《概率论与数理统计》自考365李茂-精讲讲义3

第三章 多维随机变量及其概率分布

内容介绍

本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。

内容讲解

§3.1 多维随机变量的概念

1. 维随机变量的概念：

，，?，

构成的整体

＝（

，，?，

）称为一个维随机变量，

个随机变量

称为的第个分量（ ）. 2.二维随机变量分布函数的概念：

设（

称二元函数 记函数

＝

，

，

）为一个二维随机变量，记

，

为二维随机变量（

，，

，

）的联合分布函数，或称为（

＝

，

）的两个分量 和 的边缘分布函数.

，）的分布函数.

则称函数 和 为二维随机变量（ 3. 二维随机变量分布函数的性质： （1） （2）0

，

是变量 （或）的不减函数；

1，对任意给定的，

；

；对任意给定的，

；

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（3）

关于和关于均右连续，即

，有

.

.

（4）对任意给定的

例题1. P62

【例3－1】判断二元函数

【答疑编号：12030101】

是不是某二维随机变量的分布函数。

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解：我们取

,

= 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质，所以不是。 4.二维离散型随机变量

（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（则称（X，Y）为二维离散型随机变量. （2）分布律：

），（

＝1，2，?），

① 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（可能取值的概率为 称

，（，（

＝1，2，?），

＝1，2，?）为（X，Y）的分布律.

），（

＝1，2，?），（X，Y）的各个

（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式

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②（X，Y）分布律的性质 [1]

，（

＝1，2，?）；

[2]

例题2. P62

【例3－2】设（X,Y）的分布律为

【答疑编号：12030102】 解：

求a的值。

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（3）分布函数

由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数

.

例题3. P63

【例3－3】设（X,Y）的分布律为

求：（1）P{X=0}；

【答疑编号：12030103】 （2）P{Y≤2}；

【答疑编号：12030104】 （3）P{X<1,Y≤2}；

【答疑编号：12030105】 （4）P{X+Y=2}

【答疑编号：12030106】

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（1）{X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}

（2）

{Y=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}

{Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，

（3）{X＜1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2 （4）{X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得 P{X+Y=2}=P｛X=0,Y=2｝+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35 例题4. P64

【例3－4】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。 【答疑编号：12030107】 解：

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P{X=1，Y=1}

=P{X=1}·P{Y=1|X=1} =

，

， ，

所以{X，Y}的分布律为：

（4）边缘分布律：

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① 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为

（或

② 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出，

， .

③ 性质：

例题5. P64

【例3－5】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。 【答疑编号：12030108】

解：X与Y的可能值均为1，2，3. （X，Y）关于X的边缘分布律为：

（X，Y）关于Y的边缘分布律为：

可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：

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值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。 例题6. P65

【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。

【答疑编号：12030109】 解：（1）有放回摸球情况：

由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i，j=0，1），所以 P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}= P{X=0，Y=1}=P{X=0}·P{Y=1}= P{X=1，Y=0}=P{X=1}·P{Y=0}= P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1}= 则（X，Y）的分布律与边缘分布律为

（2）不放回摸球情况：

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类似地有 P{X=0，Y=1}= P{X=1，Y=0}= P{X=1，Y=1}=

则（X，Y）的分布律与边缘分布律为

5.二维连续型随机变量的概率密度

（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数意实数x，y，有

，使得对任

为

， 则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称

（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数. （2）概率密度 ① ② ③ 若

在 非负；

； 处连续，则有 的性质：

；

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④

例题7. P67

.

【例3－7】设（X，Y）的概率密度为 【答疑编号：12030110】 解：

求（X，Y）的分布函数F（x,y）.

例题8. P67

【例3－8】设二维随机变量（X，Y）的分布函数为

F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-∞

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（2）

6.两种二维连续型随机变量分布 （1）均匀分布

①定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S＞0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为

则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）～UD。 ②两种特殊区域的情况：

ⅰ.D为矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，此时

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ⅱ.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为

例题9：P68

【例3－9】设（X，Y）服从下列区域D上的均匀分布，其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.求P{X+Y≤1}。

【答疑编号：12030201】 解：

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解：根据上图，D的面积，所以（X，Y）的概率密度为

上，则

事件{X+Y≤1}意味着随机点（X，Y）落在区域

（2）正态分布

①定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为

[1]其中布，记为

[2]三维空间的曲面。

都是常数，且

则称（X,Y）服从二维正态分

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7.二维随机变量的边缘分布

（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为

（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，

例题10：P70

【例3－10】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D：边缘概率密度

【答疑编号：12030202】 解：

求（X,Y）的

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例题11：P70 例3－11

【例3－11】设二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且关于X,Y的边缘概率密度。 【答疑编号：12030203】 解：

求（X,Y）

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解：（X,Y）的概率密度为

由于 于是

令则有

因为

因而（X,Y）关于X的边缘概率密度为

即 X～N（0,1）,

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类似可得（X,Y）关于Y的边缘概率密度为

即 Y～N（0,1） 例题12. P71

【例3－13】设（X,Y）的概率密度为

求

【答疑编号：12030204】 解：

§3.2 随机变量的独立性

1.两个随机变量的独立性

用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。

（1）定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有 F（x,y）= FX（x）FY（y）， 则称X与Y相互独立.

（2）等价关系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}.

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例题13：P73

【例3－14】续3.1节例3-7证明X与Y相互独立。 【答疑编号：12030205】 证明：

2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件

设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为

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其边缘分布律为

X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有

反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立. 例题14：P74

【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。 【答疑编号：12030206】

解（1）有放回摸球情况：因为

所以X与Y相互独立。

（2）不放回摸球情况：因为

P{X=0，Y=0}≠P{X=0}·P{Y=0}， 所以X与Y不相互独立。 例题15：P75

【例3－16】设（X,Y）的分布律为

且X与Y相互独立，求常数a,b之值。 【答疑编号：12030207】 解：

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3.二维连续型随机变量相互独立的充要条件

设（X,Y）为二维离散型随机变量，其概率密度及关于X和Y的边缘概率密度分别为 f（x,y），

和

几乎处处成立.

例题16：P75（相互独立）

【例3－17】证明3.1节例3-8中的X与Y相互独立。 【答疑编号：12030208】

则X与Y相互独立的充分必要条件是等式

例题17：P76 （不相互独立）

【例3－19】设（X,Y）在以原点为圆心、半径为1的圆域上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？

【答疑编号：12030209】 解：

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例题18：P77（边缘密度确定联合密度）

【例3-20】设X与Y为相互独立的随机变量，X在[-1，1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，求：（X,Y）的概率密度。 【答疑编号：12030210】

解 由已知条件得X，Y的概率密度分别为

因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的概率密度为

4.n维随机变量

（1）n维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数和概率密度 设n维随机变量

若其概率密度为

则

其联合分布函数为

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其关于分量

其关于分量

的边缘分布函数为

的边缘密度函数为

（2）n维随机变量的相互独立 ①设n维随机变量

若对一切

有

即 则称 ②性质 ⅰ）若 ⅱ）若

是相互独立的，则其中任意是相互独立的，则它们各自的函数是相互独立的.

个随机变量也是相互独立的；

也是相互独立

的.

例题19：P78

【例3－23】设随机变量X与Y相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布。设1＜a＜3,若事件

求常数a的值。

【答疑编号：12030211】 解：

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§3.3 两个随机变量的函数的分布

1.两个离散型随机变量的函数的分布 例1：P80

【例3-24】设（X,Y）的分布律为

求Z=X+Y的分布律。 【答疑编号：12030301】

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解：Z=X+Y的可能取值为0，1，2，3， 因为事件｛Z=0｝=｛X=0，Y=0｝， 所以

因为事件{Z=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=0}，事件{X=0，Y=1}与{X=1，Y=0}互不相容，所以

事件P{Z=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=1}，事件{X=0，Y=2}与{X=1，Y=1}互不相容，所以

事件｛Z=3｝=｛X=1，Y=2｝， 所以

从而得出Z的分布律为

例2.P80

【例3-25】设X,Y是相互独立的随机变量，且 【答疑编号：12030302】

证明Z=X+Y～

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例题3：P81

【例3-26】 接例题3-24，求： （1）Z=XY的分布律；

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【答疑编号：12030303】 （2）P{X=Y}.

【答疑编号：12030304】

解（1）Z的可能值为0，1，2. 由于

{Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以

同理

则Z=XY的分布律为

（2）P{X=Y}=P{X-Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}

3.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布 例4：P81

【例3-27】设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在[0,1]服从平均分布，Y的概率密度为

求（1）（X，Y）的概率密度； 【答疑编号：12030305】 （2）P（X+Y≤1）； 【答疑编号：12030306】 （3）P{X+Y≤3}

【答疑编号：12030307】 解：（1）∵X，Y独立

（2）

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（3）

求Z=X+Y的概率密度

设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率 分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：

这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式.

注意：教材82页3.3.1式“FZ（z）”改为“fZ（z）” 例5：P82

【例3-28】设X，Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布且N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。

【答疑编号：12030308】 解：X,Y的概率密度分别为

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则Z的概率密度

令

注意：第二个等式用到

即Z服从N（0，2）分布. 一般地,设X,Y相互独立,且分布,且有

通过类似计算可得Z=X+Y仍服从正态

例6：P83

【例3-29】设X～N（3，4），Y～N（1，1），Z～N（0，1），X，Y,Z相互独立，求X+2Y+3Z的分布.

【答疑编号：12030309】

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第三章小结 一、内容

二、试题选讲

1.（405）设二维随机变量（X，Y）的分布律为

则P{X+Y=0}=（ ）。

A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7 【答疑编号：12030310】 答案：C

2.（406）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

则常数c=（ ）。

A. B. C.2 D.4 【答疑编号：12030311】

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答案：A 解析：

3.（417）设（X，Y）～N（0，0，1，1，0），则（X，Y）关于Ｘ的边缘概率密度 【答疑编号：12030312】

＝_____。

答案：

4.（1020）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

则

【答疑编号：12030313】 答案：

解析：

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5.（1026）设二维随机变量（X，Y）的分布律为

试问：X与Y是否相互独立？为什么？ 【答疑编号：12030314】 答案：X与Y相互独立 分析：

Pij=Pi·P·j，所以X与Y相互独立

6.（426）设随机变量X与Y相互独立，且X、Y的分布律分别为

试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律； 【答疑编号：12030315】

（2）随机变量Z=XY的分布律. 【答疑编号：12030316】

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答案：Z=X+Y的可能取值为0，1，2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oz2a.html