四年级统筹与最优化过河问题详细分析-终结版

四年级数学

统筹与最优化---过河问题详细解析—终结版

时间统筹---过河问题

网上关于过河问题有很多解题方法。其中最典型的就是“快的来回走，接近的一起走”，但问题什么是最接近的？数字大小接近，还是顺序接近？另外即使接近的找到了，你也会发现，有些解题结果也不是最佳，反而是速度最快的反复送速度最慢的时间更短！那么到底该如何解题呢？本文将作出详细的分析：

? 首先明确两种模式：

通常而言，假设A为最快，B为次快，而Z是任意一个其他旅行者。

? 模式一：“由A护送最慢过桥，回来，然后继续护送最慢的过桥，再回来” ，也

就是快的来回送慢的。

? 模式二：“两个最快的过桥（A和B过桥），A回来，两个最慢的过桥，B回来”，

也就是分两拨（两个一组），最快的一组，最慢的一组，最快的一组过去，然后最快的那个A回来，然后最慢的一组两个过去，B回来。

明确上述概念后，开始解题：

一、 和人数相关（三个以内）

? 当数量为1时，直接过河，不需要策略； ? 当人数是2时，两个人一起过河，也不需要策略；

? 当人数为3时，就必须使用策略，也就是“快的来回走，快的送

慢的”

例题1：小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲乙丙3头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小

明要把这3头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？

解题思路：用“快的来回走，快的送慢的”

最快的牛是甲，因此是甲牛来回走。陪着送其它牛，至于先送乙还是先送丙？答案是都可以。

=================== 甲+乙-----2分钟 甲回来-----1分钟 甲+丙-----5分钟

共8分钟----最佳，先送丙也可以 =================== 乙+丙-----5分钟 乙回来-----2分钟 甲+乙-----2分钟

共9分钟---不采用解题思路建议方案，肯定不是最佳方案

二、 和人数相关（四个及四个以上）

当人数N四个及四个以上时，要分出最快的前两个，最慢的后两个。最快A，次快B，次慢Y，最慢Z。

如果人数N≥4，设A、B为走得最快和次快的旅行者，过桥所需时间分别为a、b；而Z、Y为走得最慢和次慢的旅行者，过桥所需时间分别为z、y。那么 ，

当2b＞=a+y时，使用模式一将Z和Y移动过桥；也就是当第二快相对较慢的时候（用的时间多），采用最快的A一个一个送最慢的。

当2b＜a+y时，使用模式二将Z和Y移动过桥；也就是当第二快太快的时

候（用的时间少），采用最快的一组过，最快的A回来，然后最慢的一组过去，B回来。

例题2：小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？

解题思路：首先开始排序1,2,5,6。A=甲，B=乙，Y=丙，Z=丁。2×b=4＜a+y=1+5=6，属于第二快太快，用时较短。采用模式二过河。即甲乙先过，甲回来，丙丁过去，乙回来，然后甲乙过去。具体如下：

甲、乙；时间：2甲；时间：1丁、丙；时间：6乙；时间：2甲、乙；时间：2时间：2+1+6+2+2=13分钟

例题3：有一家五口人要在夜晚过一座独木桥.他们家里的老爷爷行动非常不便,过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动,体重严重超标,过河需要时间也较长,8分钟；母亲则一直坚持劳作,动作还算敏捷,过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟,弟弟只要1分钟.当时正是初一夜晚又是阴天,不要说月亮,连一点星光都没有,真所谓伸手不见五指.所幸的是他们有一盏油灯,同时可以有两个人借助灯光过桥.但要命的灯油将尽,这盏灯只能再维持30分钟了!他们焦急万分,该怎样过桥呢?

解题思路：

第一、开始排序1,3,6,8,12 第二、分两组。

前两快：A弟弟：1分钟，B姐姐：3分钟； 后两慢：Y父亲：8分钟，Z爷爷：12分钟

第三、用第二慢作比较。2×b=2×3=6 ＜ a+y=1+8=9，第二慢用时少，

应该用模式二，快的两个和最慢的两个分开，快的两个先走。

姐、弟；时间：3弟；时间：1父、爷；时间：12姐；时间：3

第四、现在剩下弟弟、姐姐和妈妈，三个人。在三个人条件，用最快的人送

其它两个人即可，慢的两个人顺序无关。

弟，妈；时间：6弟；时间：1弟、姐；时间：3

第五、总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟

例题4：有一家五口人要在夜晚过一座独木桥.他们家里的老爷爷行动非常不便,过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动,体重严重超标,过河需要时间也较长,8分钟；母亲则一直坚持劳作,动作还算敏捷,过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要5分钟,弟弟只要1分钟.当时正是初一夜晚又是阴天,不要说月亮,连一点星光都没有,真所谓伸手不见五指.所幸的是他们有一盏油灯,同时可以有两个人借助灯光过桥.但要命的灯油将尽,!他们焦急万分,该怎样用最快的速度过桥呢?

解题思路：

第一、开始排序1,5,6,8,12 第二、分两组。

前两快：A弟弟：1分钟，B姐姐：5分钟； 后两慢：Y父亲：8分钟，Z爷爷：12分钟

第三、用第二慢作比较。2×b=2×5=10＞a+y=1+8=9，第二慢用时多，应

该用模式一，由最快的送最慢的。

弟、爷；时间：12弟；时间：1

第四、现在剩下弟弟、姐姐，妈妈，爸爸，四个人。继续排序1,5,6,8。用第

二慢作比较。2×b=2×5=10＞a+y=1+6=7，第二慢用时多，应该用模式一，由最快的送最慢的。

弟，爸；时间：8弟；时间：1

第五、现在剩下弟弟、姐姐，妈妈，三个人，继续排序1,5,6。

弟，妈；时间：6弟；时间：1弟、姐；时间：5

第六、总时间：12+1+8+1+6+1+5=34分钟

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