2013年天津市中考数学试卷及答案（word解析版）

天津市2013年中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2013?天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（ ） 12 6 A．B． ﹣12 C． D． ﹣6 2．（3分）（2013?天津）tan60°的值等于（ ） 1 A．B． C． D． 2 3．（3分）（2013?天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 来#%源@:~中教网 4．（3分）（2013?天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 2

000m，将8210 000用科学记数法表示应为（ ） 2567 A．B． C． D． 821×10 82.1×10 8.21×10 0.821×10 5．（3分）（2013?天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（ ） A．（1）班比（2）班的成绩稳定 B． （2）班比（1）班的成绩稳定 两个班的成绩一样稳定 C．D． 无法确定哪班的成绩更稳定 6．（3分）（2013?天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）

A．B． C． D． 7．（3分）（2013?天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）

A．矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形 考点： 旋转的性质；矩形的判定． 分析： 根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 解答： 解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC=BC，点D是边AB的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF矩形．

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故选A． 8．（3分）（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ） A．B． C． 1：2 ：3 ：2 9．（3分）（2013?天津）若x=﹣1，y=2，则 A．B． ﹣

C． 的值等于（ ）

D． ：2 D． 10．（3分）（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；

②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）

0 2 3 A．C． D． 考点： 函数的图象． 分析： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合； ②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象； ③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象； 解答： 解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合； ②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象； ③如图所示： 1 B． 当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象； 综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2． 故选C． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

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11．（3分）（2013?天津）计算a?a的结果等于 a ．

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12．（3分）（2013?天津）一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是 6 ． 13．（3分）（2013?天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 k＞0 ． 14．（3分）（2013?天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 AC=BD（答案不唯一） ．

考点： 专题： 分析： 解答： 全等三角形的判定与性质． 开放型． 利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 解：∵在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）， ∴AC=BD，AD=BC． 故答案为：AC=BD（答案不唯一）． 15．（3分）（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 （度）．

16．（3分）（2013?天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是

．

17．（3分）（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 ．

考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： 先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度． 解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°，

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∴△ABD∽△DCE， 则即==， ， 解得：CE=2， 故AE=AC﹣CE=9﹣2=7． 故答案为：7． 18．（3分）（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上． （Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 ．

考点： 作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可； （Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 解答： 解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6； （Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线， 与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F， 则四边形DEFG即为所求． 故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 点评： 此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键． 三、解答题（共8小题，满分66分）

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19．（6分）（2013?天津）解不等式组

．

20．（8分）（2013?天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．

（Ⅰ）求这个函数的解析式； （Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围． 考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： （1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值． （Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上； （Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题． 解答： 解：（Ⅰ）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）， ∴把点A的坐标代入解析式，得 3=， 解得，k=6， ∴这个函数的解析式为：y=； （Ⅱ）∵反比例函数解析式y=， ∴6=xy． 分别把点B、C的坐标代入，得 （﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上． 3×2=6，则点C中该函数图象上； （Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6， 又∵k＞0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2． 21．（8分）（2013?天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：

（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．

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解答： 解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32； （2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16， ∴这组数据的平均数为：16， ∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10， ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：（15=15）=15； （3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%， ∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608， ∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名． 故答案为：50，32． 22．（8分）（2013?天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D． （Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

考点： 切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 分析： （Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，

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∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°． 23．（8分）（2013?天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD?tan36°，即可得CD?tan36°=CD﹣112，继而求得答案． 解答： 解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∵AD=AB+BD， ∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m）， ∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=∴tan36°=， ，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°， ∴BD=CD?tan36°， ∴CD?tan36°=CD﹣112， ∴CD=≈≈415（m）． 答：天塔的高度CD为：415m． 24．（8分）（2013?天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100． （1）根据题题意，填写下表（单位：元） … 130 290 x 累计购物 实际花费 … 127 在甲商场

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… 126 在乙商场 （2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？ 解答： 解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271， 100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10； 在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278， 50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5； （2）根据题意得出： 0.9x+10=0.95x+2.5， 解得：x=150， ∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同， （3）由0.9x+10＜0.95x+2.5， 解得：x＞150， 0.9x+10＞0.95x+2.5， 解得：x＜150， yB=0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确； ∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少； 当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少． 25．（10分）（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．

2222

①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B+BE′，并求出使A′B+BE′取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4）， ∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴点E的坐标为（0，1）； （Ⅱ）①如图②，连接EE′． 由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m． 在Rt△A′BO中，由A′B=A′O+BO，得A′B=（2﹣m）+4=m﹣4m+20． ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，

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2222222 ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=m． 又BE=OB﹣OE=3， 2222∴在Rt△BE′E中，BE′=E′E+BE=m+9， 2222∴A′B+BE′=2m﹣4m+29=2（m﹣1）+27． 22当m=1时，A′B+BE′可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）． ②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴==， ∴AA′=×2=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是（，1）． 26．（10分）（2013?天津）已知抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的

部分对应值如下表所示：

（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；

（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）． （1）求y2与x之间的函数关系式；

（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．

… … x 0 3 ﹣1 2… … 0 0 y1=ax+bx+c 分析： （II）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标． ①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y2﹣t|，过点

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2

P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式； ②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t）在x轴下也符合题＞3时，求出y1﹣y2的值；若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，方，因为3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞意． 解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，）， ∴c=． ∴y1=ax+bx+， ∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax+bx+上， 22，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=∴，解得， ∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x+x+； （II）∵y1=﹣x+x+， ∴y1=﹣（x﹣1）+3， ∴直线l为x=1，顶点M（1，3）． ①由题意得，t≠3， 如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时， ∵由已知得，AM与BP互相垂直平分， ∴四边形ANMP为菱形， ∴PA∥l， 又∵点P（x，y2）， ∴点A（x，t）（x≠1）， ∴PM=PA=|y2﹣t|， 过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2）， ∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|， 在Rt△PQM中， ∵PM=QM+PQ，即（y2﹣t）=（y2﹣3）+（x﹣1），整理得，y2=3222222222（x﹣1）+2， 即y2=x﹣x+， ∵当点A与点C重合时，点B与点P重合， ∴P（1，）， ∴P点坐标也满足上式，

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∴y2与x之间的函数关系式为y2= ②根据题意，借助函数图象： x﹣3x+（t≠3）； 当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，∵3＞， ）， ∴不合题意， 当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时， y1﹣y2=﹣（x﹣1）+3﹣[=（x﹣1）+22（x﹣1）+， 2] 若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立， 只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，，符合题意； 也符合题意． ． ）在x轴下方， ∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥

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∴y2与x之间的函数关系式为y2= ②根据题意，借助函数图象： x﹣3x+（t≠3）； 当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，∵3＞， ）， ∴不合题意， 当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时， y1﹣y2=﹣（x﹣1）+3﹣[=（x﹣1）+22（x﹣1）+， 2] 若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立， 只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，，符合题意； 也符合题意． ． ）在x轴下方， ∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥

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