江苏省常州市教育学会2012届高三上学期学业水平监测数学试题

常州市教育学会学业水平监测高三数学试题

2012年1月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

a1．已知集合A?{?1，0，2}，B?{2}，若B?A，则实数a的值为 ．

2．若z?z?z?3．已知双曲线

154?2i（i为虚数单位），则复数z= ．

x29?yb22?1(b?0)的一条渐近线的倾斜角为

?3，则b的值为 ．

4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人．

5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ． 6．函数f(x)?cos(x??2)?cos(x??6)的最小正周期为 ．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的右顶点为A，上顶点为B，

M为线段AB的中点，若?MOA?30?，则该椭圆的离心率的值为 ．

8．已知等比数列{an}的各均为正数，且a1?2a2?3，a42?4a3a7，则数列{an}的通项公式为 ．

9．设m?R，已知函数f(x)??x2?2mx2?(1?2m)x?3m?2，若曲线y?f(x)在x?0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为 ． 10．对于函数y?f(x)(x?R)，给出下列命题：

（1）在同一直角坐标系中，函数y?f(1?x)与y?f(x?1)的图象关于直线x?0对称； （2）若f(1?x)?f(x?1)，则函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称； （3）若f(1?x)?f(x?1)，则函数y?f(x)是周期函数；

（4）若f(1?x)??f(x?1)，则函数y?f(x)的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ．

11．设函数y?f(x)在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk(x)??若函数f(x)?log3|x|，则当k?13?f(x)，f(x)>k，?k，f(x)≤k，时，函数fk(x)的单调减区间为 ．

ACBC?BCAC?AB212．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则

BC?AC的最大值

为 ． 13．已知函数f(x)?2x(x?R)，且fx，其中g(x)为奇函数，若()gx?()hx()?h(x)为偶函数．不等式2a?g(x)?h(2x)≥0对任意x?[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ．

14．已知a，b，c均为正实数，记M?max??11a??b，?bc，?c?，则M的最小值

ab?ac?为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．

1

15．（本小题满分14分）

已知m、x?R，向量a?(x，?m)，b?((m?1)x，x)． （1）当m?0时，若|a|<|b|，求x的取值范围； （2）若a?b>1?m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

16．（本小题满分14分）

如图，斜三棱柱A1B1C1?ABC中，侧面AA1C1C?底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，

E A1 C1

?A1AC?60，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：

?B1 （1）EF∥平面BB1C1C； （2）平面CEF⊥平面ABC．

17．（本小题满分14分）

A

F B C 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn?an2?4an?3(n?N?)，且

a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．

（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；

（2）是否存在常数a>0且a?1，使得数列{an?logabn}(n?N?)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x?m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b?0，b为常数）的椭圆为D．

（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；

（2）当b?1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；

（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x?????????轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论．

2

19．（本小题满分16分）

如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，

?APH??，??(?3?，)． 44A

H G P B

O D （1）求l关于?的函数关系式； （2）定义比值

OPl为招贴画的优美系数，当优

美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角?满足：

??tan(???4)时，招贴画最优美．

20．（本小题满分16分）

设a为实数，函数f(x)?x|x2?a|．

C （1）当a?1时，求函数f(x)在区间[?1，1]上的最大值和最小值；

（2）求函数f(x)的单调区间．

常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH=DE．

B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

O ?2求矩阵M???14??的特征值及对应的特征向量． ?1?A H D E C B C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

3

在极坐标系中，O为极点，求过圆C：??6cos(??线l的极坐标方程．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知x，y均为正实数，求证：

14x?14y?3)的圆心C且与直线OC垂直的直

≥

1x?y．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．．

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http

22．已知斜率为k(k?0)的直线l过抛物线C:y2?4x的焦点F且交抛物线于A、B两点． 设线段AB的中点为M． （1）求点M的轨迹方程；

（2）若?2

23．已知正项数列{an}中，a1?1，an?1?1?an1?an(n?N)．用数学归纳法证明：

?13）的距离总

15，求m的取值范围．

an

?常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．1 2．?12?2i

3．33 4．700 5． 6．π 7．3263 8．

-32n 9．(,?)

223110．（3）（4） 11．(??,?33]（开区间也对） 12．22 13．a≥1712 14． 2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

解：（1）a?x2?m2， b?(m?1)2x2?x2， ……………………4分

因为a?b，所以a?b ． 从而x2?m2?(m?1)2x2?x2．

2222 4

因为m?0，所以(解得x??mm?1mm?1)?x22， …………………………6分

或x?mm?1． …………………………8分

（2）a?b?(m?1)x2?mx． ………………………10分 由题意，得(m?1)x2?mx?1?m对任意的实数x恒成立， 即(m?1)x2?mx?m?1?0对任意的实数x恒成立． 当m?1?0，即m??1时，显然不成立， 从而??m?1?0,?m?4(m?1)(m?1)?0.2 ……………………………12分

?m??1,23?解得?2323 所以m?3,或m??.?m?33?． ………………………14分

16．（本小题满分14分）

证明：（1）取BC中点M，连结FM，C1M．

在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点，

所以FM ∥12AC． ………………………………2分

因为E为A1C1的中点，AC ∥A1C1，

所以FM ∥EC1． 从而四边形EFMC1为平行四边形，

所以EF∥C1M． …………………………………………4分 又因为C1M?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，

所以EF∥平面BB1C1C． ………………………6分 （2） 在平面AA1C1C内，作A1O?AC，O为垂足． 因

AO?12AA1?A1EB1C1为

12AC∠

A1AC?600，所以

，从而O为AC的中点．……8

AFBOMC分

5

所以OC∥A1E，因而EC∥A1O． …………………10分

因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O?AC，所以A1O?底面ABC． 所以EC?底面ABC． …………………………………………12分 又因为EC?平面EFC，

所以平面CEF⊥平面ABC． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）

解：（1） n?1时，8a1?a12?4a1?3，a1?1或a1?3． ………………………2分

当n≥2时，8Sn?1?an2?1?4an?1?3，an?Sn?Sn?1?从而(an?an?1)(an?an?1?4)?0．

因为?an?各项均为正数，所以an?an?1?4． ………………………6分 所以，当a1?1时，an?4n?3；当a1?3时，an?4n?1． 又因为当a1?1时，a1,a2,a7分别为1，5，25，构成等比数列， 所以an?4n?3，bn?5n?1．

当a1?3时，a1,a2,a7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分 （2）满足条件的a存在，a?45． ………………………12分 由（1）知，an?4n?3，bn?5n?1，从而

an?logabn?4n?3?loga5n?118(an?4an?an?1?4an?1)22，

?4n?3?(n?1)loga5?(4?loga5)n?3?loga5．

由题意，得4?loga5?0，所以a?45． ………………………14分 18．（本小题满分16分）

解：（1）圆心C(m,0)(?1?m?1) ，则⊙C的半径为r?1?m2 ．

从而⊙C的方程为(x?m)2?y2?1?m2． ………………………………2分 椭圆D的标准方程为

x22b?1?yb22?1． x2 ………………………4分

2（2）当b?1时，椭圆D的方程为

2?y?1．

6

设椭圆D上任意一点S(x1,y1)，则

22212x122?y?1，y?1?2121x1222．

2因为SC?(x1?m)?y?(x1?m)?1?x122?12(x1?2m)?1?m ………6分

≥1?m2?r2，

所以SC≥r．

从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部． ………………………8分

?????????（3）OM?OL?b2?1为定值．

……………………………………9分

证明如下：

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则由题意，得N（x1，－y1），x1?x2，y1??y2． 从而直线PQ的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xM?x1y2?x2y1y2?y1．

又直线QN的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xL?x2y1?x1y2y2?y1． ………………………………13分

x122因为点P，Q在椭圆D上，所以从而x?b?1?(b?1?xM?xL?2212b?12?y1b222?1，

y222x222b?1?y2b22?1，

b?1b222y21，x?b?1?22222b?1b222，所以

2222b?1b2y)y?(b?1?y?y222121b?1by2)y1?(b?1)(y2?y1)y?y2221?b?1

2．

?????????所以OM?OL?xM?xL?b2?1?定值． ……………………16分

19． （本小题满分16分）

解：（1）当??(,)时，点P在线段OG上，AP?42ππasin?；当??(,2π3π4)时，点P在线段

GH上，AP?asin(π??)?aasin?；当 ??π3π442a?sin?π2时，AP?a．

综上所述，AP?sin?，??(,)． …………………………2分

所以，弧AD的长l?AP?2??分

，故所求函数关系式为l?2a?sin?，??(,4π3π4)．…4

（2）当??(,)时，OP?OG?PG?a?42ππatan??a?acos?si?n；当??(π3π,)时，24 7

OP?OG?GH?a?atan(π??)acos?sin?2?2??a?atan?π3π44?a?acos?sin?；当 ??π2时，OP?a．

所以，OP?a? 从而，

OPl?，??(,)． ………………………6分

sin??cos?． …………………………………8分

π3π44)．

记f(?)? 则f?(?)?sin??cos?，??(,?(cos??sin?)?(sin??cos?)2?2．

令f?(?)?0，得?(cos??sin?)?sin??cos?． …………………………10分 因为??(,4π3π4)，所以cos??sin??0，从而??sin??cos?cos??sin??tan??1tan??1sin??cos?cos??sin?π4)．

显然??π2，所以??π?tan(??．…………………………12分

记满足??tan(??)的???0，下面证明?0是函数f(?)的极值点．

4 设g(?)??(cos??sin?)?(sin??cos?)，??(,4π3π4)．

则g?(?)??(cos??sin?)?0在??(,4π3π4)上恒成立，

从而g(?)在??(,4ππ3π4)上单调递减． ……………………………14

π分

所以，当??(,?0)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(,?0)上单调递增；

44)当??(?0,3π4)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(?0,3π4上单调递减．

故 f(?)在???0处取得极大值，也是最大值． 所以，当?满足??tan(??π4)时，函数f(?)即

OPl取得最大值，此时招贴画最优

美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）

解：（1）当a?1时，因为x?[?1,1]，所以f(x)??x3?x． 则f?(x)??3x2?1??3(x?令f?(x)?0，得x?列表： x

?1

(?1,?33)

?333333)(x?3333)．

,x??． …………………………………2分

(?33,33)

33

(33,1)

1

8

f?(x)

0

? 0 极小

? 0 极大值

? 0

f(x)

↘

?值

239↗

239↘

239所以，函数f(x)在x?[?1,1]上的最小值、最大值分别为?239、．…………6分

（2）（ⅰ）当a?0时，f(x)?x3，f(x)的单调增区间为(??,??)；……………7分 （ⅱ）当a?0时，f(x)?x3?ax．因为f?(x)?3x2?a?0恒成立，所以f(x)在

(??,??)上单调递增，从而f(x)的单调增区间为(??,??)； …………9分

（ⅲ） 当a?0时，①当x≥a或x≤?a时，f(x)?x3?ax．

因为f?(x)?3x2?a?3(x?a3)(x?a3)，?a3??a，a3?a，

所以当x≥a或x≤?a时，f?(x)?0，

从而f(x)的单调增区间为(??,?a)及(a,??)． ……………………11分 ②当?a?x?a时，f(x)??x3?ax．

2f?(x)??3x?a??3(x?a3)(x?a3a3)，

令f?(x)?0，得x?列表： x

f?(x) f(x)

(?a,?a3)

a3,x??． ……………………13分

?a3 (?a3,a3)

a3 (a3,a)

? ↘

0

a3,a3? ↗

)， f(x)0

? ↘

a3)，

所以，f(x)的单调增区间为(?(a3,的单调减区间为(?a,?a)． ……………………………………………………15分

综上所述，当a≤0时 ，函数f(x)的单调增区间为(??,??)；当a?0时， 函数f(x)的单调增区间为(??,?a)，(a,??) ，(?(?a,?a3)，(a3,a3,a3)， f(x)的单调减区间为

a)． …………………………16分

9

常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题

超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 解：连结CE，CH．

因为H为△ABC的垂心，

所以，∠ECD=∠BAD?900??ABC，∠HCD ?900??ABC，

从而∠ECD=∠HCD． ………………………………4分 又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC， …………8分 所以DH?DE． …………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为f(?)???2?1?4??1?????6?(??3)(??2)，

2 ……2分

令f(?)?0，得到M的特征值?1?3，?2??2． …………………………4分 当?1?3时，矩阵M的一个特征向量为??； ……………………………7分

?1?当?2??2时，矩阵M的一个特征向量为??． …………………………10分

??1?C．选修4—4：坐标系与参数方程

解： 圆心C的极坐标为(3,)， …………………………………6分

3π?4??1?设直线l上任意一点P(?,?)，则?cos(??)?3，

3π即为直线l的极坐标方程． ……………………………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 证明：因为x,y均为正实数， 所以x?y≥2xy，

1x?1y≥21xy，当且仅当x?y时等号成立（下同）． ……6分

10

从而(x?y)(?x14x14y11y)≥2xy?21xy?4， …………………………………8分

所以

?≥1x?y． …………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．解：（1）焦点F(0,1)，直线AB方程为y?k(x?1)，因为k?0，所以x?y??1,?x?由?k?y2?4x?yk?1．

得y2?4ky?4?0．

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，显然△?0恒成立，则y0?又x0?y0k?1，消去

y1?y22?2k． ……3分

k ，得y02?2(x0?1)，

所以点M的轨迹方程为y2?2(x?1)． ……………………5分 （2）由（1）知，点M(因为m?132k2?1,2k)．

1(62，所以d?162165k2?8k?m?3?155k6k2?8k8k?m?3)． ………………7分

由题意，得(5k?8k?m?3)≥6k2，m≤??2对?2?k??1恒成立．

23因为?2?k??1时，

?8k?2的最小值是?3223，所以m≤-． ……………10分

23．解：当n?1时，a2?1?a11?a1?，a1?a2，所以n?1时，不等式成立； ………4分

假设当n?k(k?N?)时，ak?ak?1成立，显然ak?0．则当n?k?1时，

ak?2?ak?1?1??ak?1?ak(1?ak)(1?ak?1)ak?11?ak?1?0?ak?1?1?ak?11?ak?1?(1?ak1?ak)?

11?ak?11?ak?1

， ………………………………………7分

所以n?k?1时，不等式成立． …………………8分

综上所述，不等式an?an?1(n?N?)成立． ………………………………10分

11

从而(x?y)(?x14x14y11y)≥2xy?21xy?4， …………………………………8分

所以

?≥1x?y． …………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．解：（1）焦点F(0,1)，直线AB方程为y?k(x?1)，因为k?0，所以x?y??1,?x?由?k?y2?4x?yk?1．

得y2?4ky?4?0．

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，显然△?0恒成立，则y0?又x0?y0k?1，消去

y1?y22?2k． ……3分

k ，得y02?2(x0?1)，

所以点M的轨迹方程为y2?2(x?1)． ……………………5分 （2）由（1）知，点M(因为m?132k2?1,2k)．

1(62，所以d?162165k2?8k?m?3?155k6k2?8k8k?m?3)． ………………7分

由题意，得(5k?8k?m?3)≥6k2，m≤??2对?2?k??1恒成立．

23因为?2?k??1时，

?8k?2的最小值是?3223，所以m≤-． ……………10分

23．解：当n?1时，a2?1?a11?a1?，a1?a2，所以n?1时，不等式成立； ………4分

假设当n?k(k?N?)时，ak?ak?1成立，显然ak?0．则当n?k?1时，

ak?2?ak?1?1??ak?1?ak(1?ak)(1?ak?1)ak?11?ak?1?0?ak?1?1?ak?11?ak?1?(1?ak1?ak)?

11?ak?11?ak?1

， ………………………………………7分

所以n?k?1时，不等式成立． …………………8分

综上所述，不等式an?an?1(n?N?)成立． ………………………………10分

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oyb3.html