山西省2022年上学期太原市第五中学高三数学理月阶段性试题答案

第1页，共6页 山西省2020年上学期太原市第五中学高三数学理9月阶段性试题答案

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 已知集合A ={x|x 2?3x +2<0}，B ={x|x ≥1}，则A ∩B =( )

A. (1,2)

B. (2,+∞)

C. (1,+∞)

D. ?

【答案】A 解：由题意得集合A ={x|1

2. 已知函数f(x)的定义域为[?2,3]，则函数F(x)=f(x)|x|?2+log 2|x|的定义域为( )

A. (?2,3]

B. (?2,0)∪(0,3]

C. (?2,0)∪(0,2)∪(2,3)

D. (?2,0)∪(0,2)∪(2,3] 【答案】D 解：因为函数f(x)的定义域为[?2,3]，

所以函数F(x)=f(x)|x|?2+log 2|x|的自变量的取值为：

{?2≤x ≤3,x ≠±2,x ≠0

，解得?2

所以该函数的定义域为：(?2,0)∪(0,2)∪(2,3]． 3. 函数f (x )=x 3+x ?4的零点所在的区间为( )

A. (?1,0)

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

【答案】C 解：易知函数f(x)单调递增，最多只有一个零点，因为f(1)=1+1?4=?2<0,f(2)=8+2?4=6>0，所以f(1)f(2)<0，故零点在(1,2)上．

4. 已知e 为自然对数的底数，又a =lg 0.5，b =e 0.5，c =0.5e ，则( )

A. a

B. a

C. c

D. b 【答案】B 解：∵a <0，b >1，c ∈(0,1)，∴a

5. 函数f(x)=ln(x+√x 2+1)的图象大致是( ) A. B. C. D.

【答案】C 【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，

f(?x)=ln(?x+√x 2+1)=ln(x+√x 2+1)?1=?f(x)，则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， 当x =π4时，f(π4)>0，排除D ，

故选：C ．

6. 已知函数f (x)={log 2x,x >0,2x ,x ≤0,

且关于x 的方程f (x)?a =0有两个实根，则实数a 的取值范围为( )

第2页，共6页 A. (0,1] B. (0,1) C. [0,1] D. (0,+∞)

【答案】A 解：函数f (x)={log 2?x,x >02x ,x ?0

, 作出函数y =f (x)的图象(如图)，

关于x 的方程f (x)?a =0有两个实根，

即y =f(x)的图象与直线y =a 有两个交点，

欲使y =f (x)的图象和直线y =a 有两个交点，

由图象可知0

7. 已知奇函数f(x)在R 上单调递增，则不等式f(log 2x)+f (12)>f(0)的解集为( )

A. (?∞,√2)

B. (?∞,12)

C. (√2,+∞)

D. (√22

,+∞) 【答案】D 解：∵函数f(x)时R 上的奇函数，

∴f(0)=0∵f(log 2x)+f (12)>f(0)，

∴f(log 2x)>?f(12)，即f(log 2x)>f(?12

)， 又∵函数f(x)在R 上单调递增，∴log 2x >?12，解得x >√22， 则不等式f(log 2x)+f (12)>f(0)的解集为(√22

,+∞)． 8. 函数f(x)=ln?(x 2?ax ?3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )

A. (?∞,?2]

B. (?∞,?2)

C.?(?∞,2]

D. (?∞,2) 【答案】A 解：20

-2-121,3)(2-≤?????≥≤--=a a a ax x x t 解得由复合函数单调性知令

9. 已知函数f(x)=x 2?2m ，g(x)=3lnx ?x ，若y =f(x)与y =g(x)在公共点处的切线相同，则m =

A. ?3

B. 1

C. 2

D. 5

第3页，共6页

【答案】B 解：f(x)=x 2?2m, g(x)=3lnx ?x 的公共点设为(x 0, y 0)，(x 0

>0)，

则f(x 0)=g(x 0),??f

′

(x 0)=g

′

(x 0)，{

x 02?2m =3ln?x 0?x 0

2x 0=

3

x 0

?1

,解得x 0=1,??m =1，

10. 函数f(x)=|x|?ln(|x|+1)，g(x)={12

x +a,x ≥0

a ?1

2x,x <0

，若存在x 0使得f(x 0)

B. 0

C. 1

D. 2

【答案】B

【解析】解：由函数f(x)=|x|?ln(|x|+1)，可得f(?x)=f(x)，即f(x)为偶函数， 当x ≥0时，f(x)=x ?

1x+1

=

x

x+1

，当x ≥0时，

ln(x +1)，导数为f′(x)=1?f′(x)≥0，f(x)递增，可得f(x)的最小值为f(0)=0，则f(x)

由g(x)={12

x +a,x ≥0

a ?1

2x,x <0

，在R 上的最小值为0；

即为g(x)=a +1

2|x|为偶函数，

当x ≥0时，g(x)=a +1

2x 递增，可得g(x)的最小值为g(0)=a ，则g(x)在R 上的最小值为a ，y =f(x)，y =g(x)的图象如右图，

存在x 0使得f(x 0)

2|x|>|x|?ln(|x|+1)在R 上有解， 由对称性，可考虑x ≥0时，a >1

2x ?ln(x +1)成立，

设?(x)=1

2x ?ln(x +1)，x ≥0，可得导数为?′(x)=1

2?1

x+1=x?1

2(x+1)， 当x >1时，?′(x)>0，?(x)递增；当0≤x <1时，?′(x)<0，?(x)递减， 可得?(x)在x =1处取得极小值，且为最小值?(1)=1

2?ln2， 则a >1

2?ln2，而1

2?ln2<0，可得整数a 的最小值为0． 二、填空题（本大题共4小题，共16分）

11. 已知函数f(x)=(t ?2)x t 是幂函数，则曲线y =log t (x ?t)+t 恒过定点________． 【答案】(4,3)??解：∵函数f(x)=(t ?2)x t 是幂函数，∴t ?2=1，∴t =3， ∴曲线y =log t (x ?t)+t 为y =log 3(x ?3)+3，由x ?3=1得x =4，y =3，

∴曲线y =log t (x ?t)+t 恒过定点(4,3)．

12. 曲线y =x 2?1与直线y =2x +2围成的封闭图形的面积为

________．

第4页，共6页 【答案】3

32解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：

由{y =x 2?1y =2x +2

得x 2?1=2x +2，即x 2?2x ?3=0， 解得x =?1或x =3，

则根据积分的几何意义可知所求的几何面积

S =∫[3?12x +2?(x 2

?1)]dx =∫(3?1

2x +3?x 2)dx =(x 2+3x ?13x 3)|??13=(9+9?9)?(1?3+13)=

323， 13. 已知条件p:x >m ，条件q:2?x x+1?0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______．

【答案】(?∞,?1]解：由2?x x+1?0，解得q:?1

14. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x +1)+f(3?x)=0，且当x ∈(2,4)时，f(x)=?log 12

(x ?1)+m ，若f(2021)=1+2f(?1)，则m =__________．

【答案】?43??解：因为函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，所以f(?x)=?f(x)，因为f(x +1)+f(3?x)=0，所以f(x +1)=?f(3?x)=f(x ?3)，

所以f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，

则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=?f(?1)，又f(2021)=1+2f(?1)， 所以?f(?1)=1+2f(?1)，所以f(?1)=?13，

即f(3)=?13，又当x ∈(2,4)时，f(x)=?log 12

(x ?1)+m ， 所以f(3)=?log 122+m =?13，解得m =?43． 三、解答题（本大题共4小题，共44分）

15. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时f(x)=log

12(x +1)．

（1）求f(x)的表达式；

（2）若f(a ?1)

【答案】解：（1）f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，则?x >0，

∴f(x)=f(?x)=log 12(?x +1) 故f(x)={log 12(x +1),(x ≥0)

log 12(?x +1),(x <0);

（2）f(x)是定义在R 的偶函数，且f(x)=log 12

(x +1)在区间[0,+∞)是减函数，

第5页，共6页 ∴f(x)在(?∞,0)是增函数．

由于f(a ?1)|3?a|．解得a >2，

即a 取值范围为(2,+∞)．

16. 已知函数f(x)=4x +a ?2x +3，a ∈R ．

(1)当a =?4时，且x ∈[0,2]，求函数f(x)的值域；

(2)若关于x 的方程f(x)=0在(0,+∞)上有两个不同实根，求a 的取值范围．

【答案】解：(1)当a =?4时，令t =2x ，由x ∈[0,2]，得t ∈[1,4]，y =t 2?4t +3=(t ?2)2?1 ，当t =2时，

y min =?1；当t =4时，y max =3.

∴函数f(x)的值域为[?1,3]；

(2)令t =2x ，由x >0知t >1，且函数t =2x 在(0,+∞)单调递增． ∴原问题转化为方程t 2+at +3=0在(1,+∞)上有两个不等实根，求a 的取值范围．

设g(t)=t 2+at +3，则{Δ=a 2?12>0?a 2>1g(1)>0，即{Δ=a 2?12>0?a 2>1a +4>0

，解得?4

17. 已知函数

. （1）当a =?1时，求函数

在区间的最小值. (2) 讨论函数的单调性；

.解：(Ⅰ) 当a =?1时，f (x )=?2lnx +1

2x 2?x,f ′(x )=

(x?2)(x+1)x ,. 当1

在区间(1,2)单调递减， 当20,

在区间(2,e)单调递增， 所以f(x)min =f (2)=?2ln2

（Ⅱ）函数的定义域为，

，

当

时，，所以在定义域为上单调递增； （2）当

时，令，得（舍去），， 当变化时，

，的变化情况如下： 此时，

在区间单调递减， 在区间

上单调递增； （3）当

时，令，得，（舍去）， 当变化时，

，的变化情况如下： 此时，在区间单调递减，

第6页，共6页 在区间上单调递增.

18. 已知函数f(x)=a(x +lnx)?xe x ．

（1）当a=0时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；

（2）若f(x)<0在x ∈[1,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）当a =1时，求函数f(x)的极大值．

【答案】解：（1）02),1(22)1(',)1()1()(',)(,0=-+--=+∴-=-=∴+-=-==e y ex x e e y e

f e f e x x f xe x f a x x 即切线方程为时当 （2）由f′(x)=a(1+1x )?(x +1)e x =(x+1)(a?xe x )x (x ≥1)，

①当a ≥e 时，f(1)=a ?e ≥0，与f(x)<0在[1,+∞)上恒成立矛盾，故a ≥e 不符合题意． ②当a

故f(x)max =f(1)=a ?e <0，故f(x)<0在[1,+∞)上恒成立， ∴a

（3）函数的定义域为(0,+∞)，当a =1时，f(x)=x +lnx ?xe x ,f′(x)=1+1x ?(x +1)e x =(x+1)(1?xe x )x ，

令g(x)=1?xe x ，g′(x)=?(x +1)e x <0，则g(x)在(0,+∞)递减． 又g(12)=1?√e 2

>0,g(1)=1?e <0， ∴存在x 0∈(12,1)，使得1?x 0e x 0=0，即f′(x 0)=0，

故当x ∈(0,x 0)，g(x)>0，即f′(x)>0，则f(x)在(0,x 0)递增． 当x ∈(x 0,+∞)，g(x)<0，即f′(x)<0，则f(x)在(x 0,+∞)递减． ∴f(x)极大值=f(x 0)=x 0+lnx 0?x 0e x 0，又x 0e x 0=1，lnx 0+x 0=0， 故f(x)极大值=?1．