第6课 函数的单调性与导数(教师版)

高中数学选修2-2教学案及同步训练：第6课 函数的单调性与导数(教师版)

第1页 第6课 函数的单调性与导数

一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.函数单调性的定义

二、复习引入:

1.单调函数的图象特征

2. 函数单调性与导数的关系

三、函数单调性与导数：一般地,设函数()y f x =在某个区间(,)a b 内有导数

如果在 这个区间内()0f x '> ，那么函数()y f x = 在为这个区间内的 函数; 如果在这个区间内()0f x '<，那么函数()y f x =在为这个区间内的 函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '= , 则()y f x =为 函数.

四、应用讲练

1.判断函数的单调性

【例1】判断下列函数的单调性

（1）3()3f x x x (2)()sin ,(0,)f x x x x

【解析】（1）由已知，得()f x 的定义域为R ，

3()3f x x x ，32()()(3)330f x x x x

因此，3()

3f x x x 在(,)上单调递增 （2）

()sin f x x x ，()(sin )cos 1f x x x x 当(0,)x 时，1cos 1x ，cos 10x ，即()0f

x

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第2页 因此，函数()sin f x x x 在(0,)内单调递减

2.求函数的单调区间

【例2】求函数3223241y x x x 的单调区间

【解析】由已知，得

()f x 的定义域为R ，3222()3()(24)1666(1)y

x x x x x x x 由0y ，得6(1)0x x ，即0x 或1x ；由0y ，得6(1)0x x ，即10x .

因此，函数3223241y

x x x 的单调递增区间为(

,1)和(0,)；单调递减区间为(1,0). 【练习1】判断函数223y x x 的单调性，并求出单调区间

【解析】由已知，得()f x 的定义域为R ，

2()(4)3222(1)y

x x x x 当0y

，即1x 时，函数223y x x 的单调递增； 当0y ，即1x 时，函数223y

x x 的单调递减； 因此，函数223y x x 的单调递增区间为(1,)；单调递减区间为(,1).

【练习2】求函数21()ln 2

f x x x =-的单调区间 【解析】由已知，得()f x 的定义域为(0,

) 211(1)(1)()(ln )()2x x f x x x x x x

+-'''=-=-=- 由0,0y x ，得1x ；由0,0y x ，得01x .

因此，函数()f x 的单调递增区间为(1,

)；单调递减区间为(0,1). 3.由导数信息确定函数大致图象

【例3】已知导函数的下列信息当2

3x 时，()0f x 当3x 或2x 时，()0f x ；当2x 或3x 时，()0f x 试画出函数()f x 图象的大致形状

【变式1】设()f x 是函数()f x 的导函数，()f x 的图象

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第3页 如右图所示,则 ()f x 的图象最有可能的是（ ）

【变式2】已知函数()y f x =的图象如图2所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是（ ）

例4.如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.

第6课 函数的单调性与导数同步作业

一、单选题

1．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间为（ ）．

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，－1)

C ．(－1，1)

D ．(1，＋∞)

【答案】C

【详解】因为33y x x =-，所以233y x '=-，令0y '>，即2330x ->解得11x -<<，即函数的单调递增区间为()1,1-

2．函数323()612

f x x x x =+--的单调递增区间为（ ） A ．(2,1)- B ．(,1)-∞-和(2,)+∞C ．(,2)-∞-和(1,)+∞ D ．(1,2)-

【答案】C

【解析】f ′(x)=3x 2+3x ?6=3(x +2)(x ?1)，所以由3(x +2)(x ?1)>0可得函数f(x)的单调递增区间为(?∞,?2)和(1,+∞)．故选C ．

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第4页 3．函数22y x x =+的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．(2,)+∞ C ．()1,+∞ D ．(),0-∞

【答案】C 【详解】322

2222x y x x x -'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数22y x x

=+的单调递增区间为(1,)+∞. 4．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）

A ．()0,1

B ．(0,)+∞

C ．(1,)+∞

D ．(,1)-∞ 【答案】A

【详解】∵()()ln ,0f x x x x =->，∴()111x f x x x

-'=-=，令()0f x '<，解得01x <<，即函数()ln f x x x =-的单调递减区间为()0,1，

5．函数()12f x x x =

-的单调递增区间是（ ） A ．()0,4

B ．(),1-∞

C ．()0,1

D ．(),4-∞ 【答案】C

【详解】函数()f x 的定义域为；[0,)+∞，()'11()222f x x x f x x =-?=-， 当'1()022f x x =->时，函数单调递增，解得01x <<，所以函数()12

f x x x =-的单调递增区间是()0,1.

6．已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象如图，则函数)(x f y '=的单调减区间为（ ）

A ．)3,0[

B ．]3,2[-

C ．)2

1,(-∞ D ．)2,(--∞

【答案】C

【解析】由题意得，2()32f x x bx c '=++，由图象可知()()230f f ''-==，

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即

1240

2760

b c

b c

-+=

?

?

++=

?

，解得

3

,

18

2

b c

=-=-，

所以222

()3233183(6)

f x x bx c x x x x

'=++=--=--，则函数的开口向上，对称轴的方程为

1

2

x=，所以函数()

f x

'的单调递减区间为)

2

1

,

(-∞，故选C.

7．设函数()

f x的图象如图右下所示，则导函数()

'

f x的图象可能为（）

【答案】C

【详解】∵()

f x在(,1)

-∞，(4,)

+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数，

∴当1

x<或4

x>时，()0

f x

'<；当14

x

<<时，()0

f x

'>．

8．()

f x的导函数()

'

f x的图象如下图所示，则函数()

f x的图象最有可能是图中的

（）

【答案】A

【详解】由()

'

f x的图象可知：当(,2)(0,)

x∈-∞-?+∞时，()0

f x

'<，

当()

2,0

x∈-时，()0

f x

'>，所以()

f x在(,2)

-∞-和(0,)

+∞单调递减，在()

2,0

-单调递增，可排除B、C、D．

9．下列函数中，在()

0,∞

+内为增函数的是（）

A．sin

y x

= B．x

y e x

=- C．3

y x x

=-D．ln

y x x

=-

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第6页 【答案】B

【详解】选项A ，sin y x =显然在()0,∞+内不是增函数，所以错误； 选项B ，,10,(0,)x x y e x y e x '=-=->∈+∞恒成立，所以正确；

选项C

，32,313(y x x y x x x '=-=-=

，当0x y '∈<，此时函数单调递减，所以错误；

选项D ，11ln ,1x y x x y x x -'=-=

-=，当(1),0x y '∈+∞<，此时函数单调递减，所以错误.

10．函数()1sin f x x x =+-在区间(0,2)π上是（ ）

A ．增函数

B ．减函数

C ．在(0,)π上增，在(,2)ππ上减

D ．在(0,)π上减，在(,2)ππ上增 【答案】A

【详解】()'1cos 0f x x =->，()f x ∴在()0,2π上递增，故选：A.

11．函数()43ln f x x x x =+

+的单调递减区间是______． 【答案】()0,1

【详解】()()()'2+41431x x f x x x x

-=-+=，其中0x >， 令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x

=++的单调减区间为(0,1)， 故答案为：(0,1)．

12．判断下列函数的的单调性，并求函数的单调区间

（1）()1ln f x x x x =-- （2） f (x )=，

【详解】（1）函数()1ln f x x x x

=--的定义域是()0,∞+.

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因为()22

222

13()1112410x x x f x x x x x -+

-+'=+-==>恒成立， 所以函数()1

ln f x x x x

=--在定义域()0,∞+上是单调递增函数.

（2）()()

2

3

01f x x '=-

<+，对()1,x ?∈-+∞恒成立.

∴函数()f x 在()1,-+∞上为减函数 13．求下列函数的单调区间：

（1）()ln x f x x

= （2）ln y x x = （3）()()3x

f x x e =- 【详解】（1）函数()ln x

f x x

=,定义域为()0,∞+,则

()22

1

ln ln 1ln '()'x x

x x x f x x x x ?--===,令()'0f x <,即21ln 0x x -< 所以1ln 0x -< ,解得x e > ,即函数()ln x

f x x

=的单调递减区间为(),e +∞

（2）函数ln y x x =求导得：'ln 1y x =+.当1

(0,)x e

∈时'0y <，函数单调递减；

当1

(,5)x e

∈时'0y >，函数单调递增.故选D.

（3）

()()3x f x x e =-，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，

因此，函数()()3x

f x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.

14．已知函数()ln f x x bx c =-+，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．

【答案】（Ⅰ）()32ln --=x x x f ；（Ⅱ）单调增区间为??? ??

21,0，单调减区间为??

? ??∞+，

21. 【解析】（Ⅰ）11

(),()|1x f x b f x b x

=''=

-∴=- 又切线斜率为1-，故11b -=-，从而2b = 将(1,(1))f 代入方程40x y ++=得：1(1)40f ++=，从而(1)5f =-

(1)5f b c ∴=-+=-，将2b =代入得3c =-故()ln 23f x x x =--

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第8页 （Ⅱ）依题意知0>x ，()21-=

'x x f 令()0>'x f ，得：210<<x ，再令()0<'x f ，得:2

1>x 故()x f 的单调增区间为???

?

?21,0，单调减区间为??? ??∞+，

21.

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