第45讲 合情推理与演绎推理

第45讲 合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．

3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．

知识梳理 1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理．归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理．

(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ； ②小前提—— 所研究的特殊情况 ；

③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 . 热身练习

1．(2015·陕西卷)观察下列等式：

111－＝， 22

111111－＋－＝＋， 23434

111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456……

11111111

据此规律，第n个等式为 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ .

2342n2n－12nn＋1n＋2

等式左边是一个和式，先观察其通项：

11－， 2n－12n11111

前n项和为1－＋－＋…＋－；

2342n－12n

1

右边的每个式子的第一项为，

n＋1

111

共有n项，故为＋＋…＋. n＋1n＋2n＋n

11111111

所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 2342n2n－12nn＋1n＋2等式的左边的通项为

2．用类比的方法填写下表中的空白： 等差数列{an}中 a3＝a2＋d a3＋a4＝a2＋a5 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3

类比得：b1·b2·b3·b4·b5＝b53.

S△PA′B′PA′·PB′VP－A′B′C′

＝，则由图(2)有体积关系：＝

PA·PBS△PABVP－ABC

等比数列{bn}中 b3＝b2·q b3·b4＝b2·b5 b1·b2·b3·b4·b5＝b53 3．如图(1)有面积关系：PA′·PB′·PC′

.

PA·PB·PC

平面上的面积可类比到空间上的体积．

1

S△PA′B′·h′VP－A′B′C′3·PA′·PB′·PC′＝＝.

1PA·PB·PCVP－ABC

·S·h3△PAB

4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)

A．不是三段论推理，且结论不正确 B．不是三段论推理，但结论正确 C．是三段论推理，但小前提错误 D．是三段论推理，但大前提错误

5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)

A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误

由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．

归纳推理

(2018·陕西咸阳模拟)观察下列等式： 1×2<2， 91×2＋2×3<，

21×2＋2×3＋3×4<8，

25

1×2＋2×3＋3×4＋4×5<，

2……

根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是 .

观察不等式，可得： 422?1＋1?

1×2<2＝＝＝，

222932?2＋1?

1×2＋2×3<＝＝，

222

1642?3＋1?

1×2＋2×3＋3×4<8＝＝＝，

222

2

2552?4＋1?

1×2＋2×3＋3×4＋4×5<＝＝，

222

2

2

2

由此可得第n个不等式是：

?n＋1?2

n?n＋1?<. 2

?n＋1?2

n?n＋1?< 2

1×2＋2×3＋…＋

1×2＋2×3＋…＋ (1)归纳推理是由个别到一般的推理，需要仔细观察特例的结构特征，从中发现

一般规律．为了发现规律，有时对特殊情况要进行适当变形．

(2)归纳推理的一般步骤是：①对相关资料进行观察、分析、归纳整理；②推出带有规律性的结论(猜想)；③检验猜想．

1．(2016·山东卷)观察下列等式： π－2π－4

(sin)2＋(sin)2＝×1×2； 333π－2π－3π－4π－(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋(sin)2 55554

＝×2×3； 3

π－2π－3π－6π－4

(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋…＋(sin)2＝×3×4； 77773π－2π－3π－8π－4

(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋…＋(sin)2＝×4×5； 99993…… 照此规律， (sin

π－22π－23π－22nπ－24

)＋(sin)＋(sin)＋…＋(sin)＝ n(n＋1) .

32n＋12n＋12n＋12n＋1

44

通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等

33

4

式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一344

个自然数，所以所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．

33

类比推理

(2018·陕西西安月考)已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC

1

＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD四个面的面积分别为S1，S2，S3，2S4，内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝_______________________.

1

类比面积公式S△ABC＝r(a＋b＋c)的推导方法，以四面体内切球球心向四个顶点引

2

直线将四面体分成四个三棱锥，它们分别以四个面为底面，内切球半径R为高，

1

所以VA－BCD＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．

3

1

R(S1＋S2＋S3＋S4) 3

(1)类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比．

(2)类比推理的一般步骤是：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜想)；③检验猜想．

a2＋b22．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝.将

2此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝

a2＋b2＋c2

. 2

类比△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝

a2＋b2

的推导方法——构造长方形．由此可将四面体S－ABC构造出长方体，由对角截面2

性质可知，球的直径等于长方体的体对角线长，即2R＝ 合情推理与演绎推理 (2018·河北诊断)观察下列等式： 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， ……

请归纳出一个一般结论，并加以证明．

观察这些等式，

第一个式子左边从1开始，1个数，右边是12； 第二个式子左边从2开始，3个数相加，右边是32； 第三个式子左边从3开始，5个数相加，右边是52； 由此归纳出：

第n个式子左边从n开始，2n－1个数相加，右边是(2n－1)2；

第n个式子左边是首项为n，公差为1，项数为2n－1的等差数列的和，

a2＋b2＋c2，故R＝a2＋b2＋c2

. 2

第2n－1个数为n＋(2n－1－1)×1＝3n－2.

故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.下面进行证明：

证明：等式左边是(2n－1)个数的和，且这(2n－1)个构成等差数列，其首项为n，公差为1，

根据等差数列求和公式得

?n＋3n－2??2n－1?

n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝＝(2n－1)2.

2

(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一

步的严格证明．

(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

π1＋tan x

3．(1)求证：tan(x＋)＝. 41－tan x

1＋f?x?

(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．

1－f?x?

π

tan x＋tan

41＋tan xπ

(1)证明：tan(x＋)＝＝.

4π1－tan x

1－tan xtan

4(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数． 因为f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1] 1＋f?x?1＋

1－f?x?1＋f?x＋1?1

＝＝＝－，

f?x?1－f?x＋1?1＋f?x?

1－

1－f?x?

1

所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)．

f?x＋2?所以f(x)是周期函数，且其中一个周期为4.

1．归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．

2．类比的关键是能把两类对象之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．

3．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．

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