第九、十次课 二元一次方程组

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二元一次方程组

知识点1二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

注：①方程中有且只有两个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。（三个条件完全满足的就是二元一次方程）

例1、已知关于x,y的二元一次方程（2m-4)x

例2、若2x

例3、已知代数式?3xm?1y3与

练习：1．已知3xa?2?2y2b?5?5是二元一次方程，则a= b= . 2a?5m2-3

+(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值

??a?3?y?1是二元一次方程,求a的值.

5nm?nxy是同类项，那么m、n的值 2 2．若xm?2n?1?y2m?3n?1=1是关于x,y的二元一次方程，则m= ；n= . 3．如果2004xm?n?1?2005y2m?3n?4?2006是二元一次方程，那么m2?n3的值是

4、若关于x、y的方程xa?b?2ya?b?2?11是二元一次方程，那么a+b的值 5、若(am?`1n?2b)?(a2n?1b2m)?a5b3则m+n的值

知识点2 二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

知识点3方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

?x?1?ax?2y?6??y??23x?by??5的解，求２a+b的值．

例1、已知?是关于x,y的二元一次方程组?

练习：1、已知?

?x?2?ax?by?7是二元一次方程组?的解，则a?b的值。 y?1ax?by?1??例2、已知方程组

?ax?4y?4，(1)??2x+by=14，(2)?x??2，?y?6， 乙看错了方程②中a由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为 ??x??4，?y??4.若按正确的a、b计算，求原方程组的解．

的b得到方程组的解为?1

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例3、在解方程组

时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为

，乙看错了方程组中的

b，而得解为．

（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？

（2）求出原方程组的正确解．

知识点4：二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数

例1：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x的代数式表示y的形式。②将其变形为用含y的代数式表示x的形式

例2、已知?

?x?2y?z?0

?5x?2y?3z?0求：

4x?2y?3z的值

3x?y?2zx2?y2?z2练习、已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求的值

xy?yz?2xz

知识点5：用代入消元法解二元一次方程组。“代入法”

步骤１：选择一个未知数系数较简单的方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。 步骤２：将其代入到另一个方程中消去一个未知数并求出另一个未知数的值。 步骤３：将求出的未知数的值代入方程中求出另一个未知数的值。 用加减消元法解二元一次方程组。“加减法”

步骤1：将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。

步骤2：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 步骤3：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。

步骤4：将求得的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求得另一个未知数的值。 步骤5：写出方程组的解。 例1：解下列二元一次方程组

?x?yx?y??6,?3x?4y?10,?3(x?1)?y?5,? 23???4x?y?9?0;5(y?1)?3(x?5);????4(x?y)?5(x?y)?2.2

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?4m?5n??19，3x?yx?2y??1 ?233m?2n?3；?

?2x?3y?5， ?2x?y?1??4x?y?5?3x?2y?1例2：已知关于x、y的二元一次方程组? 和? 有相同的解。求m、n的值

mx?ny?3mx?my?1??

例3、如果|x?2y?1|?|2x?y?5|?0，则x?y的值

?x?y?3?nx?2my?1练习：1、已知关于x、y的方程组?与方程组?同解，求m、n的值

mx?ny?5x?y?5??

?x?y?5k,2、若关于x，y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x?3y?6 的解，则k的值

x?y?9k?

?2x?3y?5，3、若二元一次方程组?的解是方程8x－2y=k的解，则k的值。

2x?y?1?

4、若关于x、y的二元一次方程组??3x?5y?2，的解x、y互为相反数，求m的值

2x?7y?m?18?

知识点6：应用于二元一次方程组解决实际问题的步骤： 理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； 制定计划：考虑如何根据等量等量关系设元，列出方程组； 执行计划：列出方程组并求解，得到答案；

回 顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 题型一（配套问题）

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例1、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？

例2、加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一第二道工序所完成的件数相等。

例3、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？

题型二（ ）

例1、某校体操队和篮球队的人数是5:6，排球队的人数比体操队的人数2倍少5人，篮球队的人数与体操队的人数的3倍的和等于42人，求三种队各有多少人？

例2、有一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的1/5,求这个两位数 ?

例3、有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18则这个两位数是多少。

例4、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？

例5、.某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？

例6、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元。

例7、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金

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额如下表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．

年份 降价金额/亿元

题型三（行程问题）

例1、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。

例2、甲乙两地相距２０千米，Ａ从甲地向乙地方向前进，同时Ｂ从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前进，Ａ回到甲地时，Ｂ离甲地还有２千米，求Ａ、Ｂ二人的速度。

例3、一条船顺流航行，每小时行20km;逆流航行；每小时行16km，求轮船在静水中的速度与水的速度。

例4、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行。如果乙先走20 km，那么甲用1 h就能追上乙；如果乙先走1 h，那么甲只用15 min就能追上乙，求甲、乙二人的速度。

例5、甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？

题型四（实际资费问题）

例1、团体购买公园门票票价如下：

购票人数 每人门票/元 1～50 13元 51～100 11元 100人以上 9元 2001 54 2003 2004 35 2005 40 2007 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1 392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1 080元．

(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人； (2)甲、乙两个旅行团各有多少人?

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例2、五．一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，这两面种商品原价之和为500元，问两种商品原价各是多少元？

例3、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是13%，求这两种贷款各是多少？

例4、李明以两种形式分别储蓄了2000元各1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92，已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20%）。

例5、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包的单价各多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品8折销售，超市B全场购满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用）但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

题型五（工程问题）

例1、某工程由甲、乙两队合作6天可完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天可完成，厂

2家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天可完成全部工程的3，厂家需支付5500元.

（1） 甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由那队单独完成此项工程花钱最少？

例2、若甲乙两人共同完成某项工作，6小时可完成7/8；若甲先做1小时，乙再加入一起做3小时则可完成一半。问甲乙两人单独完成这项工作各需要多少小时？

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例2、五．一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，这两面种商品原价之和为500元，问两种商品原价各是多少元？

例3、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是13%，求这两种贷款各是多少？

例4、李明以两种形式分别储蓄了2000元各1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92，已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20%）。

例5、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包的单价各多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品8折销售，超市B全场购满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用）但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

题型五（工程问题）

例1、某工程由甲、乙两队合作6天可完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天可完成，厂

2家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天可完成全部工程的3，厂家需支付5500元.

（1） 甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由那队单独完成此项工程花钱最少？

例2、若甲乙两人共同完成某项工作，6小时可完成7/8；若甲先做1小时，乙再加入一起做3小时则可完成一半。问甲乙两人单独完成这项工作各需要多少小时？

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