜想“对任一自然数n，2，很?1都是素数”

多数学家企图证明都失败了，后来被数学家欧拉证伪：当n?5，

22n?1?641*6700417。如果当时费马有今天的计算机和适当的软件，例如超级画板，

他在几秒钟之内就会知道这个命题错了。

由于数学家和计算机专家的努力，现在的信息技术不只能够作图和计算，还能够推理。九点圆问题是一道经典的平面几何问题，证明较繁琐；而使用信息技术，作好图之后，

只要几秒钟就能给出可读的证明，图18是该证明的结构图。超级画板就具有这种智能型的功能。

图18

1.3.5使用信息技术联系生活和大自然

不少的中学生认为，数学就是搞理论，成天做题；甚至还认为，数学学到初中就可以了，反正学多了也没可用之地。其实不然，数学在我们生活中可谓是无处不在。以圆为例，为什么车轮要做成圆形？这个问题可以不用信息技术，从常识就能回答。但是如果继续追问，假如车轮不是圆的又如何？假如是正方形车轮，而又想让车子上的人觉得平稳，应该修一条什么样的路？此时最好借助信息技术来帮忙（图1-19）。

图1-19

还有就是数学与自然的联系。有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大理解。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的??数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”在教学过程中同样也不能回避这一点。

其实不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合，譬如指数函数、正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体。试试用超级画板绘制下面这个函数：

2?-?5sin???e-2cos(4?)+ sin()，您会惊奇地看到一只蝴蝶（图1-20）！图1-21所示

24蘑菇则是跟踪点的运动生成，非常地形象。利用信息技术绘制这样的图形，并不是简单地为了找出些好看的图形，更重要的是通过这些图形的制作，启迪学生感受到数学与生

活、大自然都是紧密联系的，而信息技术则是我们探索真理、追寻事实的有用工具。

图1-20 图1-21

1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统

数学教育的改革，从有数学教育活动以来，就没有停止过。种种新的思想观念和方法不断出现，旧的教学方式教学内容终究会被新的更优秀的所取代。但是，传统的未必都是不好的，新的也未必就是好的。传统的东西毕竟经历过时间考验，可取之处颇多；新的理论和方法虽然很吸引人，但仍有待在教学实践中检验。所以在使用信息技术进行教学的时候，并不是要颠覆传统教学，而是要注意保留传统教学的优秀传统。

过去，很多老师引入椭圆定义时，常常是用一条细绳圈和两根钉子来画出椭圆。这种方法也就是木工放大样时行之有效的方法，相当经典而实用。比起在屏幕上的电脑作图，更为直观生动，会给学生留下更深刻的印象。类似地，立体几何中讲二面角，用书本或门窗有时比动画更具体。还有，用茶杯里的水面，手电筒照在墙上的光影来演示圆锥曲线，都是传统教学中常常使用的。有了信息技术，这些方法仍然应当保留和提倡。

一些经验丰富的老教师用黑板粉笔讲课，边讲边写，版书字体工整清楚，公式演算结果出现得恰当其时，一个式子何时写何时擦都有讲究。学生听这样的课，简直是一种艺术欣赏和享受。这样的教学效果往往比文稿演示时一屏一屏的切换要好。如何创造能发扬这种传统教学优点的教育信息技术，是大家努力的方向。

如果利用超级画板或几何画板等动态几何软件引入椭圆定义（图1-22），原理上虽与传统作法本质上一致，但最终作出的是可以精确调控的动态图象。用动态观点去看待几何图形，才能真正揭示事物的性质、规律、事物之间的内在联系。如果将点C在线段AB的延长线上拖动，则会生成双曲线（图1-23），就把椭圆和双曲线本质上相通之点生动地揭示出来了。

拖动点E，使得DE长度大于AB长度（图1-24），此时两圆不相交，FG两点不存在，“粉笔”都不在了，又怎么还能画出椭圆呢?这就轻松地表明了在构造椭圆的时候，为什么要求“动点到两定点的距离之和要大于两定点的距离”，对此学生的记忆肯定也是相当深刻的。

图1-22 图1-23

图1-24

1.5信息技术对教学提出了新要求

使用信息技术，并不能保证教学效果就一定好。技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。近几年，一线老师们提供了很多案例，积累了丰富的经验。譬如，测量功能是动态几何软件的最基本、也是最重要的功能之一，看似简单，但有时候引发出的一些问题却很值得大家思索品味。

1.5.1中位线定理的教学案例

一位老师在讲授中位线定理这一内容时，利用超级画板作了两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过他想到，如果学生仅仅满足于记住某个结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。

于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们马上打开超级画板进行测量，很快发现AE?4JK（图1-25）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都想着如何将五边形分割成三角形，这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图1-26所示（L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。

图1-25 图1-26

同一个老师讲同一个内容，都使用了超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的增加，这就不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。

1.5.2勾股定理的教学案例

勾股定理的数学表示形式是a2?b2?c2，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要从Rt?ABC的各边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图1-27），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDE?SCBFG?SACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图27后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现

S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择

多边形顶点即可，并不一定要作出多边形）。

这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式

S?ABC?12absinC?12bcsinA?12casinB的应用么，只不过用了一次互补的两个角正

弦相等而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？

图1-27 图1-28

一想，其实也不难，S?ABC?S?HCG是显然的。而证S?ABC与S?BDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证

?CJB??FLB（图28）。由于?JBC??LBF（与同角互余的两角相等），根据HL定

理，易证?CJB??FLB。同样地，可以证明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图1-29），于是就引出另一种证明。

如图1-30，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证?ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而

BJ?BC?BF，从而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可证S?ABC?S?AEL?S?BDF。

特别有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为两种证明都没有用到?ACB?90这一条件。学生

?们听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。

图1-29 图1-30

同一个图形，从一个角度看是勾股定理，而从另一个角度观察却是正弦定理。勾股定理是依赖于直角的，正弦定理则显得更一般；勾股定理是显然的，正弦定理却是隐藏的；而这之间的沟通，对于刚刚接触勾股定理，还没听说过正弦定理的初中生来说，信息技术在其中起到了多么重要的作用！

老师们精心备课，设计好一个又一个的环节，但难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。

1.6信息技术与课程整合的四个层次

任何事都不是一蹴而就的，都需要有一个过程。我们认为信息技术与课程整合应该分为四个层次，或者说是四步走。

第一个层次：举重若轻，做能够省时省力的事。 计算机和软件无非是工具，如同圆规直尺三角板。重要的是自己的教学经验和特长要保持要发挥。原来怎样上课备课现在仍然可以保持自己的习惯和套路。但是，用计算机画一些比较复杂的图形总比用粉笔黑板方便吧？用计算机作计算或书写推导公式总要快捷准确些吧？这些工作，本来也能做，用了信息技术能够做得更快更方便，好像用圆珠笔代替毛笔一样。学习新的工具要花时间精力，但学会了能减轻劳动，是值得的。

第二个层次：心想事成，做过去想到做不到的事。

过去，在教学过程中常有一些想象或虚拟的比方，但实际上做不到。例如在黑板上画一个圆内接正多边形，说如果正多边形的边数越来越多，它的面积和周长就越来越接近圆的面积和周长。用了超级画板，画一个边数会逐步增加的正多边形是轻而易举的事。又如让几何图形和函数图像随参数变化，让运动的图形留下踪迹，让统计图表跟着数据变化，许多过去想到做不到的事，现在都可以在教学现场即兴发挥，随意操作。另外，“电子黑板”上写的画的东西会自动被储存，根据教学需要随意隐藏显示或改变颜色大小位置，这都是过去想到做不到的，现在是家常便饭了。

第三个层次：推陈出新，做过去没有想到的事。

随着对信息技术的掌握，受同行所作的课件的启发，更多地吸取或总结了别人或自己的经验，就会产生创新的愿望和灵感。原来想不到的知识表现方式，现在可以设计出来了。使用超级画板，可以制作引人入胜的动画，设计游戏式的课件和学件，使用自动解题、交互解题、几何图形的信息搜索、编程、迭代等智能性更高的功能建设教学资源，推出创新的成果。

第四个层次：众志成城，教师带领学生都来用信息技术做数学。

教学资源丰富了，对信息技术运用自如了，备课方法、讲授方法、学习方法、教学组织会自然地发生变化。例如，学生看到老师在课堂上运用自如地作图计算推导，看到老师创作的引人入胜的动画，就会产生自己动手试一试的强烈的愿望。如果有条件，最好组织学生自己动手在教师指导下探索、试验，尝试开展研究性的学习。由于信息技术的介入，会使学生全身心地投入到教学活动之中，对课程内容产生浓厚的兴趣。教学模式会自然地转变，学生的数学素养和成绩会显著提高。

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