第12章时间序列模型

计量经济学

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刘康泽

第12章 时间序列模型 12章

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主要内容 第一节 第二节 第三节 第四节 基本概念 自回归过程 移动平均过程 自回归移动平均过程

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第一节

基本概念

随机过程:依赖于参数时间 的随机变量集合 的随机变量集合{y 称为随机过程. 随机过程:依赖于参数时间t的随机变量集合 t} 称为随机过程. 例如线性回归模型中的随机误差项u 例如线性回归模型中的随机误差项 1,u2,…,un可以看着是 , 随机过程…, 的一个样本 随机过程 , u-1,u0, u1, …,ut , …的一个样本. , 的一个样本. 如果随机过程u 的分布不随时间的改变而变化, 如果随机过程 t的分布不随时间的改变而变化,并且

E ( ut ) = 02 D( ut ) = E ( ut2 ) = σ u

cov( ut , uτ ) = 0, t ≠ τ称这一随机过程u 白噪音( 称这一随机过程 t为白噪音(White noise). ).

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平稳随机过程:如果随机过程 平稳随机过程:如果随机过程yt满足

E ( yt ) = D ( yt ) = σ 2 y只依赖于y 之间的时期数k,而与t无关 无关. cov( yt , yt + k ) 只依赖于 t和yt+k之间的时期数 ,而与 无关.

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非平稳

平稳

平稳随机过程举例

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自相关函数: 自相关函数:对于随机过程 {yt} , yt和yt+k之间的自相关函数为

ρk =如果yt为平稳随机过程 如果

cov( yt , yt + k ) D ( yt ) D ( yt + k )

γk = ρk = D( yt ) D( yt + k ) γ 0cov( yt , yt + k )

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但是在实际计算时,只能计算样本自相关函数 但是在实际计算时,只能计算样本自相关函数

ρk =

∑( yt =1

n k

t n

y )( yt + k y )

( yt y ) 2 ∑t =1

样本自相关函数举例

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自回归过程( ) 第二节 自回归过程(AR)前面我们讨论过自回归模型

yt = yt 1 + ut如果时间序列yt有 如果时间序列 白噪音

yt = 1 yt 1 + 2 yt 2 + + p yt p + ut其中为u 白噪音,称上式为p阶自回归过程 阶自回归过程AR(p). 其中为 t白噪音,称上式为 阶自回归过程 .

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信息系 一 自回归过程的平稳条件1 一阶自回归过程

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yt = yt 1 + ut = ( yt 2 + ut 1 ) + ut = ut + ut 1 + 2 yt 2 = ut + ut 1 + 2 ( yt 3 + ut 2 ) = ut + ut 1 + 2 ut 2 + 3 yt 3 = = ut + ut 1 + 2 ut 2 + 3 ut 3 +

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信息系∵ E ( ut ) = 0,∴ E ( yt ) = 02 ∵ D( yt ) = σ u (1 + 2 + 4 + + 6 )

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只有当 < 1 时,2 ∵ D( yt ) = σ u (1 + 2 + 4 + 6 ) 2 σu = 12

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信息系yt = ut + ut 1 + 2 ut 2 + 3 ut 3 +

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yt + k = ut + k + ut + k 1 + 2 ut + k 2 + 3 ut + k 3 + ∴ cov( yt , yt + k ) = E ( yt yt + k )2 2 2 = kσ u + k + 2σ u + k + 4σ u + 2 = kσ u (1 + 2 + 4 + 6 ) 2 kσ u = 12

只与k有关 因此从上述分析得知当 有关. 这表明 cov( yt , yt + k ) 只与 有关.因此从上述分析得知当 < 1 时,一阶自回

归过程为平稳过程. 一阶自回归过程为平稳过程.

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信息系2 p阶自回归过程 阶自回归过程 对于p阶自回归过程,也有类似的结论. 对于 阶自回归过程,也有类似的结论. 阶自回归过程

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yt = 1 yt 1 + 2 yt 2 + + p yt p + ut

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信息系 二 自回归过程的自相关函数一阶自回归过程AR(1)的自相关函数为 的自相关函数为 一阶自回归过程

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kσ 2 cov( yt , yt + k ) γk y = = =k ρk = 2 γ0 σy D ( yt ) D ( yt + k )对于p阶自回归过程 对于 阶自回归过程AR(p) ,由于 阶自回归过程

yt = 1 yt 1 + 2 yt 2 + + p yt p + ut

∴ γ k = cov( yt , yt + k ) = 1 cov( yt 1 , yt + k ) + 2 cov( yt 2 , yt + k ) + + p cov( yt p , yt + k ) = 1γ k 1 + 2γ k 2 + + pγ k p [1]

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信息系当k=0时, 时

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γ 0 = D( yt ) = E ( yt2 ) = E[ yt ( 1 yt 1 + 2 yt 2 + + p yt p + ut )]2 = 1γ 1 + 2γ 2 + + pγ p + σ u 2 用 γ 0 = σ y 除[1]的左右两边得 的左右两边得

γ k 1γ k 1 + 2γ k 2 + + pγ k p ρk = = γ0 γ0 = 1 ρ k 1 + 2 ρ k 2 + + p ρ k p

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信息系 三 自回归过程的估计1 自回归阶数 已知 自回归阶数p已知 当自回归阶数p已知,可直接用 当自回归阶数 已知,可直接用OLS法估计参数 已知 法估计参数

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信息系2 自回归阶数 未知 自回归阶数p未知

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如果自回归阶数p未知,最关键的就是确定 , 如果自回归阶数 未知,最关键的就是确定p,可根据自相关图 未知 和偏相关图来确定. 和偏相关图来确定. 将p求出后,就可以直接利用OLS法估计参数.下面介绍偏相关 求出后,就可以直接利用 法估计参数. 求出后 法估计参数 系数检验法. 系数检验法. 当样本的容量n很大时,样本偏相关系数近似地服从均值为零, 当样本的容量 很大时,样本偏相关系数近似地服从均值为零, 很大时 方差为1/n的正态分布.因此偏相关系数检验法的步骤为: 方差为 的正态分布.因此偏相关系数检验法的步骤为: 的正态分布

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检验方法: 检验方法:2 2 , ); 步骤1: 步骤 :计算出置信区间 ( n n 步骤2: 步骤 :计算出各阶样本偏相关系数 k(可以由偏相关函数图得到);

是否落在此区间内. 落在区间外, 步骤3: 步骤 :考察 k 是否落在此区间内.如果 k 落在区间外,则说明 是显著的( );否则 是不显著的( 是显著的(即 k ≠ 0);否则 k 是不显著的(即 k = 0 ). k上述置信区间是在置信度为95%下取得的. 下取得的. 【注】上述置信区间是在置信度为 下取得的

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移动平均过程( 第三节 移动平均过程(MA) )一 移动平均过程如果y的模型描述为 如果 的模型描述为 白噪音

yt = ut + θ 1ut 1yt为两个白噪音的加权和,称上述过程为一阶移动平均过程 为两个白噪音的加权和,称上述过程为一阶移

动平均过程 MA(1). . 更一般地

yt = ut + θ 1ut 1 + + θ q ut q称为q阶移动平均过程 称为 阶移动平均过程MA(q). 阶移动平均过程 .

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信息系 二 移动平均阶数的确定1 自相关函数 对于一阶移动平均过程MA(1) 对于一阶移动平均过程

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yt = ut + θ 1ut 1由于u 由于 t为白噪音

∴ E ( yt ) = E ( ut + θ 1ut 1 ) = E ( ut ) + θ 1 E ( ut 1 ) = 0 ∴ D( yt ) = E ( ut + θ 1ut 1 )2 = E ( ut2 ) + 2θ 1 E ( ut ut 1 ) + θ 12 E ( ut21 )2 = (1 + θ 12 )σ u

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